第四节 弧长、扇形面积的相关计算姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(2022·黄石)如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则的长为( )A.πB.πC．2πD.π2．(2022·宁波)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为( )A.πB.πC.πD.π3．(2022·咸宁)如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则的长为( )A．πB.πC．2πD．3π4．(2022·德州)如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为( )7\nA.m2B.πm2C．πm2D．2πm25．(2022·原创)如图，在半径为3，圆心角为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是( )A.－B.－C.＋D.－6．(2022·连云港)一个扇形的圆心角为120°，它的半径是3cm，则扇形的弧长为________cm.7．(2022·郴州)如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为________cm.(结果用π表示) 8．(2022·原创)如图，已知等边△ABC的边长为6，以AB为直径的⊙O与边AC，BC分别交于D，E两点，则劣弧的长为________．9．(2022·石家庄一模)如图，在边长为6的菱形ABCD中，分别以各顶点为圆心，以边长的一半为半径，在菱形内作四条圆弧，则图中阴影部分的周长是________．(结果保留π) 10．(2022·天水)如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为________．11．(2022·易错)如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，以点A为圆心，底边的高7\nAD长为半径作圆弧，交AB、AC于点E，F，则图中阴影部分的面积为________．12．(2022·原创)如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°.(1)求∠BAC的度数；(2)当BC＝4时，求劣弧AC的长．13．(2022·湖州)如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC.(1)求证：AE＝ED；(2)若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．1．(2022·潍坊)如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D是的中点，作DE⊥AC交AB的延长线于点F，连接DA.(1)求证：EF为半圆O的切线；(2)若DA＝DF＝6，求阴影区域的面积．(结果保留根号和π)7\n2．(2022·廊坊二模)如图①，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为，P是半径OB上一动点，Q是上的一动点，连接PQ.(1)当∠POQ＝________度时，PQ有最大值，最大值为________；(2)如图②，若P是OB中点，且PQ⊥OB于点P，求的长；(3)如图③，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积；(4)如图④，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．7\n参考答案【基础训练】1．D 2.C 3.C 4.A 5.B 6.2π 7.12π 8.π 9．6π 10.πa 11.4－12．解：(1)∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠ABC＝∠D＝60°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝180°－90°－60°＝30°；(2)如解图，连接OC，∵OB＝OC，∠ABC＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴OC＝BC＝4，∠BOC＝60°，∴∠AOC＝120°，∴劣弧AC的长为＝π.13．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD.∴AE＝ED；(2)解：由(1)得，OC⊥AD，∴＝，∴∠ABC＝∠CBD＝36°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，∴的长为π×5＝2π.【拔高训练】1．(1)证明：如解图，连接OD，∵D是的中点，7\n∴＝，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠EAD＝∠ODA，∴AE∥OD，∵AE⊥EF，∴OD⊥EF，∵OD是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线．(2)解：∵AD＝DF，∴∠DAF＝∠DFA，∵∠DOF＝2∠DAF，∴∠DOF＝2∠F，∵∠ODF＝90°，∴∠DOF＋∠F＝90°，∴∠F＝30°，∴∠DOF＝60°，如解图，连接OC，CD，∵∠DAF＝∠F＝30°，∴∠CAO＝2∠DAF＝60°，∴∠EAD＝30°.∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠COD＝60°，∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴∠DCO＝60°＝∠COA，∴CD∥AB，∴S△COD＝S△CAD.在Rt△AED中，∠EAD＝30°，AD＝DF＝6，∴DE＝3，AE＝9，在Rt△DOF中，∠ODF＝90°，DF＝6，∠F＝30°，∴OD＝6.∴S阴影＝S△ADE－S扇形COD＝AE·ED－＝×3×9－＝－6π.2．解：(1)90；10；(2)如解图①，连接OQ，BQ，∵PQ⊥OB，OP＝BP，7\n∴OQ＝BQ，∵OB＝OQ，∴OB＝OQ＝BQ，∴△OBQ是等边三角形，图①∴∠QOB＝60°，∴的长为＝；(3)如解图②，连接AB，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝45°.由折叠性质得AB′＝AB＝10，则OB′＝AB′－AO＝10－10，图②∠OB′P＝∠OBA＝45°，∴∠OPB′＝∠OB′P＝45°，∴OP＝OB′＝10－10，S阴影＝S扇形AOB－2S△AOP＝π·102－2××10×(10－10)＝25π＋100－100；(4)如解图③，过点O作OE⊥PQ于E，延长OE到O′，使得OE＝O′E，连接O′C交PQ于F，∵弧B′Q与AO相切，∴O′C⊥AO，且O′C＝OA＝10，图③∵BO⊥AO，∴O′C∥BO，∴∠FO′E＝∠POE，∵∠FEO′＝∠PEO，OE＝O′E，∴△O′EF≌△OEP，∴O′F＝OP＝6，∵∠O′EF＝∠O′CO＝90°，∠EO′F＝∠CO′O，∴△O′EF∽△O′CO，∴＝，即＝，解得O′E＝，即点O到PQ的距离为.7
