2023届高考数学一轮复习单元测试--第三单元函数的概念与性质A卷（Word版附解析）

2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷第三单元函数的概念与性质A卷基础过关必刷卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．向杯中匀速注水时，如果杯中水面的高度h随时间t变化的图象如图所示，则杯子的形状为（）A．B．C．D．2．已知函数，若，则的取值集合是（）A．B．C．D．3．函数的图象如图所示，则函数的解析式为（）A．B．\nC．D．4．设函数,的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．是奇函数D．是奇函数5．函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（）.A．B．C．D．6．函数y＝的定义域为（）A．B．C．D．7．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4等于（）A．－6B．6C．－8D．88．设是定义在R上的函数，下列关于的单调性的说法：（1）若存在实数，使得，则存在实数，满足，且在上递增（2）若在R上单调，则存在，使得（3）若对任意，存在，使得，且对一切成立，则在R上递增其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合\n题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．E.10．若函数满足：对任意一个三角形，只要它的三边长都在函数的定义域内，就有函数值，，也是某个三角形的三边长，则称函数为“保三角形函数”，下面四个函数中保三角形函数有（）A．B．C．D．11．设c＜0，f(x)是区间[a，b]上的减函数，下列命题中正确的是（）A．f(x)在区间[a，b]上有最小值f(a)B．在[a，b]上有最小值f(a)C．f(x)－c在[a，b]上有最小值f(b)－cD．cf(x)在[a，b]上有最小值cf(a)12．若函数的图像在R上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是（）A．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点B．在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点C．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点D．在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．定义区间(a，b)，[a，b]，(a，b]，[a，b]的长度为d＝b-a，多个区间并集的长度为各区\n间长度之和，例如：(1，2)[3，5]的长度d=(2-1)+(5-3)=3，设f(x)=[x]•{x}，g(x)=x-1，其中[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x-[x]，若用d表示不等式f(x)≥g(x)解集区间的长度，则当时x∈[-2009，2009]，d＝____．14．已知函数有最小值且最小值与无关，则的取值范围是_________．15．已知定义在上的奇函数，当时，，当时，________．16．已知函数为定义域在上的增函数，且满足，，则使的的取值范围为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数．（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若对于任意的恒成立，求满足条件的实数的最小值．18．已知函数的零点为（1）求二次函数的解析式；（2）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围．（3）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围．\n19．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．给定函数．（1）求函数图象的对称中心；（2）判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，且投资万元时的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，且投资万元时的收益为万元，（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？21．已知函数.（1）证明：函数是偶函数；\n（2）记，，求的值；（3）若实数满足，求证：.22．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求出函数在上的解析式，并补出函数在轴右侧的图像；（2）①根据图像写出函数的单调递减区间；②若时函数的值域是，求的取值范围一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．向杯中匀速注水时，如果杯中水面的高度h随时间t变化的图象如图所示，则杯子的形状为（）\nA．B．C．D．【答案】B【解析】解：由已知可得，第一段和第二段杯中水面高度匀速上升，故杯子的水面面积不变，第二段上升的速度更快，说明第二段水面面积较小，故选：B2．已知函数，若，则的取值集合是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若，可得，解得，(舍去)；若，可得=5，可得，与相矛盾，故舍去，综上可得：.故选：A.3．函数的图象如图所示，则函数的解析式为（）A．B．C．D．\n【答案】A【解析】由图象知，当时，，故排除B，C；又当时，，故排除D．故选：A.4．设函数,的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．是偶函数B．是奇函数C．是奇函数D．是奇函数【答案】C【解析】是奇函数，是偶函数，，对于A，，故是奇函数，故A错误；对于B，，故是偶函数，故B错误；对于C，，故是奇函数，故C正确；对于D，，故是偶函数，故D错误.故选：C.5．函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】解：由函数为奇函数，得，不等式即为，又在单调递减，所以得，即，故选：D.\n6．函数y＝的定义域为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】若使函数有意义，则由此可得，所以，函数的定义域为.故选：B．7．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4等于（）A．－6B．6C．－8D．8【答案】C【解析】f(x)在R上是奇函数，所以f(x－4)＝－f(x)＝f(－x)，令得，故周期为8，即，即，函数对称轴为，画出大致图象，如图：由图可知，两个根关于对称，两个根关于对称，设，则，故，故选：C8．设是定义在R上的函数，下列关于的单调性的说法：（1）若存在实数，使得，则存在实数，满足，且\n在上递增（2）若在R上单调，则存在，使得（3）若对任意，存在，使得，且对一切成立，则在R上递增其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】对于（1），若函数在上单调，则当时，在上递增，所以时，在单调递增；若在上不单调，但，故函数在上存在单调递增区间，所以存在，时在上递增，故A正确；对于（2），若在R上单调，则存在，使得，反之假设对于任意的，使得，则函数为一次函数，且图象与平行，即，设，则，矛盾，所以B错误；对于（3），若对任意，存在，使得，且对一切成立，只能说明将函数图象向左平移个单位后，函数值变大，不能说明原函数递增，故C错误.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的是（）\nA．B．C．D．E.【答案】AB【解析】由函数单调性的定义知，若函数在给定的区间上是增函数，则与同号，由此可知，选项A，B正确，E错误；对于选项C、D，因为的大小关系无法判断，则与的大小关系确定也无法判断，故C，D不正确．故选：AB.10．若函数满足：对任意一个三角形，只要它的三边长都在函数的定义域内，就有函数值，，也是某个三角形的三边长，则称函数为“保三角形函数”，下面四个函数中保三角形函数有（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】解：任给三角形，设它的三边长分别为，则，不妨假设，，对于，可作为一个三角形的三边长，但，所以不存在三角形以为三边长，故A不是“保三角形函数”；对于，由于所以B是“保三角形函数”；对于，，，所以C是“保三角形函数”；\n对于，若,由，所以D不是“保三角形函数”.故选：BC.11．设c＜0，f(x)是区间[a，b]上的减函数，下列命题中正确的是（）A．f(x)在区间[a，b]上有最小值f(a)B．在[a，b]上有最小值f(a)C．f(x)－c在[a，b]上有最小值f(b)－cD．cf(x)在[a，b]上有最小值cf(a)【答案】CD【解析】A中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，在区间[a，b]上有最小值f(b)，A错误；B中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，而函数在[a，b]上单调性无法确定，其最小值无法确定，B错误；C中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，f(x)－c在区间[a，b]上也是减函数，其最小值f(b)－c，C正确；D中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，且c＜0，则cf(x)在区间[a，b]上是增函数，则在[a，b]上有最小值cf(a)，D正确．故选：CD12．若函数的图像在R上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是（）A．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点B．在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点C．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点D．在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点【答案】ABD【解析】由题知，所以根据函数零点存在定理可得在区间上一\n定有零点，又，无法判断在区间上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点．故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．定义区间(a，b)，[a，b]，(a，b]，[a，b]的长度为d＝b-a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如：(1，2)[3，5]的长度d=(2-1)+(5-3)=3，设f(x)=[x]•{x}，g(x)=x-1，其中[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x-[x]，若用d表示不等式f(x)≥g(x)解集区间的长度，则当时x∈[-2009，2009]，d＝____．【答案】2011【解析】f(x)=[x]•{x}=[x]•(x-[x])=[x]x-[x]2，g(x)=x-1，f(x)≥g(x)⇒[x]x-[x]2>x-1，即([x]-1)x≥[x]2-1，当x∈[0，1)时，[x]=0，上式可化为x≤1，∴x∈[0，1)；当x∈[1，2)时，[x]=1，上式可化为0≥0，∴x∈[1，2)；当x∈[2，2009]时，[x]-1>0，上式可化为x≥[x]+1，而x<[x]+1，∴x∈∅；当x∈[-2019，0)时，[x]<0，上式可化为x≤[x]+1恒成立，∴x∈[-2009，0）；∴f(x)≥g(x)在-2009≤x≤2009时的解集为[-2009，2)，故d＝2011.故答案为：201114．已知函数有最小值且最小值与无关，则的取值范围是_________．【答案】【解析】当时，，令，则，在时是增函数，无最小值．当时，令，，，\n若，是减函数，则，若，，当且仅当时等号成立，，即时，在上递增，，，即时，与有关，故答案为：．15．已知定义在上的奇函数，当时，，当时，________．【答案】【解析】不妨设，则，所以，又因为定义在上的奇函数，所以，所以，即.故答案为：.16．已知函数为定义域在上的增函数，且满足，，则使的的取值范围为_________.【答案】．【解析】∵，∴令，则，即，令，则.由，得，即，即，\n∵函数为定义域在上的增函数，∴，即，∴，故的取值范围是.故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数．（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若对于任意的恒成立，求满足条件的实数的最小值．【答案】（1）既不是奇函数也不是偶函数；答案见解析；（2）．【解析】（1）当时，，因为，所以为偶函数；当时，，，，，所以既不是奇函数也不是偶函数．（2）对于任意的，即恒成立，所以对任意的都成立，设，则为上的递减函数，所以时，取得最大值1，所以，即．所以．18．已知函数的零点为（1）求二次函数的解析式；（2）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围．\n（3）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）或；（3）．【解析】（1）由题知2和3是方程的两个根．由根与系数的关系得即，所以．（2）不等式对于任意恒成立，由于的对称轴是，由二次函数的知识可得，当时二次函数取最大值，所以只需，即，解得或．（3）当时，取得最小值为12，故，即解得，即的取值范围为19．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．给定函数．（1）求函数图象的对称中心；（2）判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）在区间上为增函数；（3）.【解析】解：（1）设函数图象的对称中心为，则．即，整理得，于是，解得．所以的对称中心为；\n（2）函数在上为增函数；（3）由已知，值域为值域的子集．由（2）知在上单增，所以的值域为．于是原问题转化为在上的值域．①当，即时，在单增，注意到的图象恒过对称中心，可知在上亦单增，所以在上单增，又，，所以．因为，所以，解得．②当，即时，在单减，单增，又过对称中心，所以在单增，单减；此时．欲使，只需且解不等式得，又，此时．③当，即时，在单减，在上亦单减，由对称性，知在上单减，于是．因为，所以,解得．综上，实数的取值范围为．\n20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，且投资万元时的收益为万元，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，且投资万元时的收益为万元，（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？【答案】（1），；（2）投资债券等稳健型产品为万元，投资股票等风险型产品为万元，投资收益最大为万元.【解析】（1）依题意设，，则，，所以，，；（2）设投资股票等风险型产品为万元，则投资债券等稳健型产品为万元，，，当时，即当万元时，收益最大万元，故应投资债券等稳健型产品为万元，投资股票等风险型产品为万元，投资收益最大为万元.21．已知函数.（1）证明：函数是偶函数；（2）记，，求的值；（3）若实数满足，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.\n【解析】（1）证明：对任意实数，都有，是偶函数.（2）当时，，，.（3）证明：由得：，即，整理可得：，.22．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求出函数在上的解析式，并补出函数在轴右侧的图像；（2）①根据图像写出函数的单调递减区间；②若时函数的值域是，求的取值范围.【答案】（1），图象答案见解析；（2）①减区间为：和；②.【解析】（1）当，，则\n因为为奇函数，则，即时，所以，图象如下：（2）如图可知，减区间为：和，令∵∴故由图可知