二次函数知识的综合运用本专项主要考查二次函数与一次函数的综合运用，二次函数的图象与字母系数之间的关系，二次函数在实际生活中的应用，以选择题、填空题、解答题形式呈现．类型1 二次函数的图象与字母系数的关系 (2022·黔东南)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列四个结论：①abc＝0；②a＋b＋c>0；③a>b；④4ac－b2<0.其中正确的结论有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】 序号逐项分析正误①∵由抛物线过原点可知c＝0，∴abc＝0.√②∵当x＝1时，函数图象在x轴下方，∴当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0.×③∵抛物线对称轴为x＝－，∴－＝－.∴b＝3a.∵图象开口向下，∴a＜0.∴a＞3a.∴a＞b.√④∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac>0，即4ac－b2<0.√ 二次函数图象与a、b、c之间关系问题解决：可以从一些特殊形式考虑：(1)含a＋b＋c代数式，考虑当x＝1时求y值；(2)含a－b＋c代数式，考虑当x＝－1时求y值；(3)含4a＋2b＋c代数式，考虑当x＝2时求y值；(4)含4a－2b＋c代数式，考虑当x＝－2时求y值；(5)含b2－4ac代数式，考虑由图象与x轴交点个数来判断．1．(2022·毕节)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列关系式错误的是( )A．a＜0B．b＞0C．b2－4ac＞0D．a＋b＋c＜02．(2022·枣庄)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，对称轴为x＝，且经过点(2，0)，有下列说法：①abc＜0；②a＋b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若(0，y1)，(1，y2)是抛物线上的两点，则y1＝y2.上述说法正确的是( )7\nA．①②④B．③④C．①③④D．①②3．(2022·黔东南)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②b＜a＋c；③4a＋2b＋c＞0；④b2－4ac＞0.其中正确结论的有( )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④4．(2022·遵义)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若M＝a＋b－c，N＝4a－2b＋c，P＝2a－b，则M、N、P中，值小于0的数有( )A．3个B．2个C．1个D．0个5．(2022·达州)下图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分，对称轴是直线x＝1.①b2＞4ac；②4a－2b＋c＜0；③不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是x≥3.5；④若(－2，y1)，(5，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2.上述4个判断中，正确的是( )A．①②B．①④C．①③④D．②③④ 6．(2022·安顺)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为－1，3，与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：①2a－b＝0；②a＋b＋c>0；③c＝－3a；④只有当a＝时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a值可以有四个．其中正确的结论是________．(只填序号)类型2 二次函数与一次函数的综合运用 (2022·贵阳)已知：直线y＝ax＋b过抛物线y＝－x2－2x＋3的顶点P，如图所示．(1)顶点P的坐标是______；7\n(2)若直线y＝ax＋b经过另一点A(0，11)，求出该直线的表达式；(3)在(2)的条件下，若有一直线y＝mx＋n与直线y＝ax＋b关于x轴成轴对称，求直线y＝mx＋n与抛物线y＝－x2－2x＋3的交点坐标．【思路点拨】 (3)求出直线y＝ax＋b与x轴的交点坐标和点A关于x轴的对称点的坐标，求出y＝mx＋n的解析式，再与y＝－x2－2x＋3组成方程组，求出交点坐标．【解答】 (1)∵a＝－1，b＝－2，c＝3，∴－＝－＝－1，＝＝＝4.∴顶点坐标为P(－1，4)．(2)∵直线y＝ax＋b经过顶点P(－1，4)和A(0，11)，∴解得∴直线y＝ax＋b表达式为y＝7x＋11.(3)∵直线y＝7x＋11与x轴，y轴交点坐标分别为(－，0)，(0,11)，∴与x轴成轴对称的直线y＝mx＋n与x轴，y轴交点坐标分别为(－，0)，(0,－11)．∴解得∴直线y＝mx＋n表达式为y＝－7x－11.∵直线y＝－7x－11与抛物线y＝－x2－2x＋3相交，∴解得∴直线y＝－7x－11与抛物线y＝－x2－2x＋3的交点坐标为(7，－60)，(－2,3)．二次函数与一次函数的综合运用中，常常需要求出两函数图象的交点坐标，只需联立两函数的解析式，即可求得结果；同时，二次函数图象中几个特殊点的坐标，往往是函数综合题中考查的重点内容．1．(2022·遵义)已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是( )2．(2022·安徽)如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是( )7\n3．(2022·泰州)已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点P(－3，1)，对称轴是经过(－1，0)且平行于y轴的直线．(1)求m、n的值；(2)如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA∶PB＝1∶5，求一次函数的表达式．类型3 利用二次函数求最值 (2022·毕节)某商场A、B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A商品和2件B商品，共需135元，(1)设A、B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a，b的值；(2)B商品的成本是20元，根据市场调查：若按(1)中求出的单价销售，该商场每天销售B商品100件；若按销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件，①求每天B商品的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式？②求销售单价为多少元时，B商品的销售利润最大，最大利润是多少？【思路点拨】 (1)由2件A商品和1件B商品需要80元，3件A商品和2件B商品需要135元，列二元一次方程组求解．(2)①根据利润＝(售价－成本)×销量列出y关于x的函数关系式；②利用二次函数最值确定最大利润．【解答】 (1)根据题意，列方程得解得答：a、b的值分别为25，30.(2)①∵销售单价为x元，∴销售量为100－5(x－30)件，根据题意得y＝(x－20)[100－5(x－30)]＝－5x2＋350x－5000，即y关于x的函数关系式为y＝－5x2＋350x－5000(30≤x≤50)．②由抛物线对称轴为x＝－＝35，可知当售价为35元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润为y＝－5×352＋350×35－5000＝1125(元).答：当B商品定价为35元时，B商品每天的利润最大，最大利润为1125元．此题主要考查了二次函数的应用以及用配方法求最大值，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键．7\n1．(2022·黔南)为了解都匀市交通拥堵情况，经统计分析，都匀彩虹桥上的车流速度v(千米/小时)是车流密度x(辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/时；当车流密度为20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流速度密度x的一次函数．(1)求彩虹桥上车流密度为100辆/小时的车流速度；(2)在交通高峰时段，为使彩虹桥上的车流速度大小40千米/小时且小于60千米/小时，应控制彩虹桥上的车流密度在什么范围内？(3)当车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．当20≤x≤220时，求彩虹桥上车流量y的最大值．2．(2022·贵阳模拟)乐乐童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装平均每天可售出20件．为了迎接“六一”，童装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．(1)童装店降价前每天销售该童装可盈利多少元？(2)如果童装店想每天销售这种童装盈利1200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？(3)每件童装降价多少元童装店可获得最大利润，最大利润是多少元？3．(2022·黔西南模拟)某服装经销商发现某款新型运动服市场需求量较大，经过市场调查发现年销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在如图所示的一次函数关系，而该服装的进价z(元)与销售量y(件)之间的关系如下表所示．已知每年支付员工工资和场地租金等费用总计2万元．销售数量y(件)…300400500600…进货价格z(元)…340320300280…(1)求y关于x的函数关系式．7\n(2)写出该经销商经销这种服装的年获利w(元)关于销售单价x(元)的函数关系式．当销售单价x为何值时，年获利最大？并求出这个最大值．(3)若经销商希望该服装一年的销售获利不低于2.2万元，请你根据图象帮助确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？参考答案类型1 1.D 2.A 3.B 4.A 5.B 6.③④类型2 1.D 2.A3．(1)∵二次函数对称轴是经过(－1，0)且平行于y轴的直线，∴－＝－1，解得m＝2.∵二次函数过点P(－3，1)，∴1＝9－6＋n，解得n＝－2.(2)二次函数解析式为y＝x2＋2x－2.过P作PC⊥x轴于点C，过B作BD⊥x轴于点D，PC∥BD，∴△APC∽△ABD.又∵PA∶PB＝1∶5，∴＝＝＝.∵PC＝1，∴BD＝6.∴yB＝6.∵B在二次函数上，设B点横坐标为x，∴x2＋2x－2＝6，解得x1＝2，x2＝－4(舍去)．∴B点坐标为(2，6)，将B、P点代入一次函数得解得∴一次函数的表达式是y＝x＋4.类型3 1.(1)设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx＋b，由题意，得解得∴当20≤x≤220时，v＝－x＋88.当x＝100时，v＝48(千米/小时)．7\n(2)由题意，得解得70<x<120.∴应控制大桥上的车流密度在7<x<120范围内．(3)设车流量为y与x之间的关系式为y＝vx，当20≤x≤220时，y＝(－x＋88)x＝－(x－110)2＋4840，∴当x＝110时，y最大＝4840.∴当车流密度是110辆/千米时，车流量y取得最大值是4840辆/小时．2．(1)童装店降价前每天销售该童装可盈利：(100－60)×20＝800(元)．(2)设每件童装降价x元，根据题意，得(100－60－x)(20＋2x)＝1200.解得x1＝10，x2＝20.∵要使顾客得到较多的实惠，∴x＝20.答：童装店应该降价20元.(3)设每件童装降价x元，可获利y元，根据题意，得y＝(100－60－x)(20＋2x)＝－2x2＋60x＋800＝－2(x－15)2＋1250.∴当x＝15时，y最大＝1250.答：每件童装降价15元童装店可获得最大利润，最大利润是1250元．3．(1)设y关于x的函数关系式为y＝kx＋b，则解得∴y＝－x＋800.(2)设z关于y的函数关系式为z＝k1y＋b1，则解得∴z＝－y＋400.则z关于x的函数关系式为z＝－(－x＋800)＋400＝x＋240.年获利w关于销售单价x的函数关系式为：w＝(x－z)y－20000＝(x－x－240)(－x＋800)－20000＝－x2＋880x－212000＝－(x－550)2＋30000.当x＝550时，w最大＝30000，最大获利3万元．(3)由图象可知，要使年获利不低于2.2万元，销售单价应在450元到650元之间，又由于销售单价越低，销售量越大，所以销售单价应定为450元．7
