闵行区2022学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷（理科）一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程组的增广矩阵为．2．已知集合，，则集合．3.若，且为实数，则实数的值为．4.用二分法研究方程的近似解，借助计算器经过若干次运算得下表：运算次数1…456…解的范围……若精确到，至少运算次，则的值为．第6题图克频率/组距0.1500.1250.1000.0750.05096981001021041065．已知是夹角为的两个单位向量，向量若，则实数的值为．6．某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间，样本中净重在区间的产品个数是，则样本中净重在区间的产品个数是．7.一个圆锥的底面积为，且该圆锥的母线与底面所成的角为，则该圆锥的侧面积为．8.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，在极坐标系中曲线的极坐标方程为，曲线与相交于11两点、，则弦长等于.9.设双曲线的左右顶点分别为、，为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线、的斜率分别为、，则的值为．10.设的三个内角所对的边长依次为，若的面积为，且，则．11.已知随机变量所有的取值为，对应的概率依次为，若随机变量的方差，则的值是．12.公差为，各项均为正整数的等差数列中，若，则的最小值等于．13.已知的外接圆的圆心为，则．14．设是定义在上的函数，若，且对任意的，满足,则=．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．二项式展开式中的系数为()（A）．（B）．（C）．（D）．16．在中，“”是“是钝角三角形”的()（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件17．设函数，则函数的最小值是()（A）．（B）0．（C）．（D）．18．给出下列四个命题：①如果复数满足，则复数在复平面上所对应点的轨迹是椭圆．11②设是定义在上的函数，且对任意的，恒成立，则是上的奇函数或偶函数．③已知曲线和两定点，若是上的动点，则．④设定义在上的两个函数、都有最小值，且对任意的，命题“或”正确，则的最小值为正数或的最小值为正数．上述命题中错误的个数是（）（A）1．（B）2．（C）3．（D）4．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．如图，在半径为的半圆形（为圆心）铝皮上截取一块矩形材料，其中点、在直径上，点、在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：①设，矩形的面积为，求的表达式，并写出的范围．BACDO②设，矩形的面积为，求的表达式，并写出的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形的面积最大？并求最大面积．ABCEC1A1B1F20．（本题满分14分）11本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．如图，在直三棱柱中，，，，点分别在棱上，且．（1）求四棱锥的体积；（2）求所在半平面与所在半平面所成二面角的余弦值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过两点，是上的动点．（1）求的最大值；（2）若平行于的直线在轴上的截距为，直线交椭圆于两个不同点，求证：直线与直线的倾斜角互补．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分．已知．（1）当时，判断的奇偶性，并说明理由；11（2）当时，若，求的值；（3）若，且对任何不等式恒成立，求实数的取值范围．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．如图，过坐标原点作倾斜角为的直线交抛物线于点，过点作倾斜角为的直线交轴于点，交于点；过点作倾斜角为的直线交轴于点，交于点；过点作倾斜角为的直线，交轴于点，交于点；如此下去……．又设线段的长分别为，的面积分别为数列的前项的和为．xyOP1P2P3Q1Q3Q2P4（1）求；（2）求，；（3）设，数列的前项和为，对于正整数，若，且，试比较与的大小．11闵行区2022学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一、（第1题至第14题）1．；2．；3．；4．5.3；5．；6．44；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．．二、（第15题至第18题）15．D；16．A；17．B；18．D．三、（第19题至第23题）19.[解]①由，得，其中2分所以即，………………………………4分②连接，则……………………2分所以即．……………………4分（2）①由得当即当时，取最大值．……4分此时，当取时，矩形的面积最大，最大面积为．…2分yABCEC1A1B1Fzx②，当且仅当，即时，取最大值．……4分，当取时，矩形的面积最大，最大面积为．…2分20.[解]（1）……7分（2）建立如图所示的直角坐标系，则,,,，11,……………………2分设平面的法向量为，则，所以……………………………2分平面的法向量为，则所以所在半平面与所在半平面所成二面角的余弦值为．…3分21.[解]（1）设椭圆的方程为将代入椭圆的方程，得………2分解得，所以椭圆的方程为…………2分设点的坐标为，则．又是上的动点，所以，得，代入上式得，故时，．的最大值为．………………2分（2）因为直线平行于，且在轴上的截距为，又，所以直线的方程为．由得………………2分设、，则．又故．………2分11又，所以上式分子………2分故．所以直线与直线的倾斜角互补．…………………………………2分22.[解]（1）当时，既不是奇函数也不是偶函数．……2分∵，∴所以既不是奇函数，也不是偶函数．………………………………………2分（2）当时，，由得……………………………2分即或………………………2分解得所以或．………………2分（3）当时，取任意实数，不等式恒成立，故只需考虑，此时原不等式变为即………………………………………………………2分故又函数在上单调递增，所以；对于函数①当时，在上单调递减，，又，所以，此时的取值范围是．……………………………………2分11②当，在上，，当时，，此时要使存在，必须有即，此时的取值范围是综上，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是；当时，的取值范围是．……………………………2分23.[解]（1）如图，由是边长为的等边三角形，得点的坐标为，又在抛物线上，所以，得………………2分同理在抛物线上，得………………2分（2）如图，法1：点的坐标为，即点，所以直线的方程为或，因此，点的坐标满足消去得，所以又，故从而……①……………………………………………2分由①有……②②-①得即，又，于是11所以是以为首项、为公差的等差数，…………2分，……………………2分法2：点的坐标为，即点，所以直线的方程为或因此，点的坐标满足消去得，又，所以，从而…①……2分以下各步同法1法3：点的坐标为，即点，所以，又在抛物线上，得,即……………2分以下各步同法1（3）因为，所以数列是正项等比数列，且公比，首项，则，，，……2分=（注意）…………………………2分11而（注意）………………………2分因为，所以,又均为正整数，所以与同号，故，所以，．…………………2分（第（3）问只写出正确结论的，给1分）11
