正多边形与圆、弧长、扇形、圆锥的有关计算27正多边形与圆、弧长、扇形、圆锥的有关计算限时:30分钟夯实基础1.在圆心角为120°的扇形AOB中,半径OA=6cm,则扇形AOB的面积是( )A.6πcm2B.8πcm2C.12πcm2D.24πcm22.[2022·盘锦]如图K27-1,一段公路的转弯处是一段圆弧(AB),则AB的展直长度为( )图K27-1A.3πmB.6πmC.9πmD.12πm3.[2022·沈阳]如图K27-2,正方形ABCD内接于☉O,AB=22,则AB的长是( )图K27-2A.πB.32πC.2πD.12π4.如图K27-3,在正六边形ABCDEF中,四边形BCEF的面积为30,则正六边形ABCDEF的面积为( )9\n图K27-3A.203B.40C.205D.455.[2022·广西]如图K27-4,分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧,得到的封闭图形是莱洛三角形.若AB=2,则莱洛三角形的面积(即阴影部分面积)为( )图K27-4A.π+3B.π-3C.2π-3D.2π-236.正六边形内接于圆,它的边所对的圆周角是 . 7.如图K27-5,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,点P为切点,AB=123,OP=6,则劣弧AB的长为 .(结果保留π) 图K27-58.[2022·昆明]如图K27-6,正六边形ABCDEF的边长为1,以点A为圆心,AB的长为半径,作扇形ABF,则图中阴影部分的面积为 (结果保留根号和π). 9\n图K27-69.如图K27-7,AB是半圆O的直径,点C,D是半圆O的三等分点.若弦CD=2,则图中阴影部分的面积为 . 图K27-710.[2022·济宁]在一次数学活动课中,某数学小组探究求环形花坛面积的方法.现有以下工具(图K27-8):卷尺;直棒EF;T型尺(CD所在的直线垂直平分线段AB).图K27-8(1)在图K27-9①中,请你画出用T型尺找大圆圆心的示意图(保留画图痕迹,不写画法);(2)如图②,小华说:“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积,具体做法如下:将直棒放置到与小圆相切,用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M,N之间的距离,就可求出环形花坛的面积.”如果测得MN=10cm,请你求出这个环形花坛的面积.图K27-99\n能力提升11.如图K27-10,☉O是△ABC的外接圆,☉O的半径是3,∠A=45°,则BC的长是( )图K27-10A.14πB.32πC.452πD.94π12.如图K27-11,在正八边形ABCDEFGH中,连接AC,AE,则AEAC的值是( )图K27-11A.1B.2C.2D.313.[2022·台湾]如图K27-12,在△ABC中,D为BC的中点,以D为圆心,BD的长为半径画一弧,交AC于点E.若∠A=60°,∠B=100°,BC=4,则扇形BDE的面积为( )图K27-12A.13πB.23πC.49πD.59π14.如图K27-13,将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片AOB,在直线l上向右做无滑动的滚动至扇形A'O'B'处,则顶点O经过的路线总长为 . 9\n图K27-1315.[2022·荆州]问题:已知∠α,∠β均为锐角,tanα=12,tanβ=13,求∠α+∠β的度数.探究:(1)用6个小正方形构造如图K27-14所示的网格图(每个小正方形的边长均为1).请借助这个网格图求出∠α+∠β的度数;延伸:(2)设经过图中M,P,H三点的圆弧与AH交于R,求MR的长.图K27-1416.如图K27-15,△ABC是边长为23的等边三角形,以BC为直径的半圆与AB交于点D,与AC交于点E,连接DE.(1)求线段DE的长;(2)若分别以B,C为圆心,23为半径画AC和AB,求以BC为直径的半圆与AC,AB围成的图形(图中阴影部分)的面积.图K27-15拓展练习9\n17.[2022·丽水]如图K27-16①,是小明制作的一副弓箭,点A,D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点,弓弦BC=60cm.沿AD方向拉弓的过程中,假设弓臂BAC始终保持圆弧形,弓弦不伸长.如图②,当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时,有AD1=30cm,∠B1D1C1=120°.(1)图②中,弓臂两端B1,C1的距离为 cm. (2)如图③,将弓箭继续拉到点D2,使弓臂B2AC2为半圆,则D1D2的长为 cm. 图K27-16参考答案1.C 2.B 3.A4.D [解析]如图,连接AD,分别交BF,CE于点M,N.∵正六边形ABCDEF,∴∠FAB=120°.∴∠FAM=60°.∴AM=12AF.∴AM=12EF.∴△FAB的面积=14×四边形BCEF的面积=7.5.9\n同理,△EDC的面积=7.5,∴正六边形ABCDEF的面积=30+7.5+7.5=45.故选D.5.D [解析]如图,过点A作AD⊥BC于D.∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC=2,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°.∵AD⊥BC,∴BD=CD=1,AD=3BD=3.∴△ABC的面积为12×BC×AD=12×2×3=3,S扇形BAC=60π×22360=23π.∴莱洛三角形的面积S=3×23π-2×3=2π-23.故选D.6.30°或150° 7.8π8.332-π3 [解析]如图,设正六边形的中心为点O,连接OD,OE,过点O作OH⊥DE于点H,则∠DOE=360°6=60°.∴OD=OE=DE=1.∴OH=32.∴正六边形ABCDEF的面积=12×1×32×6=332,∠A=(6-2)×180°6=120°.∴扇形ABF的面积=120π×12360=π3.∴图中阴影部分的面积=332-π3.9.23π10.解:(1)如图①,点O即为所求.9\n(2)如图②,设切点为C,连接OM,OC.∵MN是切线,∴OC⊥MN.∴CM=CN=5.∴OM2-OC2=CM2=25.∴S圆环=π·OM2-π·OC2=25π.∴这个环形花坛的面积是25πcm2.11.B12.B [解析]如图,连接AG,GE,EC,则四边形ACEG为正方形,故AEAC=2.13.C 14.43π15.解:(1)如图①所示,连接MH,AM,易证△QGA≌△HPM,∴∠α=∠MHP.∴∠α+∠β=∠AHM.又MH=MA=5,AH=10,∴MH2+MA2=AH2.∴△AMH为等腰直角三角形.∴∠AHM=45°.∴∠α+∠β=45°.(2)如图②所示,连接MH,交QN于O,连接OR,易知O为MPH所在圆的圆心.∵∠QHM=∠α,tanα=12,易知O为QN的中点,OM=ON2+MN2=12+(12) 2=52.由(1)可知∠ROM=2∠RHM=90°,弧MR的长=14×2π×OM=54π.9\n16.解:(1)如图,取线段BC的中点O,连接OD,OE,由题意,可得OB=OD=OE=OC,∠B=∠C=60°,AB=BC=AC,∴△ODB和△OEC都是等边三角形.∴BD=CE=OB=OC=12BC.∴D,E分别是AB边和AC边的中点.∴DE是△ABC的中位线.∵△ABC是边长为23的等边三角形,∴DE=3.(2)由题意可得,以BC为直径的半圆与AC,AB围成的图形(图中阴影部分)的面积是:60×π×(23)2360-12×23×23×sin60°×2+12×23×23×sin60°-12π×2322=2(2π-33)+33-3π2=5π2-33.17.(1)303 (2)(105-10) [解析](1)连接B1C1,交AD1于E,则AD1垂直平分B1C1.在Rt△B1D1E中,∵∠B1D1C1=120°,∴∠B1D1E=60°.∵B1D1=30,∴B1E=153.∴B1C1=303.故答案为303.(2)在题图②中,∵AD1=30cm,∠B1D1C1=120°,∴弓臂B1AC1的长=120×π×30180=20π.在题图③中,∵弓臂B2AC2为半圆,∴20π=12dπ.∴半圆的半径12d=20.连接B2C2交AD2于E1,则AD2垂直平分B2C2.在Rt△B2D2E1中,D2E1=D2B22-B2E12=302-202=105.∴AD2=105+20.∵AD1=30cm,∴D1D2=AD2-AD1=(105-10)cm.故答案为(105-10).9
