闵行区2022学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷（文科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、姓名填写清楚，并填涂准考证号．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分使用黑色字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写．2．本试卷共有23道题，共5页．满分150分，考试时间120分钟．3．考试后只交答题纸，试卷由考生自己保留．一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程组的增广矩阵为．2．已知集合，，则集合．3.若，且为实数，则实数的值为．4.用二分法研究方程的近似解，借助计算器经过若干次运算得下表：运算次数1…456…解的范围……若精确到，至少运算次，则的值为．克频率/组距0.1500.1250.1000.0750.0509698100102104106第6题图5．已知是夹角为的两个单位向量，向量若，则实数的值为．6．某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间，样本中净重在区间的产品个数是，则样本中净重在区间的产品个数是．7.一个圆锥的底面积为，且该圆锥的母线与底面所成的角为，则该圆锥的侧面积为．128.公差为，各项均为正整数的等差数列中，若，则的最小值等于．9.设双曲线的左右顶点分别为、，为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线、的斜率分别为、，则的值为．10.设的三个内角所对的边长依次为，若的面积为，且，则．11.袋中装有7个大小相同的小球，每个小球上标记一个正整数号码，号码各不相同，且成等差数列，这7个号码的和为49，现从袋中任取两个小球，则这两个小球上的号码均小于7的概率为．12.设，且，则的最大值为．13.已知的重心为，则．14．设是定义在上的函数，若，且对任意的，满足，则=____________．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．二项式展开式中的系数为()（A）．（B）．（C）．（D）．16．在中，“”是“是钝角三角形”的()（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件17．设函数，则函数的最小值是()（A）．（B）0．（C）．（D）．18．给出下列四个命题：①如果复数满足，则复数在复平面的对应点的轨迹是椭圆．12②若对任意的，恒成立，则数列是等差数列或等比数列．③设是定义在上的函数，且对任意的，恒成立，则是上的奇函数或偶函数．④已知曲线和两定点，若是上的动点，则．上述命题中错误的个数是（）（A）1．（B）2．（C）3．（D）4．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．ABCEC1A1B1F19．（本题满分12分）本题共有2个小题，.第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分．如图，在直三棱柱中，，，，点分别在棱上，且．（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成的角的大小．解：20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分．BACDO如图，在半径为的半圆形（为圆心）铝皮上截取一块矩形材料，其中点、在直径上，点、在圆周上．（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：①设，矩形的面积为，求12的表达式，并写出的范围．②设，矩形的面积为，求的表达式，并写出的范围．（2）怎样截取才能使截得的矩形的面积最大？并求最大面积．解：21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过两点．（1）求椭圆的方程；（2）若平行于的直线在轴上的截距为，直线交椭圆于两个不同点，直线与的斜率分别为，求证：．解：22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分．已知函数．（1）当时，指出的单调递减区间和奇偶性(不需说明理由)；（2）当时，求函数的零点；（3）若对任何不等式恒成立，求实数的取值范围．解：23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．xyOP1P2P3Q1Q3Q2P4过坐标原点作倾斜角为的直线交抛物线于点，过点作倾斜角为的直线交轴于点，交于点；过点作倾斜角为的直线交轴于点，交于点；过点作倾斜角为的直线，交轴于点，交于点；如此下去……．又设线段12的长分别为，数列的前项的和为．（1）求；（2）求，；（3）设，数列的前项和为，若正整数成等差数列，且，试比较与的大小．解：闵行区2022学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准说明：1．本解答仅列出试题的一种或两种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分标准进行评分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．一、（第1题至第14题）1．；2．；3．；4．5.3；5．；6．44；7．；8．理，文；9．；10．；11．理，文；12．理，文；13．理，文；14．理，文．二、（第15题至第18题）15．D；16．A；17．B；18．D．三、（第19题至第23题）19.(理)20.(文)[解]①由，得，其中理2分，文3分所以12即，………………………………文理4分②连接，则……………………理2分，文3分所以即．……………………文理4分（2）①由得当即当时，取最大值．……理4分，文5分此时，当取时，矩形的面积最大，最大面积为．…文理2分②，当且仅当，即时，取最大值．……理4分，文5分当取时，矩形的面积最大，最大面积为．…文理2分19.(文)[解]（1）…6分（2）连接,由条件知,所以就是异面直线与所成的角．2分在中，，所以，………………2分所以异面直线与所成的角为．…………………………………2分yABCEC1A1B1Fzx20.（理）[解]（1）……7分（2）建立如图所示的直角坐标系，则,,,，,……………………2分设平面的法向量为，则，12所以……………………………2分平面的法向量为，则所以所在半平面与所在半平面所成二面角的余弦值为．…3分21.[解]（1）设椭圆的方程为将代入椭圆的方程，得………理2分，文3分解得，所以椭圆的方程为…………理2分，文3分设点的坐标为，则．又是上的动点，所以，得，代入上式得，故时，．的最大值为．………………理2分（2）因为直线平行于，且在轴上的截距为，又，所以直线的方程为．由得………………文理2分设、，则．又故．………文理2分又，所以上式分子…………文理2分12故．………………………………………………………………文2分所以直线与直线的倾斜角互补．…………………………………理2分22.[解]（理）（1）当时，既不是奇函数也不是偶函数．……2分∵，∴所以既不是奇函数，也不是偶函数．………………………………………2分（2）当时，，由得……………………………2分即或………………………2分解得所以或．………………2分（3）当时，取任意实数，不等式恒成立，故只需考虑，此时原不等式变为即………………………………………………………2分故又函数在上单调递增，所以；对于函数①当时，在上单调递减，，又，所以，此时的取值范围是．……………………………………2分12②当，在上，，当时，，此时要使存在，必须有即，此时的取值范围是综上，当时，的取值范围是；当时，的取值范围是；当时，的取值范围是．……………………………2分[解]（文）（1）当时，函数的单调递减区间为………………2分函数既不是奇函数也不是偶函数．………………2分（2）当时，，由得………………2分即或………………2分解得所以或．………………2分（3）当时，取任意实数，不等式恒成立，故只需考虑，此时原不等式变为即…………………………2分故又函数在上单调递增，∴………2分函数在上单调递减，在上单调递增，12∴；所以，即实数的取值范围是．……2分23.[解]（1）如图，由是边长为的等边三角形，得点的坐标为，又在抛物线上，所以，得………………2分同理在抛物线上，得………………2分（2）如图，法1：点的坐标为，即点，所以直线的方程为或，因此，点的坐标满足消去得，所以又，故从而……①……………………………………………2分由①有……②②-①得即，又，于是所以是以为首项、为公差的等差数，…………2分（文）………………………………文2分（理），……………………理2分法2：点的坐标为，即点12，所以直线的方程为或因此，点的坐标满足消去得，又，所以，从而…①……2分以下各步同法1法3：点的坐标为，即点，所以，又在抛物线上，得即…………………………………………………………2分以下各步同法1（3）（文）因为，所以数列是正项等比数列，且公比，首项，因正整数成等差数列，且，设其公差为，则为正整数，所以，，则，，，…2分=…………………………2分而……………2分12因为，所以，又为正整数，所以与同号，故，所以，．…………………2分（理）因为，所以数列是正项等比数列，且公比，首项，则，，，……2分=（注意）…………………………2分而（注意）………………………2分因为，所以又均为正整数，所以与同号，故，所以，．…………………2分（第（3）问只写出正确结论的，给1分）12
