易错点8函数与方程的综合应用一、单选题π41.已知函数f(x)=sin(x−6)，若方程f(x)=的解为x1，x2(0<x1<x2<π)，则sin(x1+5x2)=（）3311A.−B.C.D.−2222ln(2x)2.已知偶函数f(x)满足f(4+x)=f(4−x)，且当x∈(0,4]时，f(x)=，关于x的不等x式f2(x)+af(x)>0在[−200,200]上有且只有200个整数解，则实数a的取值范围是（）1111A.(−ln6,ln2]B.(−ln2,−ln6)C.(−ln2,−ln6]D.(−ln6,ln2)33333.已知函数f(x)=x3+x2−2|x|−k.若存在实数x0，使得f(−x0)=−f(x0)成立，则实数k的取值范围是（）A.[−1,+∞)B.(−∞,−1]C.[0,+∞)D.(−∞,0]4.已知函数f(x)=(x−a)ex−alnx，若恰有三个正整数x0，使得f(x0)<0，则实数a的取值范围是（）3e34e41ln21ln3A.(3,4]B.[4+2e4,3+3e3)e+ln3e+2ln22e24e41ln31ln2C.(2,4]D.[3+3e3,2+2e2)e+ln2e+2ln25.函数fx的定义域为D，若满足如下两个条件：(1)fx在D内是单调函数；(2)存在mnmn,⊆D，使得fx在,上的值域为m,n，那么就称函数fx为“希望函数”，若函2222数fx=logaax+ta>0,a≠1是“希望函数”，则t的取值范围是（）1111A.−,0B.−,0C.−,0D.−,044226.已知直线y=ax+b(b>0)与曲线y=x3有且只有两个公共点A(x1,y1)，B(x2,y2)，其中x1<x2，则2x1+x2=（）A.−1B.0C.1D.aπ27.设函数f(x)=cos(2−x)−(x+2)的最大值为M，最小值为m，则(M+m+1)2020的值是x2+4（）A.0B.1C.22019D.22020\n8.已知函数fx为定义在R上且图像连续的偶函数，满足xf'x>0(或xf'x<0)在恒成立．若把函数y=fx的图象向右平移4个单位可得函数y=1gx的图象，则方程gx=g2−的所有根之和为（）x+1A.4；B.6；C.10；D.12．二、单空题11−1−x,x≤229.已知函数f(x)=,则方程xf(x)−1=0的解的个数是_________．1f(x−2),2<x≤6210.已知f(x)=x2+2x+a，若函数y=f(f(x))−f(x)有且仅有3个零点，则实数a的取值集合是______．11.若x1是方程xex=1的解，x2是方程xlnx=1的解，则x1x2等于________．12.已知函数f(x)=x2+2ax+1，存在x0∈R，使得fx0≤1及fx0+1≤1同时成立，则实数a的取值范围是_______________．三、解答题13.若函数f(x)在定义域内存在实数x满足f(−x)=−k⋅f(x),k∈Z，则称函数f(x)为定义域上的“k阶局部奇函数”．(1)若函数f(x)=tanx−2sinx，判断f(x)是否为0,π上的“二阶局部奇函数”并说明理由;(2)若函数f(x)=lgm−x是−2,2上的“一阶局部奇函数”，求实数m的取值范围;(3)对于任意的实数t∈−∞,2，函数f(x)=x2−2x+t恒为R上的“k阶局部奇函数”，求k的取值集合．\n−2x+m14.设f(x)=x+1(m>0,n>0)．2+n(1)当m=n=1时，证明：f(x)不是奇函数；(2)设f(x)是奇函数，求m与n的值；3(3)在(2)的条件下，求不等式f(f(x))+f()<0的解集．1015.对于函数f(x)，若存在实数对(a,b)，使得等式f(a+x)⋅f(a−x)=b对定义域中的任意x都成立，则称函数f(x)是“(a,b)型函数”．(1)若函数f(x)=2x是“(a,b)型函数”且a+log1b=1，求出满足条件的实数对(a,b)；24−2x(2)已知函数h(x)=，函数g(x)是“(a,b)型函数’对应的实数对(a,b)为(1,4)，当x∈x+1[0,1]时，g(x)=x2−m(x−1)+1(m>0).若对任意x1∈[0,2]时，都存在x2∈[0,1]，使得g(x1)=h(x2)，试求m的取值范围．\nππ16.已知向量a =(2sin(ωx+),−3)，b =(sin(ωx+),cos(2ωx))(ω>0)，函数f(x)=a ⋅44b −1，f(x)的最小正周期为π．(1)求f(x)的单调增区间；7π(2)方程f(x)−2n+1=0；在[0,]上有且只有一个解，求实数n的取值范围；12(3)是否存在实数m满足对任意x∈[−1,1]，都存在x∈R，使得4x1+4−x1+m(2x1−122−x1)+1>f(x)成立．若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由2一、单选题π41.已知函数f(x)=sin(x−6)，若方程f(x)=的解为x1，x2(0<x1<x2<π)，则sin(x1+5x2)=（）3311A.−B.C.D.−2222【答案】Aππ5π【解析】解：因为0<x<π，所以x−∈(−,)，666π4又因为x1，x2是sin(x−)=的两根，65，所以，故选A．ln(2x)2.已知偶函数f(x)满足f(4+x)=f(4−x)，且当x∈(0,4]时，f(x)=，关于x的不等x式f2(x)+af(x)>0在[−200,200]上有且只有200个整数解，则实数a的取值范围是（）1111A.(−ln6,ln2]B.(−ln2,−ln6)C.(−ln2,−ln6]D.(−ln6,ln2)3333\n【答案】C1−ln2x【解析】解：当0<x≤4时，f'(x)=，x2e令f'(x)=0得x=，2ee∴f(x)在(0,)上单调递增，在(,4)上单调递减，22∵f(x)是偶函数，∴f(x+4)=f(4−x)=f(x−4)，∴f(x)的周期为8，作出f(x)一个周期内的函数图象如图所示：∵f(x)是偶函数，且不等式f2(x)+af(x)>0在[−200,200]上有且只有200个整数解，∴不等式在(0,200)内有100个整数解，∵f(x)在(0,200)内有25个周期，∴f(x)在一个周期(0,8)内有4个整数解，(1)若a>0，由f2(x)+af(x)>0，可得f(x)>0或f(x)<−a，显然f(x)>0在一个周期(0,8)内有7个整数解，不符合题意；(2)若a<0，由f2(x)+af(x)>0，可得f(x)<0或f(x)>−a，显然f(x)<0在区间(0,8)上无解，∴f(x)>−a在(0,8)上有4个整数解，∵f(x)在(0,8)上关于直线x=4对称，∴f(x)在(0,4)上有2个整数解，ln4ln6∵f(1)=ln2，f(2)==ln2，f(3)=，23∴f(x)>−a在(0,4)上的整数解为x=1，x=2．ln6∴≤−a<ln2，3ln6解得−ln2<a≤−．3\n故选：C．3.已知函数f(x)=x3+x2−2|x|−k.若存在实数x0，使得f(−x0)=−f(x0)成立，则实数k的取值范围是（）A.[−1,+∞)B.(−∞,−1]C.[0,+∞)D.(−∞,0]【答案】A【解析】解：∵f(x)=x3+x2−2|x|−k且f(−x0)=−f(x0)，∴−x3+x2−2|x|−k=−(x3+x2−2|x|−k)整理得x2−2|x|=k，00000000∴原题转化为y=x2−2|x|与y=k的图象有交点，画出y=x2−2|x|的图象如下：x=1时y=−1，由图可知，k≥−1．故选A．4.已知函数f(x)=(x−a)ex−alnx，若恰有三个正整数x0，使得f(x0)<0，则实数a的取值范围是（）3e34e41ln21ln3A.(3,4]B.[4+2e4,3+3e3)e+ln3e+2ln22e24e41ln31ln2C.(2,4]D.[3+3e3,2+2e2)e+ln2e+2ln2【答案】A【解析】解：f(x)的定义域为(0,+∞)，alnx由f(x)<0可得x−a<，ex(1)显然a=0时，不等式在(0,+∞)上无解，不符合题意；1lnx(2)当a<0时，不等式为x−1>，aex1lnx令k(x)=x−1，g(x)=，aex则当x≥1时，k(x)<−1，g(x)≥0，\n1lnx故不等式x−1>没有正整数解，不符合题意；aex1lnx(3)当a>0时，不等式为x−1<，aex1显然k(x)=x−1为增函数，a1−xlnxg'(x)=，令h(x)=1−xlnx，则h'(x)=−(lnx+1)，xex11∴当x>时，h'(x)<0，故h(x)在(,+∞)上单调递减，eee而h(1)=1>0，h(2)=1−2ln2=ln<0，4∴存在x0∈(1,2)使得h(x0)=0，∴当x∈[1,x0)时，h(x)>0，当x>x0时，h(x)<0，即当x∈[1,x0)时，g'(x)>0，当x>x0时，g'(x)<0，∴g(x)在[1,x0)上单调递增，在(x0,+∞)上单调递减，又g(1)=0，且x>1时，g(x)>0，f(x)，g(x)大致图象如图，1lnx故不等式x−1<的三个正整数解为1，2，3，aex1−1<0k(1)<g(1)a3ln3k(3)<g(3)−1<∴，即ae3,k(4)≥g(4)4ln4−1≥a>0ae4a>03e34e4解得：<a≤．e3+ln3e4+2ln2故选：A．5.函数fx的定义域为D，若满足如下两个条件：(1)fx在D内是单调函数；(2)存在mnmn,⊆D，使得fx在,上的值域为m,n，那么就称函数fx为“希望函数”，若函2222\n数fx=logaax+ta>0,a≠1是“希望函数”，则t的取值范围是（）1111A.−,0B.−,0C.−,0D.−,04422【答案】A【解析】解：∵y=ax+t与的单调性相同，且a≠1)在定义域上是增函数，mn∵f(x)在区间,上的值域为m,n，22x∴方程有两解，即方程ax=a2+t有两解，x设a2=m(m>0)，则−t=m−m2，作出−t=m−m2(m>0)的函数图象如图所示：x∵方程ax=a2+t有两解，∴关于m的方程−t=m−m2有两解，11∴0<−t<，所以−<t<0，44故选A．6.已知直线y=ax+b(b>0)与曲线y=x3有且只有两个公共点A(x1,y1)，B(x2,y2)，其中x1<x2，则2x1+x2=（）A.−1B.0C.1D.a【答案】B【解析】解：依题意得，直线y=ax+b(b>0)在点A(x1,y1)处与曲线y=x3相切，∴a=(x3)'|=3x2，x=x11直线y=ax+b(b>0)与曲线y=x3有且只有两个公共点A(x1,y1)，B(x2,y2)，\nx13=ax1+b得x23=ax2+b两式作差得，x13−x23=a(x1−x2)(x1−x2)(x12+x1x2+x22)=a(x1−x2)∵x1<x2∴x12+x1x2+x22=a∵a=3x12∴x12+x1x2+x22=3x12x22+x1x2−2x12=0(x2+2x1)(x2−x1)=0∵x1<x2∴2x1+x2=0，故答案选Ｂ．π27.设函数f(x)=cos(2−x)−(x+2)的最大值为M，最小值为m，则(M+m+1)2020的值是x2+4（）A.0B.1C.22019D.22020【答案】Bπ2【解析】解：f(x)=cos(2−x)−(x+2)sinx−4x=−1，x2+4x2+4sinx−4x设g(x)=2，则g(x)为奇函数，x+4所以g(x)max+g(x)min=0，则M+m=−2，所以(M+m+1)2020=1，故选B．8.已知函数fx为定义在R上且图像连续的偶函数，满足xf'x>0(或xf'x<0)在恒成立．若把函数y=fx的图象向右平移4个单位可得函数y=1gx的图象，则方程gx=g2−的所有根之和为（）x+1A.4；B.6；C.10；D.12．【答案】B【解析】解：由题意，xf'(x)>0，则fx在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，\n又函数f(x)为定义在R上且图像连续的偶函数，即函数f(x)关于y轴对称，所以函数y=g(x)关于x=4对称，且在−∞,4上单调递减，在4,+∞上单调递增，111则方程g(x)=g(2−)，等价于x=2−或x+2−=4×2，x+1x+1x+1即x2−x−1=0或x2−5x−7=0，所以x1+x2=1或x3+x4=5，1所以方程g(x)=g(2−)的所有根之和为x1+x2+x3+x4=1+5=6．x+1故选B．二、单空题11−1−x,x≤229.已知函数f(x)=,则方程xf(x)−1=0的解的个数是_________．1f(x−2),2<x≤62【答案】710.已知f(x)=x2+2x+a，若函数y=f(f(x))−f(x)有且仅有3个零点，则实数a的取值集合是______．【答案】{0}1−4a>0【解析】解：令f(x)=t，则t2+t+a=0有两个不等实数根t1，t2，则t1+t2=−1,t1t2=a令g(x)=x2+2x，若使函数f(f(x))=f(x)有且仅有3根，只需g(x)=x2+2x的图象与直线y=t1−a，y=t2−a恰有3个公共点，所以必有一条直线经过g(x)=x2+2x的顶点，不妨设t1−a=−1，而t2−a>−1，故有t1=a−1，t2=−a，所以t1t2=(a−1)(−a)=a，解得a=0．故答案为：{0}11.若x1是方程xex=1的解，x2是方程xlnx=1的解，则x1x2等于________．【答案】1【解析】因为x1是方程xex=1的解，x2是方程xlnx=1的解；x11所以x1是方程e=的解，x2是方程lnx=的解，xxx1x1是y=e，y=图象交点的横坐标；x\n1x2是y=lnx，y=图象交点的横坐标，x因为y=lnx与y=ex互为反函数，所以y=lnx与y=ex的图象关于y=x对称，1又因为y=的图象也关于y=x对称，x所以(x1,y1)，(x2,y2)关于y=x对称；可得x2=y1，x1=y2，1x1x2=x1y1=x1×=1．x112.已知函数f(x)=x2+2ax+1，存在x0∈R，使得fx0≤1及fx0+1≤1同时成立，则实数a的取值范围是_______________．3113【答案】[−,−]∪[,]2222【解析】解：令f(x)=x2+2ax+1=1，则x1=0，x2=−2a，则有|x1−x2|=|2a|，∵存在x0∈R，使得|f(x0)|≤1及|f(x0+1)|≤1同时成立，∵f(x)开口向上，故f(x)=1的两根间距不小于1，11∴|2a|≥1，解得a≤−或a≥．22同理：令f(x)=x2+2ax+1=−1，则x2+2ax+2=0则x=−2a±4a2−8，则有|x21−x2|=4a−8，2∵存在x0∈R，使得|f(x0)|≤1及|f(x0+1)|≤1同时成立，∵f(x)开口向上，故f(x)=−1两根间距不大于1，2933∴4a2−8≤1，即a≤，解得−≤a≤，4223113综上所述，a∈[−,−]∪[,].22223113故答案为[−,−]∪[,].2222三、解答题13.若函数f(x)在定义域内存在实数x满足f(−x)=−k⋅f(x),k∈Z，则称函数f(x)为定义域上的“k阶局部奇函数”．(1)若函数f(x)=tanx−2sinx，判断f(x)是否为0,π上的“二阶局部奇函数”并说明理由;\n(2)若函数f(x)=lgm−x是−2,2上的“一阶局部奇函数”，求实数m的取值范围;(3)对于任意的实数t∈−∞,2，函数f(x)=x2−2x+t恒为R上的“k阶局部奇函数”，求k的取值集合．【答案】解：(1)由题意得，f(−x)+2f(x)=0⇒tan−x−2sin−x=−2tanx+4sinxsinx即tanx=2sinx，由∵x∈0,π∴sinx≠0且tanx=，cosx1π得cosx=，∵x∈0,π∴x=∴f(x)是0,π上的“二阶局部奇函数”23(2)由题意得，f(−x)+f(x)=0⇒lgm+x+lgm−x=lgm2−x2=0m2=1+x2,x∈−2,2m2∈1,5即∀x∈−2,2,m+x>0⇒m>−xmax,x∈−2,2⇒m∈2,5∀x∈−2,2,m−x>0m>xmax,x∈−2,2(3)由题意得，f(−x)+k⋅f(x)=0在R上有解⇒−x2−2−x+t+kx2−2x+t=0有解即k+1x2+2−2kx+k+1t=0有解当k=−1时，x=0∈R，满足题意当k≠−1时，对于任意的实数t∈−∞,2,Δ=2−2k2−4k+12t≥0,⇒4k+12⋅2−2−2k2≤0⇒k2+6k+1≤0⇒k∈−3−22,−3+22由k∈Z，故k∈−5,−4,−3,−2,−1−2x+m14.设f(x)=x+1(m>0,n>0)．2+n(1)当m=n=1时，证明：f(x)不是奇函数；(2)设f(x)是奇函数，求m与n的值；3(3)在(2)的条件下，求不等式f(f(x))+f()<0的解集．10−2x+1【答案】(1)证明：当m=n=1时，f(x)=．2x+1+1\n−2+111−+11由于f(1)=2=−，f(−1)=2=，2+151+14所以f(−1)≠−f(1)，f(x)不是奇函数．(2)解：f(x)是奇函数时，f(−x)=−f(x)，−2−x+m−2x+m即=−，对定义域内任意实数x成立．2−x+1+n2x+1+n化简整理得(2m−n)⋅22x+(2mn−4)⋅2x+(2m−n)=0，这是关于x的恒等式，所以2mn−4=0，2m−n=0解得n=−2或n=2．经检验m=1，n=2符合题意．−2x+1(3)解：由(2)可知，f(x)=，2x+1+2易判断f(x)是R上单调减函数．3由f(f(x))+f()<0，得1033xf(f(x))<f()，f(x)>−，2<4，得x<21010即f(x)>0的解集为(−∞,2)．15.对于函数f(x)，若存在实数对(a,b)，使得等式f(a+x)⋅f(a−x)=b对定义域中的任意x都成立，则称函数f(x)是“(a,b)型函数”．(1)若函数f(x)=2x是“(a,b)型函数”且a+log1b=1，求出满足条件的实数对(a,b)；24−2x(2)已知函数h(x)=，函数g(x)是“(a,b)型函数’对应的实数对(a,b)为(1,4)，当x∈x+1[0,1]时，g(x)=x2−m(x−1)+1(m>0).若对任意x1∈[0,2]时，都存在x2∈[0,1]，使得g(x1)=h(x2)，试求m的取值范围．【答案】解：(1)由题意若函数f(x)=2x是“(a,b)型函数”则2a+x2a−x=b.即4a=b.代入a+log1b=1得a+log14a=1，2211即a−2a=l得a=−1，b=，所求实数对为(−1,).44(2)由题意得：g(x)的值域是h(x)值域的子集，易知h(x)在[0,1]内的值域为[1,4]，只需使当x∈[0,2]时，1≤g(x)≤4恒成立即可，g(1+x)g(1−x)=4，即g(x)g(2−x)=4，而当x∈[0,1]时，2−x∈[1,2]，故由题意得，要使当x∈[0,2]时，都有1≤g(x)≤4，只需使当x∈[0,1]时，1≤g(x)≤4恒成立即可，即1≤x2−m(x−1)+1≤4在[0,1]上恒成立，\n若x=l，显然不等式在[0,1]成立，x2m≥x−1若x≠l，则可将不等式转化为，x2−3m≤x−1x2显然当m>0时，不等式m≥成立，x−1x2−32令u(x)==x−l−+2，x∈[0,1]x−1x−1则u(x)在x∈[0,1]上单调递增，则u(x)的最小值为u(0)=3，∴此时m≤3，综上0<m≤3，综上所述，所求m的取值范围是(0,3]．ππ16.已知向量a =(2sin(ωx+),−3)，b =(sin(ωx+),cos(2ωx))(ω>0)，函数f(x)=a ⋅44b −1，f(x)的最小正周期为π．(1)求f(x)的单调增区间；7π(2)方程f(x)−2n+1=0；在[0,]上有且只有一个解，求实数n的取值范围；12(3)是否存在实数m满足对任意x∈[−1,1]，都存在x∈R，使得4x1+4−x1+m(2x1−122−x1)+1>f(x)成立．若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．2【答案】解：(1)函数f(x)=a ⋅b −1π=2sin2(ωx+)−3cos(2ωx)−14=sin(2ωx)−3cos(2ωx)π=2sin(2ωx−)3∵f(x)的最小正周期为π，ω>0，2π∴=π，∴ω=1．2ωπ那么f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x−)；3\nπππ令2kπ−≤2x−≤+2kπ，k∈Z，232π5π得：kπ−≤x≤kπ+，k∈Z，1212π5π∴f(x)的单调增区间为[kπ−,kπ+]，k∈Z．12127π(2)方程f(x)−2n+1=0在[0,]上有且只有一个解，12转化为函数y=f(x)+1与函数y=2n只有一个交点．7πππ5π∵x在[0,]上，∴−≤(2x−)≤，12336π7π那么函数y=f(x)+1=2sin(2x−)+1在[0,]上先增后减，值域为[1−3,3]，且312时，y=2，结合图象可知函数y=f(x)+1与函数y=2n只有一个交点．那么1−3⩽2n<2或2n=3，1−33可得⩽n<1或n=．22π(3)由(1)可知f(x)=2sin(2x−3)，∴f(x2)min=−2．实数m满足对任意x1∈[−1,1]，都存在x2∈R，使得4x1+4−x1+m(2x1−2−x1)+1>f(x)成立．2即4x1+4−x1+m(2x1−2−x1)+1>−2成立，设2x1−2−x1=t，那么4x1+4−x1=(2x1−2−x1)2+2=t2+2∵x1∈[−1,1]，33233∴t∈[−,]，可得t+mt+5>0在t∈[−,]上成立．2222\nm令g(t)=t2+mt+5>0，其对称轴t=−，233∵t∈[−,]上，22m33293m∴①当−≤−，即m≥3时，g(t)min=g(−)=−>0，2224229解得3≤m<；63m3mm2②当−2<−2<2，即−3<m<3时，g(t)min=g(−)=5−>0，24则−3<m<3；3m3293m③当≤−，即m≤−3时，g(t)min=g()=+>0，2224229解得−<m≤−3；62929综上可得，存在m，可知m的取值范围是(−,)66
