山东省2022届高三理科数学备考之2022届名校解析试题精选分类汇编7：立体几何一、选择题．（山东省潍坊市2022届高三第二次模拟考试理科数学）有一平行六面体的三视图如图所示,其中俯视图和左视图均为矩形,则这个平行六面体的表面积为（ ）A．B．C．D．42【答案】C由三视图可知该平行六面体的底面是个矩形,两个侧面和底面垂直.其中侧棱.底面边长,平行六面体的高为.,又,所以.所以平行六面体的表面积为,选C．．（山东省枣庄三中2022届高三上学期1月阶段测试理科数学）如图所示是以建筑物的三视图,现需将其外壁用油漆刷一遍,若每平方米用漆0.2kg,则共需油漆大约公斤数为(尺寸如图所示,单位:米π取3)38（ ）A．20B．22.2C．111D．110【答案】B【解析】由三视图可知,该几何体上面是个圆锥,下面是个长方体.长方体的底面是边长为3的正方形,高为4,所以长方体的表面积(去掉上下两个底面)为.圆锥的底面半径为3,母线为5,所以圆锥的侧面积为,底面积(去掉一个正方形)为,所以该几何体的总面积为,所以共需油漆公斤,选B．．（山东省青岛市2022届高三第一次模拟考试理科数学）一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是的圆,则这个几何体的表面积是正视图俯视图左视图（ ）A．B．C．D．【答案】A由三视图可知,该几何体是一挖去半球的球.其中两个半圆的面积为.个球的表面积为,所以这个几何体的表面积是,选（ ）A．．（山东省青岛市2022届高三第一次模拟考试理科数学）已知、为两条不同的直线,、为两个不同的平面,则下列命题中正确的是（ ）A．若,,且,则38B．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等,则C．若,则D．若,则【答案】D根据线面垂直的性质可知,选项D正确.．（山东省青岛即墨市2022届高三上学期期末考试数学（理）试题）设a,b是不同的直线,是不同的平面,则下列命题:①若②若③若④若其中正确命题的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】①当时与可能相交,所以①错误.②中不一定成立.③中或,所以错误.④正确,所以正确的个数有1个,所以选B．．（山东省烟台市2022届高三3月诊断性测试数学理试题）如右图,某几何体的三视图均为边长为l的正方形,则该几何体的体积是（ ）A．B．C．1D．【答案】A由题意三视图对应的几何体如图所示,所以几何体的体积为正方体的体积减去一个三棱锥的体积,即,选（ ）A．．（山东省枣庄三中2022届高三上学期1月阶段测试理科数学）已知直线⊥平面α,直线平面β,给出下列命题:38①α∥βl⊥m②α⊥βl∥m③l∥mα⊥β④l⊥mα∥β其中正确命题的序号是（ ）A．①②③B．②③④C．①③D．②④【答案】C【解析】当时,有,所以,所以①正确.若,则,又平面β,所以,所以③正确,②④不正确,所以选C．．（山东省潍坊市2022届高三第二次模拟考试理科数学）已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,给出四个命题:①若,则②若,则③若,则④若,则其中正确的命题是（ ）A．①②B．②③C．①④D．②④【答案】B由面面垂直的性质可知②③正确.．（山东省泰安市2022届高三上学期期末考试数学理）下列命题正确的是（ ）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行【答案】C【解析】（ ）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线可能平行,也可能相交或异面,所以错误.B中,若三点共线,则两平面不一定平行,所以错误.C正确.D若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行或相交,所以错误.所以命题正确的为C,选C．．（山东省滨州市2022届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A．B．C．D．【答案】B由三视图可知,该几何体是四棱锥,以俯视图为底,高为1,俯视图的面积为,使用四棱锥的体积为,选B．38．（山东省烟台市2022届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,给出下列命题:①若,则;②若,且则;③若,则;④若,,且,则.其中正确命题的序号是（ ）A．①④B．②③C．②④D．①③【答案】B【解析】①当时,不一定成立,所以错误.②成立.③成立.④,,且,也可能相交,所以错误.所以选B．．（山东省枣庄市2022届高三3月模拟考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,其中的长度单位为cm,则该几何体的体积为()cm3.（ ）A．18B．48C．45D．54【答案】D由三视图可知,该几何体时底面是矩形的四棱柱,以俯视图为底,底面直角梯形的上底为4,下底为5,高为3.棱柱的高为4,所以四棱柱的体积为,选D．．（2022年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中,体积最大的几何体的表面积为（ ）A．13B．7+3C．D．14【答案】D由正视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱,或水平放置的圆柱.由图象可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为1,底面边长分别为1,3,所以表面积为,选D．38．（山东省威海市2022届高三上学期期末考试理科数学）某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积不可能是（ ）A．B．C．D．【答案】D由三视图可知,该几何体时一个侧面和底面垂直的的三棱锥,,其中底面三角形为直径三角形,,,,设,则,所以三棱锥的体积为,当且仅当,即时取等号,此时体积有最大值,所以该三棱锥的体积不可能是3,选D．．（【解析】山东省济宁市2022届高三第一次模拟考试理科数学）已知m,n是空间两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题正确的是（ ）A．若,,,则B．若,则C．若则D．若则【答案】D【解析】根据线面垂直的判和性质可知,D正确.．（山东省潍坊市2022届高三上学期期末考试数学理（ ）A．）一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是（ ）38A．B．C．D．【答案】D【解析】该几何体的直观图如图1所示,它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面ABCD是边长为4的正方形,高为CC1=4,该几何体的所有顶点在同一球面上,则球的直径为,所以球的半径为,,所以球的表面积是,选D．．（山东省济南市2022届高三上学期期末考试理科数学）一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是【答案】C【解析】若俯视图为C,则俯视图的宽和左视图的宽长度不同,所以俯视图不可能是C．．（山东省淄博市2022届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是（ ）A．1B．2C．3D．438【答案】B由题设及图知,此几何体为一个四棱锥,其底面为一个对角线长为2的正方形,故其底面积为.由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高,其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形由于此侧棱长为,对角线长为2,故棱锥的高为.此棱锥的体积为,选B．．（山东省济南市2022届高三3月高考模拟理科数学）一个几何体的三视图如右图所示,则它的体积为第11题图（ ）A．B．C．D．【答案】B由三视图可知,该几何体是一个放到的四棱锥,其中四棱锥的底面是主视图,为直角梯形,直角梯形的上底为1,下底为4,高为4.棱锥的高位4,所以四棱锥的体积为,选B．．（山东省泰安市2022届高三上学期期末考试数学理）如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边均为1,则该几何体的体积为（ ）A．B．C．D．138【答案】A【解析】由三视图可知,该几何体是四棱锥,底面为边长为1的正方形,高为1的四棱锥,所以体积为,选（ ）A．．（山东省临沂市2022届高三5月高考模拟理科数学）某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为24侧视图第7题图6正视图俯视图45（ ）A．B．C．D．【答案】A由几何体的三视图,知该几何体的下半部分是长方体,上半部分是半径为2,高为5的圆柱的一半.长方体的中,所以长方体的表面积为(去掉一个上底面).半圆柱的两个底面积为,半圆柱的侧面积为,所以整个组合体的表面积为,选（ ）A．.．（山东省烟台市2022届高三上学期期末考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如下所示,则该几何体的表面积是（ ）A．B．C．D．[【答案】C【解析】由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,三棱柱的底面是一个腰长为2,底面上的高是1的等腰三角形,侧棱长是3,所以该几何体的表面积为,选C．38．（山东省潍坊市2022届高三上学期期末考试数学理（ ）A．）设是两条不同直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是（ ）A．B．,则C．,则D．,则【答案】B【解析】A中直线也有可能异面,所以不正确.B正确.C中不一定垂直,错误.D当相交时,结论成立,当不相交时,结论错误.所以选B．二、填空题．（山东省潍坊市2022届高三第一次模拟考试理科数学）已知一圆柱内接于球O,且圆柱的底面直径与母线长均为2,则球为O的表面积为_____.【答案】圆柱的底面直径与母线长均为2,所以球的直径,即球半径为,所以球的表面积为.．（山东省泰安市2022届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上,且,则棱锥的体积为______.【答案】球心在矩形的射影为矩形对角线的交点上.所以对角线长为,所以棱锥的高为,所以棱锥的体积为.．（山东省德州市2022届高三3月模拟检测理科数学）一空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为,则图中x的值为_______________.【答案】3由三视图可知,该几何体下面是个圆柱,上面是个四棱锥.圆柱的体积为,四棱锥的底面积为,所以四棱锥的体积为,所以,所以四棱锥的高.所以,即.38三、解答题．（山东省烟台市2022届高三3月诊断性测试数学理试题）如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60o,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.(1)求证:BC⊥平面ACFE;(2)点M在线段EF上运动,设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为≤90o),试求cos的取值范围.【答案】．（【解析】山东省济宁市2022届高三第一次模拟考试理科数学）如图1,的直径AB=4,点C、D为上两点,且CAB=45°,38DAB=60°,F为弧BC的中点.沿直径AB折起,使两个半圆所在平面互相垂直,如图2.(I)求证:OF平面ACD;[(II)(Ⅱ)求二面角C—AD—B的余弦值;(Ⅲ)在弧BD上是否存在点G,使得FG平面ACD?若存在,试指出点G的位置;若不存在,请说明理由.【答案】(方法一):证明:(Ⅰ)如右图,连接,,又为弧的中点,,.平面,平面,平面.解:(Ⅱ)过作于,连.,平面⊥平面.⊥平面.又平面,,平面,,则∠是二面角的平面角.,,.由⊥平面,平面,得为直角三角形,,==(Ⅲ)取弧的中点,连结、,则平面,平面平面//平面.因此,在弧上存在点,使得//平面,且点为弧的中点(方法二):证明:(Ⅰ)如图,以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,以为原点,建立空间直角坐标系38则,点为弧的中点,点的坐标为,.解:(Ⅱ),点的坐标,.设二面角的大小为,为平面的一个法向量.由有即取,解得,.=取平面的一个法向量=,(Ⅲ)设在弧上存在点,,由(Ⅱ)知平面的一个法向量为=.=①又因为②由①②两式联立解得,,因为,所以,则为弧的中点,因此,在弧上存在点,使得//平面,且点为弧的中点．（山东省淄博市2022届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）在如图所示的几何体中,是边长为2的正三角形,平面ABC,平面平面ABC,BD=CD,且(I)若AE=2,求证:AC、、平面BDE;(II)若二面角A—DE—B为60°,求AE的长.38【答案】解:(Ⅰ)分别取的中点,连接,BEDCAMNP则∥,∥,且因为,,为的中点,所以,又因为平面⊥平面,所以平面又平面,所以∥所以∥,且,因此四边形为平行四边形,所以∥,所以∥,又平面,平面,所以∥平面(或者建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,计算即证)MBEDCAN(Ⅱ)解法一:过作的延长线于,连接.因为,,所以平面,平面38则有.所以平面,平面,所以.所以为二面角的平面角,即在中,,则,.在中,.设,则,所以,又在中,,即=解得,所以解法二:BEDCAMxyz由(Ⅰ)知平面,,建立如图所示的空间直角坐标系.设,则,,,,,.设平面的法向量则所以38令,所以又平面的法向量所以解得,即．（山东省青岛即墨市2022届高三上学期期末考试数学（理）试题）如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形,AB//EF,,平面.(1)求证:.(2)求钝二面角B-FC-D的大小.【答案】解:(1)(2)分别以AD,AB,AE所在直线为x轴,y轴,z轴,建立的空间直角坐标系,则A(0,0,0)、D(1,0,0)、C(1,2,0)、E(0,0,1)、B(0,2,0)、F(0,1,1)38．（山东省青岛市2022届高三第一次模拟考试理科数学）如图,几何体中,四边形为菱形,,,面∥面,、、都垂直于面,且,为的中点,为的中点.(Ⅰ)求证:为等腰直角三角形;(Ⅱ)求二面角的余弦值.【答案】解:(I)连接,交于,因为四边形为菱形,,所以因为、都垂直于面,,又面∥面,所以四边形为平行四边形,则因为、、都垂直于面,则38所以所以为等腰直角三角形(II)取的中点,因为分别为的中点,所以∥,以分别为轴建立坐标系则所以设面的法向量为,则,即且令,则设面的法向量为,则即且令,则38则,则二面角的余弦值为．（2022年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图,四边形ABCD为矩形,PD平面ABCD,PD//QA,QA=AD=PD(I)求证:平面PQC平面DCQ;(Ⅱ)若二面角Q-BP-C的余弦值为,求的值【答案】38．（山东省滨州市2022届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）如图,在四棱锥中,底面为直角,∥,分别为的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)设>,且二面角的大小为,求此时的值.【答案】38．（山东省济南市2022届高三3月高考模拟理科数学）已知四棱锥的底面是等腰梯形,且分别是的中点.(1)求证:;(2)求二面角的余弦值.第18题图【答案】证明:(1)分别是的中点.是的中位线,-----由已知可知38----------------------------------5分(2)以所在直线为x轴,y轴,z轴,建系由题设,,设平面的法向量为可得,平面的法向量为设二面角为,38．（山东省潍坊市2022届高三第二次模拟考试理科数学）已知正三棱柱中,AB=2,,点D为AC的中点,点E在线段上(I)当时,求证;(Ⅱ)是否存在点E,使二面角D-BE-A等于若存在求AE的长;若不存在,请说明理由【答案】．（山东省潍坊市2022届高三上学期期末考试数学理（A））如图,五面体中,四边形ABCD是矩形,DA面ABEF,且DA=1,AB//EF,,P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点.38(I)求证:PQ//平面BCE;(II)求证:AM平面ADF;【答案】．（山东省泰安市2022届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）如图在多面体ABCDEF中,ABCD为正方形,ED平面ABCD,FB//ED,且AD=DE=2BF=2.(I)求证:;(II)求二面角C—EF—D的大小;(III)设G为CD上一动点,试确定G的位置使得BG//平面CEF,并证明你的结论.【答案】38．（山东省济南市2022届高三上学期期末考试理科数学）已知四棱锥的底面是直角梯形,,,,是的中点(1)证明:;(2)求二面角的大小.38（第20题）【答案】证明:取的中点为连接又(2)建系:以DA,DB,DP分别为x轴、y轴、z轴,则令x=1,则38又因为二面角为．（山东省枣庄三中2022届高三上学期1月阶段测试理科数学）如图所示,在棱锥中,平面,底面为直角梯形,且//,,(Ⅰ)求证:(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值.【答案】解:(Ⅰ)在直角梯形ABCD中,AC=,取AB中点E,连接CE,则四边形AECD为正方形,AE=CE=2,又BE=,则为等腰直角三角形,,又平面ABCD,平面,,由得平面PAC,平面PAC,所以(Ⅱ)以A为坐标原点,AD,AB,AP分别为轴,建立如图所示的坐标系.则,B(0,4,0),C(2,2,0),由(Ⅰ)知即为平面PAC的一个法向量,38,即PB与平面PAC所成角的正弦值为．（山东省泰安市2022届高三上学期期末考试数学理）如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD.底面ABCD为直角梯形,点E在棱PA上,且PE=2EA.(I)求证:平面PBD;(II)求二面角A—BE—D的余弦值.【答案】38．（山东省烟台市2022届高三上学期期末考试数学（理）试题）如图,正方形ABCD的边长为2,将四条边对应的第腰三角形折起构成一个正四棱锥P-ABCD.38(1)当Q为PC为中点时,证明PA//平面BDQ;(2)当等腰三角形的腰长为多少时,异面直线PA与BC所成的角为60o;(3)当侧棱与底面所成的角为60o时,求相邻两个侧面所成的二面角的余弦值.【答案】38．（山东省德州市2022届高三3月模拟检测理科数学）已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形∠BCD=60°,AB=PB=PD=2,PC=,AC与BD交于O点,H为OC的中点.(1)求证PH平面ABCD;(2)求侧面PAB与底面ABCD所成二面角的余弦值.【答案】3838．（山东省威海市2022届高三上学期期末考试理科数学）三棱锥,底面为边长为的正三角形,平面平面,,为上一点,,为底面三角形中心.(Ⅰ)求证∥面;(Ⅱ)求证:;(Ⅲ)设为中点,求二面角的余弦值.PDCBAO【答案】证明:(Ⅰ)连结交于点,连结.为正三角形的中心,∴,PDCBAOEM且为中点.又,∴∥,平面,平面∴∥面(Ⅱ),且为中点,∴,又平面平面,∴平面,由(Ⅰ)知,∥,∴平面,∴连结,则,又,∴平面,∴(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知,两两互相垂直,且为中点,所以分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系,如图,则∴38设平面的法向量为,则,令,则由(Ⅱ)知平面,∴为平面的法向量,∴,由图可知,二面角的余弦值为．（山东省潍坊市2022届高三第一次模拟考试理科数学）(本小题满分1)如图,四边形ABCD中,,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,点E,F分别在BC,AD上,且E为BC中点,EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起,使二面角等于.(I)设这P为AD的中点,求证:CP∥平面ABEF;(Ⅱ)求直线AF与平面ACD所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)取的中点,连、,则,又∥,所以,即四边形为平行四边形,所以∥,又平面,,故∥平面.(Ⅱ)由题知折叠后仍有,则,为二面角的平面角,即,过作,作∥交于,则,38分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,在中,,则,,设平面的一个法向量则,令则,直线与平面所成角的正弦值为．（山东省枣庄市2022届高三3月模拟考试数学（理）试题）(本小题满分12分)如图所示的几何体中,ABCD是等腰梯形,AB//CD,ACFE是矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,AD=DC=CB=CF=a,∠ACB=.(1)若//平面BDF,求EM的长度;(2)求二面角B—EF—C的平面角的大小.【答案】38．（山东省临沂市2022届高三5月高考模拟理科数学）如图,已知矩形ABCD中,AB=2AD=2,O为CD的中点,沿AO将三角形AOD折起,使.(Ⅰ)求证:平面AOD⊥ABCO;(Ⅱ)求直线BC与平面ABD所成角的正弦值.38DCABOABCDO第20题图【答案】(Ⅰ)∵在矩形ABCD中,AB=2AD=2,O为CD中点,∴△AOD,△BOC为等腰直角三角形,∴∠AOB=90º,即OB⊥OA.取AO中点H,连结DH,BH,则OH=DH=,在Rt△BOH中,BH2=BO2+OH2=,在△BHD中,DH2+BH2=又DB2=3,∴DH2+BH2=DB2,∴DH⊥BH.又DH⊥OA,OA∩BH=H∴DH⊥面ABCO,而DH∈平面AOD,∴平面AOD⊥平面ABCO.(Ⅱ)解:分别以直线OA,OB为x轴和y轴,O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,.∴HABCDOyxz设平面ABD的一个法向量为由得即令则,取设为直线BC与平面ABD所成的角,则38即直线BC与平面ABD所成角的正弦值为．（山东省淄博市2022届高三上学期期末考试数学（理））如图,五面体中,四边形ABCD是矩形,DA面ABEF,且DA=1,AB//EF,,P、Q、M分别为AE、BD、EF的中点.(I)求证:PQ//平面BCE;(II)求证:AM平面ADF;(III)求二面角,A—DF—E的余弦值.【答案】38
