第9讲一元二次方程命题点年份考查频次2022考查方向一元二次方程的概念及解法2022选择2个填空1个解答9个单独考查得很少，一般是在压轴题中作为一个基础知识进行考查．预计2022年考查的形式不会发生很大的变化.2022选择1个解答1个2022选择1个填空1个一元二次方程的判别式2022选择2个解答1个考查得比较少，考查的题型以选择题、填空题为主，基本上独立考查且难度不大.2022填空2个解答1个2022选择1个一元二次方程的根与系数的关系2022选择1个部分地市对此进行了考查，考查的方式有单独考查或者与一元二次方程的求解结合考查，题型以选择题为主.2022选择4个填空1个解答1个2022选择1个解答2个一元二次方程的应用2022解答2个少部分地市对此进行了考查，考查方式是单独考查或者与分式方程、一元一次不等式的应用结合考查，经济类的应用题是考查的热点.2022选择1个解答1个2022解答2个 一元二次方程的概念及解法一元二次方程的概念只含有①____个未知数，且未知数的最高次数是②____的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0).一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是③____，主要方法有：直接开平方法、④____法、公式法、⑤________法等. 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系根的判别式的定义关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为⑥________.判别式与根的关系(1)b2－4ac＞0一元二次方程⑦__________的实数根；(2)b2－4ac＝0一元二次方程⑧__________的实数根；9\n(3)b2－4ac＜0一元二次方程⑨____实数根.根与系数的关系如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1、x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝. 【易错提示】 (1)在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，那么要加上二次项系数不为0这个限制条件；(2)利用根与系数的关系解题时，要注意根的判别式b2－4ac≥0. 一元二次方程的应用正确列出一元二次方程的前提是准确理解题意、找出等量关系，进而达到求解的目的．在此过程中往往要借助示意图、列表格等手段帮助我们分析数量关系，并能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理．1．已知方程一根求另一根或参数系数，可将已知根代入方程求出参数系数的值，再解方程另一根；也可以利用根与系数的关系求解．2．解一元二次方程需要根据方程特点选用适当的方法，一般情况下：(1)首先看能否用直接开平方法或因式分解法；(2)不能用以上方法时，可考虑用公式法；(3)除特别指明外，一般不用配方法．命题点1 一元二次方程的概念及解法 (2022·柳州模拟)解方程：x2＋2x＝3.【思路点拨】 本题可用公式法、配方法解，也可以用因式分解法解．【解答】 本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程，常用的方法有直接开方法、公式法、配方法、因式分解法，要根据方程的特点灵活选用适当的方法． 1．方程x2－4＝0的解是( )A．x＝2B．x＝－2C．x＝±2D．x＝±42．(2022·钦州)用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，配方后可得( )A．(x＋5)2＝16B．(x＋5)2＝1C．(x＋10)2＝91D．(x＋10)2＝1093．(2022·柳州)若x＝1是一元二次方程x2＋2x＋m＝0的一个根，则m的值为________．4．解下列方程：(1)(2022·徐州)x2＋4x－1＝0；9\n(2)(2022·兰州)x2－1＝2(x＋1)．命题点2 一元二次方程的判别式 (2022·贵港)若关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋2＝0有实数根，则整数a的最大值为( )A．－1B．0C．1D．2一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为Δ＝b2－4ac.当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 1．(2022·河池)下列方程有两个相等的实数根是( )A．x2＋x＋1＝0B．4x2＋2x＋1＝0C．x2＋12x＋36＝0D．x2＋x－2＝02．(2022·钦州)关于x的一元二次方程3x2－6x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )A．m＜3B．m≤3C．m＞3D．m≥33．(2022·徐州改编)已知关于x的方程x2－2x－k＝0有实数根，则k的取值范围为________．命题点3 一元二次方程的根与系数的关系 (2022·玉林模拟)若关于x的一元二次方程x2－4x＋k－3＝0的两个实数根为x1、x2，且x1＝3x2，求方程的两个实数根及k的值．【思路点拨】 由题意可知方程有两个不相等的实数根，从而可以根据判别式求出k的取值范围，由根与系数的关系x1＋x2＝－和题目给出的两根的关系可联立二元一次方程组即可求得原方程的解，再根据根与系数的关系x1·x2＝即可求出k的值．【解答】 应用根与系数的关系的两个公式：x1＋x2＝－，x1·x2＝即可解答本题，解决此类题目注意不要忽略根据题意可知方程有两个不相等的实数根这个隐含的条件．9\n 1．(2022·来宾)已知实数x1、x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是( )A．x2－7x＋12＝0B．x2＋7x＋12＝0C．x2＋7x－12＝0D．x2－7x－12＝02．(2022·钦州)若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是( )A．－10B．10C．－16D．163．(2022·贵港)若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，则b＋c的值是( )A．－10B．10C．－6D．－1命题点4 一元二次方程的应用 (2022·桂林)电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆．(1)求该品牌电动自行车销售量的月平均增长率；(2)若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元？【思路点拨】 (1)根据“某品牌1月份销售量×(1＋增长率)2＝3月份销售量”，结合题中的数据即可列出方程求出增长率；(2)在(1)的基础上，算出3个月的总销售量，再乘以每台电动自行车的利润，即可得出1月至3月的总盈利．【解答】 列方程解实际问题的关键是找到“等量关系”，在寻找等量关系时，有时需要借助图表等，在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义．增长率(下降率)问题基本数量关系：若基数为a，末数为b，增长率(下降率)为x时，时间间隔为n，则有关系式为a(1±x)n＝b. 1．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有( )A．7队B．6队C．5队D．4队2．(2022·梧州)向阳村2022年的人均收入为12000元，2022年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率．9\n3．(2022·来宾)某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销．经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？1．(2022·重庆A卷)一元二次方程x2－2x＝0的根是( )A．x1＝0，x2＝－2B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝－2D．x1＝0，x2＝22．(2022·苏州)下列关于x的方程有实数根的是( )A．x2－x＋1＝0B．x2＋x＋1＝0C．(x－1)(x＋2)＝0D．(x－1)2＋1＝03．(2022·威海)方程x2－(m＋6)＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是( )A．－2或3B．3C．－2D．－3或24．(2022·玉林)x1，x2是关于x的一元二次方程x2－mx＋m－2＝0的两个实数根，是否存在实数m使＋＝0成立，则正确的结论是( )A．m＝0，时成立B．m＝2时，成立C．m＝0或2时，成立D．不存在5．(2022·衡阳)绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( )A．x(x－10)＝900B．x(x＋10)＝900C．10(x＋10)＝900D．2[x＋(x＋10)]＝9006．(2022·南京)已知方程x2＋mx＋3＝0的一个根是1，则它的另一个根是________，m的值是________．7．(2022·绥化)若关于x的一元二次方程ax2＋2x－1＝0无解，则a的取值范围是________．8．解下列方程：(1)(2022·广东)x2－3x＋2＝0；9\n(2)(2022·自贡)3x(x－2)＝2(2－x)．9．某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？10．(2022·崇左)为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2022年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2022年投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．(1)求每年市政府投资的增长率；(2)若这两年内的建设成本不变，问2022年建设了多少万平方米廉租房？11．(2022·巴中)某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？9\n12．(2022·南宁)对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{x，－x}＝的解为( )A．1－B．2－C．1＋或1－D．1＋或－113．(2022·兰州)若一元二次方程ax2－bx－2015＝0有一根为x＝－1，则a＋b＝________.14．(2022·桂林)已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2－2＝0的两根为x1和x2，且(x1－2)(x1－x2)＝0，则k的值是________．第三单元 函数参考答案考点解读①一 ②2 ③降次 ④配方 ⑤因式分解 ⑥b2－4ac ⑦有两个不相等 ⑧有两个相等 ⑨没有各个击破例1 解法一(公式法)：移项，得x2＋2x－3＝0.∵a＝1，b＝2，c＝－3，∴b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0.∴方程有两个不相等的实数根．∴x＝＝.∴x1＝1，x2＝－3.解法二(配方法)：x2＋2x＋1＝3＋1，(x＋1)2＝4，x＋1＝±2，∴x1＝1，x2＝－3.题组训练 C A －3 (1)(x2＋4x＋4－4)－1＝0，即(x＋2)2＝5.两边开方得，x＋2＝±.解得x1＝－2＋，x2＝－2－.原方程可化为x2－2x－3＝0，解得x1＝－1或x2＝3.例2 C题组训练 9\nC A 3.k≥－3例3 关于x的一元二次方程x2－4x＋k－3＝0有两个实数根，∴Δ＝(－4)2－4(k－3)>0，即k<7.由根与系数的关系，得 又∵x1＝3x2，③ 联立①、③，解方程组得∴k＝x1x2＋3＝3×1＋3＝6.∴方程两根为x1＝3，x2＝1；k＝6.题组训练 A A 3.A例4 (1)设该品牌电动自行车销售量的月平均增长率为x，依题意得150(1＋x)2＝216.解得x1＝0.2，x2＝－2.2(舍去)，所以x＝0.2＝20%.答：该品牌电动自行车销售量的月平均增长率为20%.(2)3个月的总销量为150＋150×(1＋20%)＋216＝546(台)．从1月到3月共盈利546×(2800－2300)＝273000(元)．答：该经销商1月至3月共盈利273000元．题组训练 C 设这两年的平均增长率为x，由题意得12000(1＋x)2＝14520.解得x1＝－2.1(不合题意，舍去)，x2＝0.1＝10%.答：这两年的平均增长率为10%. (1)由题意，得60×(360－280)＝4800(元)．答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元．设每件商品应降价x元，由题意，得(360－x－280)(5x＋60)＝7200，解得x1＝8，x2＝60.∵有利于减少库存，∴x＝60.答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元．整合集训D 2.C 3.C 4.A 5.B 6.3 －4 7.a<－1 (1)∵a＝1，b＝－3，c＝2，∴b2－4ac＝1.∴x＝.∴x1＝2，x2＝1. 9\n(2)3x(x－2)－2(2－x)＝0，(3x＋2)(x－2)＝0，x1＝－，x2＝2. (1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌，根据题意得60(1＋x)2＝24000.解得x1＝19，x2＝－21(不合题意，舍去)．答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌．经过三轮培植后，得60(1＋19)3＝60×203＝480000(个)．答：经过三轮培植后共有480000个有益菌． (1)设投资平均增长率为x，根据题意得3(1＋x)2＝6.75.解得x1＝0.5，x2＝－2.5(不符合题意，舍去)．答：政府投资平均增长率为50%.(2)12(1＋0.5)2＝27(万平方米)．答：2022年建设了27万平方米廉租房． 设每个商品的定价是x元，由题意，得(x－40)[180－10(x－52)]＝2000.整理，得x2－110x＋3000＝0.解得x1＝50，x2＝60.当x1＝50时，进货180－10(x－52)＝200(个)(不符合题意舍去)；当x＝60时，进货180－10(x－52)＝100(个)．答：该商品每个应定价为60元，进货100个． 12.D 13.2015 14.－2或－9
