2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷第二单元一元二次函数、方程和不等式B卷培优提能过关卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·全国高三三模）已知，，且，则的最小值为（）A．B．C．D．2．由于近年来，冬季气候干燥，冷空气频繁袭来为提高公民的取暖水平，某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区（）A．5千米B．6千米C．7千米D．8千米3．若，则的大小关系是（）A．B．C．D．4．（2021·江苏南京市·高三一模）不等式的解集为（）A．B．C．D．5．已知，，则的取值范围是（）A．B．C．D．6．（2021·浙江高三二模）已知，对任意的，．方程在上有解，则的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知实数､满足，有结论：①存在，，使得取到最\n大值；②存在，，使得取到最小值；正确的判断是（）A．①成立，②成立B．①不成立，②不成立C．①成立，②不成立D．①不成立，②成立8．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（）A．里B．里C．里D．里二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知a，b为正数，，则（）A．的最大值为B．的最小值为3C．的最大值为D．的最小值为10．若非负实数、满足，则下列不等式中成立的有（）A．B．C．D．11．已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（）\nA．B．C．D．12．已知实数x，y满足则（）A．的取值范围为B．的取值范围为C．的取值范围为D．的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数、满足，则的最小值为___________.14．（2021·浙江高三二模）已知，，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为___________．15．（2021·湖南怀化市·高三一模）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为________________．16．（2021·上海高三二模）某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为______________米．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2021·陕西高三模拟（理））（1）设，证明；（2）求满足方程的实数的值.\n18．（2021·全国高三模拟（理））设，，为非零实数，且，证明：（1）；（2）.19．等式的解集为，且，.（1）求的值；（2）设函数.若对于任意的，都有恒成立，求的取值范围.20．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数．（1）解不等式；（2）若函数图像的最高点为，且正实数，满足，求的最小值．21．某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售(万件)与广告费(万元)之间的函数关系为().已知生产此产品的年固定投入为4.5\n万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，且能全部销售完.若每件销售价定为：“平均每件生产成本的”与“年平均每件所占广告费的”之和.（1）试将年利润(万元)表示为年广告费(万元)的函数；（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？22．（2020·全国高三专题练习（理））已知函数．（1）若关于的不等式的整数解有且仅有一个值，当时，求不等式的解集；（2）已知，若，使得成立，求实数的取值范围一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·全国高三三模）已知，，且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，且，所以，所以，所以，即\n当且仅当即，时等号成立，故的最小值．2．由于近年来，冬季气候干燥，冷空气频繁袭来为提高公民的取暖水平，某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区（）A．5千米B．6千米C．7千米D．8千米【答案】A【解析】设供热站应建在离社区x千米处，则自然消费，供热费，由题意得：当时，，，所以，所以，所以两项费用之和，当且仅当，即时等号成立，所以要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区5千米处.故选：A3．若，则的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以取，\n则，，显然，故可排除选项A和B；又，故可排除选项C.故选：D.4．（2021·江苏南京市·高三一模）不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，，可得,所以或，又，所以；当时，，可得，解得或，又，所以；综上，不等式的解集为.故选：B.5．已知，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.设，\n所以，解得：，，因为，，所以，因为单调递增，所以.故选：C6．（2021·浙江高三二模）已知，对任意的，．方程在上有解，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，则，.要对任意的，．方程在上都有解,取，，此时，任意，都有，其他的取值，方程均无解，则的取值范围是.故选：D.7．已知实数､满足，有结论：①存在，，使得取到最大值；②存在，，使得取到最小值；正确的判断是（）A．①成立，②成立B．①不成立，②不成立C．①成立，②不成立D．①不成立，②成立【答案】C\n【解析】解：因为，所以，①，，，当且时取等号，所以，解得，即取到最大值2；①正确；②，，当时，，当且仅当时取等号，此时不符合，不满足题意；当时，，当且仅当时取等号，此时此时取得最大值，没有最小值，②错误.故选：C.8．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（）\nA．里B．里C．里D．里【答案】D【解析】因为1里=300步，则由图知步=4里，步=2.5里．由题意，得，则，所以该小城的周长为，当且仅当时等号成立.故选:D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知a，b为正数，，则（）A．的最大值为B．的最小值为3C．的最大值为D．的最小值为【答案】AB【解析】因为，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以选项正确；因为，\n当且仅当时，等号成立，所以选项正确；因为，当时，即时等号成立，显然等号不成立，所以选项不正确；因为，所以，所以选项不正确．故选：AB.10．若非负实数、满足，则下列不等式中成立的有（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】对于A选项，利用基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，A选项正确；对于B选项，，所以，，当且仅当时，等号成立，B选项正确；对于C选项，，即，当且仅当时，等号成立，C选项错误；对于D选项，，由可得，所以，，当且仅当时，等号成立，D选项正确.故选：ABD.11．已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全\n溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】对于A，由题意可知，正确；对于B，因为，所以，正确；对于C，即，错误；对于D，，正确.故选：ABD12．已知实数x，y满足则（）A．的取值范围为B．的取值范围为C．的取值范围为D．的取值范围为【答案】ABD【解析】因为，所以.因为，所以，则，故A正确；因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；因为，所以，则，故C错误；因为，所以，则，故D正确.故选：ABD.\n三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数、满足，则的最小值为___________.【答案】【解析】，即，则，当且仅当、时等号成立，故的最小值为，故答案为：.14．（2021·浙江高三二模）已知，，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为___________．【答案】【解析】设，，图象是开口向上的抛物线，因此由时，恒成立得，时，，时，，时，，因此时，，时，，，所以①，②，由①得，代入②得，因为，此式显然成立．，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是．故答案为：．15．（2021·湖南怀化市·高三一模）已知关于的不等式\n的解集为，则的取值范围为________________．【答案】【解析】由不等式解集知，由根与系数的关系知，则，当且仅当，即时取等号．故答案为：．16．（2021·上海高三二模）某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为______________米．【答案】5；【解析】设长方体蓄水池长为，宽为，高为，每平方米池侧壁造价为，蓄水池总造价为，则由题意可得，，，当且仅当时，取最小值，即时，取最小值.故答案为：5．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．\n17．（2021·陕西高三模拟（理））（1）设，证明；（2）求满足方程的实数的值.【答案】（1）见解析;（2）或【解析】（1）以上三个式子相加可得：即即故.（2）故满足方程时有或18．（2021·全国高三模拟（理））设，，为非零实数，且，证明：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】解：（1）因为，所以，当且仅当时取“=”.（2），当且仅当时取“=”，\n同理可得，当且仅当时取“=”，，当且仅当时取“=”，所以，当且仅当时取“=”.19．等式的解集为，且，.（1）求的值；（2）设函数.若对于任意的，都有恒成立，求的取值范围.【答案】（1）3；（2）.【解析】解：（1）因为不等式的解集为，且，，所以，即，所以.因为，所以.（2）由（1）知，所以，画出的图象如图所示：\n当时，.若对于恒成立，则，解得，所以的取值范围为.20．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数．（1）解不等式；（2）若函数图像的最高点为，且正实数，满足，求的最小值．【答案】（1）；（2）2．【解析】（1），所以不等式等价于，或，或，解得，或，所以不等式的解集为．（2）由（1）可得函数图像的最高点为，则，，所以，所以，当且仅当时取“＝”，所以的最小值为2．21．某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售(万件)与广告费\n(万元)之间的函数关系为().已知生产此产品的年固定投入为4.5万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，且能全部销售完.若每件销售价定为：“平均每件生产成本的”与“年平均每件所占广告费的”之和.（1）试将年利润(万元)表示为年广告费(万元)的函数；（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？【答案】（1），()；（2）当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为55万元.【解析】（1）由题意可得，产品的生产成本为万元，每件销售价为.∴年销售收入为.∴年利润，().（2）令()，则，.∵，∴，即，当且仅当，即时，有最大值55，此时.即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为55万元.22．（2020·全国高三专题练习（理））已知函数．（1）若关于的不等式的整数解有且仅有一个值，当时，求不等式\n的解集；（2）已知，若，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）不等式，即，所以，由，解得．因为，所以，当时，，不等式等价于或或即或或，故，故不等式的解集为．（2）因为，由，可得，又由，使得成立，则，解得或．\n故实数的取值范围为
