特殊四边形的性质与判定特殊四边形的性质与判定是四边形中的重要内容，同时也是贵州9地州每年中考的必考内容之一，考查的题型以解答题为主，而菱形的性质与判定又是近几年中考试题中的一个热点．特殊四边形的性质与判定的综合题的解答必须具备观察、推理、探索和猜想能力，还需要注重知识的实际应用和动手操作能力．类型1 平行四边形的性质与判定 (2022·毕节)如图，将平行四边形ABCD的AD边延长至点E，使DE＝AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD.(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；(2)若AB＝3，AD＝4，∠A＝60°，求CE的长．【思路点拨】 (1)利用平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，再结合已知得DE＝FC，DE∥FC，推出平行四边形；(2)过点D作DN⊥BC于点N，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出DF的长，进而求出CE.【解答】 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵DE＝AD，F是BC边的中点，∴DE＝FC，DE∥FC.∴四边形CEDF是平行四边形．(2)过点D作DN⊥BC于点N，∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝60°，∴∠BCD＝∠A＝60°.∵AB＝3，AD＝4，∴FC＝2，NC＝DC＝，DN＝.∴FN＝，则CE＝DF＝＝.此题主要考查平行四边形的性质与判定以及勾股定理等知识，熟练应用平行四边形的判定方法是解题关键.解题过程中，若遇到一组对边相等，可以考虑寻找这组对边平行或另一组对边相等来证明四边形是平行四边形．1．(2022·黔南)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F.求证：(1)△AEF≌△BEC；(2)四边形BCFD是平行四边形．2．(2022·乌鲁木齐)如图，ABCD中，点E，F在直线AC上(点E在F左侧)，BE∥DF.(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；7\n(2)若AB⊥AC，AB＝4，BC＝2，当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长．类型2 矩形、正方形的性质与判定 (2022·安顺)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．【思路点拨】 (1)结合题意，运用“有三个角是直角的四边形是矩形”来判断；(2)根据正方形的判定，假设AD＝BC，由已知DC＝BC，再结合(1)问中结论，可证四边形ADCE为正方形．【解答】 (1)证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC.∴∠BAD＝∠DAC.∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE.∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝×180°＝90°.又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°.∴四边形ADCE为矩形．(2)例如，当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于D.∴∠ACD＝∠DAC＝45°，∴DC＝AD.由(1)知四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形．本题是一道开放性试题，矩形的判定方法不止一种，结合题意灵活选择判定方法是关键；问题(2)中，先进行探究分析得出结论，然后结合结论进行“顺藤摸瓜”式推论验证．1．(2022·黔东南)如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F.求证：AM＝EF.7\n2．(2022·北京)在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.3．(2022·铜仁模拟)如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，F为BA延长线上的一点，AE平分∠FAC，DE∥AB交AE于E.(1)求证：AE∥BC；(2)求证：四边形AECD是矩形；(3)BC＝6cm，S四边形AECD＝12cm2，求AB的长．7\n类型3 菱形的性质与判定 (2022·遵义)在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.(1)求证：△AEF≌△DEB；(2)求证：四边形ADCF是菱形；(3)若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【思路点拨】 (1)由平行线的性质得内错角相等，由E是AD中点得AE＝DE，从而可证△AEF≌△DEB；(2)利用△AEF≌△DEB得AF＝DB，根据一组对边平行且相等，便可证出四边形ADCF是平行四边形，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证出平行四边形的邻边AD＝DC；(3)根据题意可得S菱形ADCF等于S△ADC的2倍，S△ABC等于S△ADC的2倍，从而即可求得S菱形ADCF.【解答】 (1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE.∵E是AD的中点，∴AE＝DE.∴△AEF≌△DEB.(2)证明：∵△AEF≌△DEB，∴AF＝DB.∵在Rt△ABC中，D是BC的中点，∴BD＝DC＝AD.∴AF＝DC＝AD.∵AF∥BC，∴四边形ADCF是菱形．(3)∵AC＝4，AB＝5，∴S△ABC＝AB·AC＝×5×4＝10.∵BD＝DC，∴S△ADC＝S△ABD＝S△ABC＝5.∴S菱形ADCF＝2S△ADC＝2×5＝10.菱形的判定方法有很多种，根据已知条件合理选用判定方法是解题的关键；菱形的面积通常用它对角线乘积的一半来计算，也可以转化为其他图形的面积计算．1．(2022·安顺)如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．2．(2022·黔南)如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于E，连接CE，7\n过点C作CF平行于BA交PQ于点F，连接AF.(1)求证：△AED≌△CFD；(2)求证：四边形AECF是菱形．(3)若AD＝3，AE＝5，则菱形AECF的面积是多少？参考答案类型1 1.证明：(1)∵E是AB中点，∴AE＝BE.∵△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°.∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°.又∵∠FEA＝∠CEB，∴△AEF≌△BEC(ASA)．(2)∵∠DAC＝∠DAB＋∠BAC，∠DAB＝60°，∠CAB＝30°，∴∠DAC＝90°，∴AD∥BC.∵E是AB的中点，∠ACB＝90°，∴EC＝AE＝BE.∴∠ECA＝30°，∠EFA＝60°.∵∠EFA＝∠BDA＝60°，∴CF∥BD.∴四边形BCFD是平行四边形．2．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠DAF＝∠BCE.又∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA.在△BEC与△DFA中，∴△BEC≌△DFA(AAS)．∴BE＝DF.又∵BE∥DF，7\n∴四边形BEDF为平行四边形．(2)连接BD，BD与AC相交于点O，∵AB⊥AC，AB＝4，BC＝2，∴AC＝6.∴AO＝3.∴Rt△BAO中，BO＝5.∵四边形BEDF是矩形，∴OE＝OB＝5.∴点E在OA的延长线上，且AE＝OE－OA＝2.类型2 1.证明：连接MC.正方形ABCD中，∵AD＝CD，∠ADM＝∠CDM，DM＝DM，∴△ADM≌△CDM.∴AM＝CM.∵ME∥CD，MF∥BC，∴四边形CEMF是平行四边形．∵∠ECF＝90°，∴四边形CEMF是矩形．∴EF＝MC.又∵AM＝CM，∴AM＝EF.2．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∵BE∥DF，BE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.∴四边形BFDE是矩形．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC.∴∠DFA＝∠FAB.在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC＝＝＝5，∴AD＝BC＝DF＝5.∴∠DAF＝∠DFA.∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB.3．(1)证明：∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.∵AE平分∠FAC，∴∠EAD＝∠EAC＋∠DAC＝∠FAC＋∠BAC＝×180°＝90°.∴AE∥BC.(2)证明：∵DE∥AB，AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD.∵BD＝CD，∴AE＝CD.∴四边形AECD是平行四边形．7\n∵∠ADC＝90°，∴四边形AECD是矩形．(3)∵BC＝6cm，∴CD＝3cm.∵S四边形AECD＝12cm2，∴AD＝4cm.∴AB＝AC＝＝5(cm)．类型3 1.(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，BC＝2DE.又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴BC＝BE＝EF，EF∥BC.∴四边形BCFE是菱形．(2)连接BF，交CE于点O.∵在菱形BCFE中，∠BCF＝120°，CE＝4，∴BF⊥CE，∠BCO＝∠BCF＝60°，OC＝CE＝2.在Rt△BOC中，tan60°＝，∴OB＝2tan60°，BF＝4tan60°.∴S菱形BCFE＝CE·BF＝×4×4tan60°＝8.2．(1)证明：∵PQ为线段AC的垂直平分线，∴AE＝CE，AD＝CD，∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠AED＝∠CFD.在△AED与△CFD中，∴△AED≌△CFD.(2)证明：∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF.∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA，FC＝FA.∴EC＝EA＝FC＝FA.∴四边形AECF为菱形．(3)∵在菱形AECF中，AC⊥EF，∴△ADE为直角三角形．在Rt△ADE中，由勾股定理，得ED＝＝4.∴S菱形AECF＝4S△ADE＝4××4×3＝24.7
