课时训练35弧长和扇形面积限时：30分钟夯实基础1．[2022·北京大兴区期末]在半径为12cm的圆中，长为4πcm的弧所对的圆心角的度数为( )A．10°B．60°C．90°D．120°2．[2022·兰州]如图K35－1，正方形ABCD内接于半径为2的☉O，则图中阴影部分的面积为( )图K35－1A．π＋1B．π＋2C．π－1D．π－23．[2022·咸宁]如图K35－2，☉O的半径为3，四边形ABCD内接于☉O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则BD的长为( )图K35－2A．πB．32πC．2πD．3π4．[2022·北京朝阳区一模]如图K35－3，正方形ABCD的边长为2，以BC为直径的半圆与对角线AC相交于点E，则图中阴影部分的面积为( )10\n图K35－3A．52＋14π B．32-14πC．52-12π D．52-14π5．如图K35－4，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB的面积为( )图K35－4A．6B．7C．8D．96．[2022·合肥高新区模拟]圆内接正六边形的边心距为23cm，则这个正六边形的面积为 cm2． 7．[2022·北京石景山区期末]如图K35－5，扇形的圆心角∠AOB＝60°，半径为3cm．若点C，D是弧AB的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是 cm2． 图K35－58．[2022·舟山]如图K35－6，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8的圆，AB所对的圆心角大小为90°，弓形ACB(阴影部分)粘贴胶皮，则胶皮面积为 ． 图K35－69．如图K35－7，已知AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，点E在☉O外，∠EAC＝∠B．(1)求证：直线AE是☉O的切线；10\n(2)当∠D＝60°，AB＝6时，求劣弧AC的长(结果保留π)．图K35－7能力提升10．如图K35－8，☉O是△ABC的外接圆，☉O的半径是3，∠A＝45°，则BC的长是( )图K35－8A．14πB．32πC．452πD．94π11．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，那么扇形的圆心角是( )A．120°B．150°C．210°D．240°12．如图K35－9，在平行四边形ABCD中，AB为☉O的直径，☉O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则FE的长为( )10\n图K35－9A．π3B．π2C．πD．2π13．[2022·临沂]如图K35－10，AB是圆O的直径，BT是圆O的切线，若∠ATB＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积是( )图K35－10A．2B．32-14πC．1D．12＋14π14．[2022·合肥庐阳区一模]如图K35－11，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C，D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则BF的长为 ． 图K35－1115．如图K35－12，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°得到矩形A'B'C'D，则点B经过的路径与BA，AC'，C'B'所围成的封闭图形的面积是 (结果保留π)． 图K35－1210\n16．[2022·泉州质检]如图K35－13，菱形ABCD中，BC＝6，∠C＝135°，以点A为圆心的☉A与BC相切于点E．(1)求证：CD是☉A的切线；(2)求图中阴影部分的面积．图K35－13拓展练习17．[2022·烟台]如图K35－14，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图②所示的扇形AOB．已知OA＝6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交AB于点D，点F是AB上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片(形状同阴影图形)面积之和为 ． 10\n图K35－1418．[2022·石家庄裕华区一模]如图K35－15①②，在☉O中，OA＝1，AB＝3，将弦AB与弧AB所围成的弓形(包括边界的阴影部分)绕点B顺时针旋转角α(0°≤α≤360°)，点A的对应点是A'．(1)点O到线段AB的距离是 ；∠AOB＝ °；点O落在阴影部分(包括边界)时，α的取值范围是 ． (2)如图③，线段BA'与优弧ACB的交点是D，当∠A'BA＝90°时，说明点D在AO的延长线上．(3)当直线A'B与☉O相切时，求α的值并求此时点A'运动路径的长度．图K35－1510\n参考答案1．B2．D [解析]由图可知，圆的面积为4π，正方形的对角线长度等于圆的直径4，所以对应的边长为22，即正方形的面积为8，根据图形的对称性，阴影部分的面积为4π－84，化简得π－2，故选D．3．C [解析]∵∠BAD＝12∠BOD＝12∠BCD，∠BAD＋∠BCD＝180°，∴∠BOD＝120°．又∵☉O的半径为3，∴BD的长为120π×3180＝2π．故选C．4．D 5．D 6．243 7．π28．48π＋32 [解析]连接AO，OB，作OD⊥AB于D．因为AB所对的圆心角大小为90°，所以∠AOB＝90°，所以S扇形ACB＝34×π×82＋12×8×8＝48π＋32．10\n9．解：(1)证明：∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＋∠CAB＝90°．∵∠EAC＝∠B，∴∠EAC＋∠CAB＝90°，∴∠BAE＝90°，∴BA⊥AE．∴AE是☉O的切线．(2)连接OC，∵AB＝6，∴AO＝3．∵∠D＝60°，∴∠AOC＝120°，∴lAC＝120π×3180＝2π．10．B 11．B 12．C13．C [解析]连接OD，BD．∵直径AB＝2，TB切☉O于B，∴OB＝OA＝1，∠ABT＝90°，∠ADB＝90°．∵∠ATB＝45°，∴△ABT是等腰直角三角形，∴∠A＝45°，∴∠BOD＝2∠A＝90°，AT＝22＋22＝22，∴BD＝12AT＝DT＝2，∴S阴影＝S△DBT＝12BD×DT＝12×2×2＝1．14．815π [解析]如图，连接CF，DF，则△CFD是等边三角形，∴∠FCD＝60°，10\n∵在正五边形ABCDE中，∠BCD＝108°，∴∠BCF＝48°，∴BF的长＝48×π×2180＝815π，故答案为815π．15．25π4＋1216．解：(1)证明：如图，连接AE，过点A作AF⊥CD，垂足为F，则∠AFD＝90°，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D．∵BC与☉A相切于点E，∴AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，在△AEB和△AFD中，∠AEB＝∠AFD，∠B＝∠D，AB＝AD，∴△AEB≌△AFD．∴AE＝AF．∴CD是☉A的切线．(2)在菱形ABCD中，AB＝BC＝6，AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，∵∠C＝135°，∴∠B＝180°－135°＝45°．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∴AE＝AB·sinB＝6×22＝3．∴S菱形ABCD＝BC·AE＝32．设AB，AD与☉A分别交于M，N．在菱形ABCD中，∠BAD＝∠C＝135°，AE＝3，∴S扇形MAN＝135360×π×(3)2＝98π，∴S阴影＝S菱形ABCD－S扇形MAN＝32-98π．17．36π－108 [解析]如图，作DE⊥OB于点E，10\n∵CD⊥OA，∴∠DCO＝∠AOB＝90°，∵OA＝OD＝OB＝6，OC＝12OA＝12OD，∴∠ODC＝∠BOD＝30°，由题易得AF＝FD＝BD．∵DE＝12OD＝3，∴S弓形BD＝S扇形BOD－S△BOD＝30·π·62360-12×6×3＝3π－9，则剪下的纸片面积之和为12×(3π－9)＝36π－108．18．解：(1)12 120 30°≤α≤60°(2)连接AD，∵∠A'BA＝90°，∴AD为直径，∴点D在AO的延长线上．(3)当A'B与☉O相切时，∠OBA'＝90°，此时∠ABA'＝90°＋30°＝120°或∠ABA'＝90°－30°＝60°，∴α＝120°或300°．当α＝120°时，A'运动路径的长度＝120π×3180＝233π，当α＝300°时，A'运动路径的长度＝300π×3180＝533π．10
