2023届高考数学易错题专练--32直线与圆锥曲线（Word版附解析）

易错点32直线与圆锥曲线一、单选题1.抛物线C：൐的焦点F是双曲线的一个焦点，过F且倾斜角为൐的直线l交C于A，B，则ܣA.B.C.D.162.已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，F为椭圆C的右焦点，圆上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，，分别为直线BP，QF的斜率则的取值范围是A.B.൐C.D.൐൐3.对于任意实数k，方程൐所表示的曲线恒过定点A.、൐B.、൐C.、൐D.、൐4.已知实数成等差数列，记直线൐与曲线的相交弦中点为P，若点ܣ分别是曲线൐൐与x轴上的动点，则ܣ的最小值是A.2B.3C.4D.55.已知抛物线൐，其焦点൐，过点൐的互相垂直的两条直线，分别与抛物线C交于A，B，C，D四点，则四边形ABCD的面积的最小值为A.96B.48C.24D.126.设抛物线的焦点为F，过点൐的直线与抛物线相交于ܣ两点，与抛物线的准线相交于点C，且，则ܣA.B.C.D.7.如图，P为椭圆：൐上的一动点，过点P作椭圆：൐<\n<的两条切线PAPB，斜率分别为.若⋅为定值，则A.B.C.8.已知椭圆：൐与双曲线：有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若恰好将线段AB三等分，则A.B.C.D.二、填空题9.已知൐为抛物线䁕䁕൐的焦点，过点F且斜率为k的直线l与曲线P交于B，C两点，过O与BC中点M的直线与曲线P交于N点，则的取值范围是䁑___________．10.已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是________．11.已知过抛物线C：焦点的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆൐于M，N两点，其中P，M位于第一象限，则的最小值为__________．香䁑12.已知双曲线，过双曲线的上焦点作圆的一条切线，切点为M，交双曲线的下支于点N，T为䁑的中点，则䁩的外接圆的周长为________．三、解答题13.已知椭圆C：൐，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为.Ⅰ求椭圆C的离心率；Ⅱ若点在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求ܣ面积的最大值．\n14.阿基米德公元前287年公元前212年不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.已知平面直角坐标系xOy中，椭圆C：൐的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形．求椭圆C的标准方程；过点൐的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，求ܣ面积的最大值．15.已知椭圆൐过点，离心率是，直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交于䁑两点䁑两点均位于y轴的右侧，与y轴交于Q点．求椭圆的标准方程；如图1，是否存在直线l，使得成立？若存在，求出l的方程；若不QMQNQF\n存在，请说明理由．如图2，若点ܣ在椭圆上，点C为椭圆上顶点，且四边形CADB是矩形，求矩形CADB的面积S的最大值．已知抛物线C：䁕经过点，过点香൐的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．Ⅰ求直线l的斜率的取值范围；Ⅱ设O为原点，香香，香䁑香，求证：为定值一、单选题1.抛物线C：൐的焦点F是双曲线的一个焦点，过F且倾斜角为൐的直线l交C于A，B，则ܣA.B.C.D.16【答案】D【解析】解：由双曲线，则，得，双曲线的上焦点坐标为൐，即抛物线C：൐的焦点F是൐，䁕化抛物线C：൐为，则䁕，，得，即．抛物线方程为．直线l的方程为，联立，得൐．设ܣ，，则，．ܣ䁕．故选：D．\n2.已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，F为椭圆C的右焦点，圆上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，，分别为直线BP，QF的斜率则的取值范围是A.B.൐C.D.൐൐【答案】D【解析】解：由题意可得൐取特殊点൐，则PA方程为与椭圆方程联立，可得൐，所以或，所以香，，香，，故排除B，香又因为圆上有一动点P，P不同于A，B两点，故൐，൐，香故排除A，C，故选D．3.对于任意实数k，方程൐所表示的曲线恒过定点A.、൐B.、൐C.、൐D.、൐【答案】B【解析】解：曲线൐可化为൐൐且൐，൐解方程组൐\n可得恒过定点、൐．故选B．4.已知实数成等差数列，记直线൐与曲线的相交弦中点为P，若点ܣ分别是曲线൐൐与x轴上的动点，则ܣ的最小值是A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】解：因为实数成等差数列，所以，则直线൐化为൐，即൐，所以直线൐过定点香，又点Q在曲线上，所以直线൐与曲线相交的一个交点为Q，设另一个交点为香，设䁠，则香䁠，又香在曲线上，化简得䁠，即P在抛物线上运动，设抛物线的焦点为൐，设，min，曲线൐൐，得，记圆心所以ܣܣ．故选B．5.已知抛物线൐，其焦点൐，过点൐的互相垂直的两条直线，分别与抛物线C交于A，B，C，D四点，则四边形ABCD的面积的最小值为A.96B.48C.24D.12【答案】B【解析】解：由于抛物线C：൐，其焦点൐，则，所以抛物线方程为．设直线的方程为且൐，\n设直线与抛物线C交于ܣ，，直线与抛物线C交于，，则，代入消元得，൐，所以，，则ܣ，同理，所以四边形ABCD面积ܣ，，故，，当且仅当时，等号成立．故选B．6.设抛物线的焦点为F，过点൐的直线与抛物线相交于ܣ两点，与抛物线的准线相交于点C，且，则ܣA.B.C.D.【答案】A【解析】解：如图过A、B作准线l：的垂线，垂足分别为ܣ，，，ܣܣ\n又∽ܣܣ，，ܣܣܣ由拋物线定义．ܣܣܣܣ由知，不妨设B在A下方，则，ܣ：൐.把代入上式，求得ܣ，ܣ，ܣܣܣ．故．ܣܣ故选A．7.如图，P为椭圆：൐上的一动点，过点P作椭圆：൐<<的两条切线PAPB，斜率分别为.若⋅为定值，则A.B.C.D.【答案】C【解析】解：设点൐൐在椭圆：൐上，则൐൐，设过点P的直线为൐൐，与൐<<联立消去y得，൐൐൐൐൐，由于直线൐൐与椭圆：൐<<相切，则൐൐൐൐൐，化简整理得，൐，൐൐൐൐൐൐由韦达定理，得，൐൐\n为定值，，解得．故选C．8.已知椭圆：൐与双曲线：有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若恰好将线段AB三等分，则A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意，知，因此椭圆方程为൐，双曲线的一条渐近线方程为，联立方程消去y，得൐，所以直线截椭圆的弦长，解得，．故选C．二、填空题9.已知൐为抛物线䁕䁕൐的焦点，过点F且斜率为k的直线l与曲线P交于B，C两点，过O与BC中点M的直线与曲线P交于N点，则的取值范围是䁑___________．【答案】൐䁕【解析】解：因为൐，所以则䁕，所以抛物线方程为设直线l方程为，显然൐，将直线l方程代入到抛物线方程得到൐\n所以则则，所以，则直线OM的方程为，代入到抛物线方程得：，解得൐或，所以䁑，因为，所以൐䁑䁑䁑䁑故答案为൐．10.已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是________．【答案】【解析】解：抛物线的焦点为൐，圆的圆心为൐，半径，根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时，点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点的距离之和最小，为．故答案为．11.已知过抛物线C：焦点的直线交抛物线C于P，Q两点，交圆൐于M，N两点，其中P，M位于第一象限，则的最小值为__________．香䁑【答案】4【解析】解：设，香设PQ的方程为൐．，，则\n⋅香䁑香，则⋅．香䁑香䁑当且仅当香䁑时，等号成立，故答案为4．12.已知双曲线，过双曲线的上焦点作圆的一条切线，切点为M，交双曲线的下支于点N，T为䁑的中点，则䁩的外接圆的周长为________．【答案】【解析】解：如图，为圆的切线，，在直角三角形中，．设双曲线的下焦点为，连接䁑，䁩为䁑的中位线，䁩䁑.设䁩，则䁑，又䁑䁑൐，䁑䁑൐൐，䁩，\n由勾股定理得，，䁩，在直角三角形OMT中，䁩䁩，即，．又䁩是直角三角形，故其外接圆的直径为䁩，䁩的外接圆的周长为.故答案为．三、解答题13.已知椭圆C：൐，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为.Ⅰ求椭圆C的离心率；Ⅱ若点在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求ܣ面积的最大值．【答案】解：Ⅰ由题意，得，则，结合，得，即൐，亦即൐，结合൐<<，解得．所以椭圆C的离心率为．Ⅱ由Ⅰ得，则．将代入椭圆方程，解得．所以椭圆方程为．易得直线OM的方程为．当直线l的斜率不存在时，AB的中点不可能在直线上，故直线l的斜率存在．设直线l的方程为൐，与联立，消y得൐，所以\n൐．设ܣ，，则，．由，得AB的中点䁑，因为N在直线上，所以，解得．所以൐，得<<，且൐，ܣ⋅．又原点O到直线l的距离，所以ܣ⋅．当且仅当，时等号成立，符合<<，且൐．所以ܣ面积的最大值为：．14.阿基米德公元前287年公元前212年不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.已知平面直角坐标系xOy中，椭圆C：൐的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形．求椭圆C的标准方程；\n过点൐的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，求ܣ面积的最大值．【答案】解：依题意有，解得，所以椭圆C的标准方程是．由题意直线l的斜率不能为0，设直线l的方程为，联立方程组，整理得൐，设ܣ，，所以，⋅，所以⋅，所以，ܣ令，则，，因为在上单调递增，所以当，即൐时，ܣ面积取得最大值为．15.已知椭圆൐过点，离心率是，直线l过椭圆的右焦点F，且与椭圆交于䁑两点䁑两点均位于y轴的右侧，与y轴交于Q点．求椭圆的标准方程；如图1，是否存在直线l，使得成立？若存在，求出l的方程；若不QMQNQF存在，请说明理由．\n如图2，若点ܣ在椭圆上，点C为椭圆上顶点，且四边形CADB是矩形，求矩形CADB的面积S的最大值．16.已知抛物线C：䁕经过点，过点香൐的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．Ⅰ求直线l的斜率的取值范围；Ⅱ设O为原点，香香，香䁑香，求证：为定值．【答案】解：Ⅰ抛物线C：䁕经过点，䁕，解得䁕，由题意，直线l的斜率存在且不为0，设过点൐的直线l的方程为，设ܣ，联立方程组可得，消y可得൐，൐，且൐，解得<，且൐，则，，又ܣ、PB要与y轴相交，直线l不能经过点，即，故直线l的斜率的取值范围是൐൐；Ⅱ证明：设点൐，䁑൐䁑，则香൐，香൐，因为香香，所以，故，同理䁑，直线PA的方程为，令൐，得，同理可得䁑，\n因为䁑，，为定值