第9讲一元二次方程命题点年份各地命题形式考查频次2022考查方向一元二次方程的概念及解法2022黔南(T20(2)解)解答1个以考查一元二次方程的解或与解有关的知识点为主，虽单独命题较少，但常作为其他题目的解决工具2022黔南(T9选)选择1个2022安顺(T4选)，黔西南(T16填)选择1个填空1个一元二次方程根的判别式及根与系数的关系2022毕节(T12选)，六盘水(T13填)，黔东南(T5选)，铜仁(T4选)选择3个填空1个以考查利用一元二次方程根与系数的关系进行化简求值，以及根据一元二次方程根的判别式求范围为主2022遵义(T14填)，黔东南(T14填)，铜仁(T15填填空3个2022遵义(T15填)，六盘水(T9选)，黔东南(T15填)选择1个填空2个一元二次方程的应用2022遵义(T14填)，黔西南(T7选)选择1个填空1个以列方程解应用题为主2022安顺(T21解)解答1个2022贵阳(T21解)，黔西南(T7选)，铜仁(T23解)选择1个解答2个 一元二次方程的概念及解法一元二次方程的概念只含有①一__个未知数，且未知数的最高次数是②2__的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0).一元二次方程的解法解一元二次方程的基本思想是③降__次，主要方法有：直接开平方法、④____配方法、公式法、⑤__因式分解法等. 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系根的判别式的定义关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为⑥__b2－4ac.判别式与根的关系(1)b2－4ac＞0一元二次方程⑦__有两个不相等的实数根；(2)b2－4ac＝0一元二次方程⑧有两个相等的实数根；(3)b2－4ac＜0一元二次方程⑨没有实数根.根与系数的关系如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1、x2，那么x1＋x2＝－，x1·x2＝.【易错提示】 (1)在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为0这个限制条件；(2)利用根与系数的关系解题时，要注意根的判别式b2－4ac≥0.5\n 一元二次方程的应用正确列出一元二次方程的前提是准确理解题意、找出等量关系，进而达到求解的目的．在此过程中往往要借助于示意图、列表格等手段帮助我们分析数量关系，并能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理．解一元二次方程需要根据方程特点选用适当的方法，一般情况下：(1)首先看能否用直接开平方法或因式分解法；(2)不能用以上方法时，可考虑用公式法；(3)除特别指明外，一般不用配方法．命题点1 一元二次方程的概念及解法 (2022·徐州)解方程：x2－2x－3＝0.【思路点拨】 可运用配方法、求根公式法或因式分解法求解．【解答】解一元二次方程时要注意审题，针对题目特点选择合适的方法解题．1．(2022·安顺)已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为( )A．1B．－1C．2D．－22．关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0，则m等于( )A．1B．2C．1或2D．03．(2022·聊城)一元二次方程x2－2x＝0的解是_______．4．(2022·丽水)解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程．命题点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 (2022·黔东南)设x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两根，则x＋x＝( )A．6B．8C．10D．12熟练运用根与系数的关系式x1＋x2＝－，x1x2＝.除熟记这两个关系式之外，还需要熟练运用等式x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2，＋＝，将不熟悉的式子转化为含有x1＋x2，x1x2这些我们熟悉的式子求解．1．(2022·毕节)若关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有实根，则k的取值范围是( )A．k≥B．k＞C．k＜D．k≤2．(2022·铜仁)已知关于x的一元二次方程3x2＋4x－5＝0，下列说法正确的是( )A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定3．(2022·遵义)已知x＝－2是方程x2＋mx－6＝0的一个根，则方程的另一个根是______．5\n4．(2022·黔东南)若两个不等实数m，n满足条件：m2－2m－1＝0，n2－2n－1＝0，则m2＋n2的值是____．命题点3 一元二次方程的应用 (2022·安顺)天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，现推出了如下收费标准(如图所示)．某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给天山旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？【解答】 认真审题，理清题中数量之间的关系，例如增长率问题，弄清哪个量是“基准量”，变化后的量等于基准量加上变化的量，通常用a(1＋x)n来表示，其中x表示变化率，n表示变化次数．对于等量关系较为直接的题，如该题“每个员工的费用×员工人数＝总的费用”，利用此关系式即可列出方程．1．(2022·黔西南)某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为( )A．x(x－11)＝180B．2x＋2(x－11)＝180C．x(x＋11)＝180D．2x＋2(x＋11)＝1802．(2022·遵义)2022年1月20日遵义市政府工作报告公布：2022年全市生产总值约为1585亿元，经过连续两年增长后，预计2022年将达到2180亿元．设平均每年增长的百分率为x，可列方程为1_585(1＋x)2＝2_180．3．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有________队．1．(2022·重庆B卷)已知一元二次方程2x2－5x＋3＝0，则该方程根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数D．无实数根2．(2022·六盘水)已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )A．k＜－2B．k＜2C．k＞2D．k＜2且k≠13．下列一元二次方程两实数根和为－4的是( )A．x2＋2x－4＝0B．x2－4x＋4＝0C．x2＋4x＋10＝0D．x2＋4x－5＝04．(2022·黔西南)某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，设平均每月增加的百分率为x，则用方程表示为( )5\nA．50(1＋x)2＝196B．50＋50(1＋x)2＝196C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝1965．(2022·济南)将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为( )A．10cmB．13cmC．14cmD．16cm6．(2022·六盘水)已知x1＝3是关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0的一个根，则方程的另一个根x2是________.7．(2022·铜仁)关于x的一元二次方程x2－3x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．8．(2022·广东)解方程：x2－3x＋2＝0.9．(2022·黔南)已知m和n是方程3x2－8x＋4＝0的两根，求＋的值．10．(2022·自贡)利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．11．如果关于x的方程(m－3)xm2－2m－1＋mx＋1＝0是一元二次方程，那么m为( )A．－1B．－1或3C．3D．1或－312．(2022·烟台)等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为( )A．9B．10C．9或10D．8或1013．(2022·台州)关于x的方程mx2＋x－m＋1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解．其中正确的是________．(填序号)参考答案5\n考点解读①一 ②2 ③降次 ④配方 ⑤因式分解 ⑥b2－4ac ⑦有两个不相等 ⑧有两个相等 ⑨没有各个击破例1 方法一(配方法)：配方，得(x－1)2＝4.两边开平方，得x－1＝±2.解得x1＝－1，x2＝3.方法二(公式法)：∵a＝1，b＝－2，c＝－3，∴Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0.∴x＝＝1±2.∴x1＝－1，x2＝3.方法三(因式分解法)：∵x2－2x－3＝0，∴(x＋1)(x－3)＝0.∴x＋1＝0或x－3＝0.∴x1＝－1，x2＝3.题组训练 1.A 2.B 3.x1＝0，x2＝2 4.x＋3＝0(或x－1＝0)例2 C题组训练 1.D 2.B 3.x＝3 4.6例3 设该单位这次共有x名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，因为1000×25＝25000<27000，所以员工人数一定超过25人，可列方程[1000－20(x－25)]x＝27000.整理，得x2－75x＋1350＝0.解得x1＝45，x2＝30.当x＝45时，1000－20(x－25)＝600<700，故舍去x1；当x＝30时，1000－20(x－25)＝900>700，符合题意．答：该单位这次共有30名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游．题组训练 1.C 2.1585(1＋x)2＝2180 3.5整合集训1．A 2.D 3.D 4.C 5.D 6.1 7.k＜8．(x－1)(x－2)＝0，∴x－1＝0或x－2＝0.∴x1＝1，x2＝2.9．3x2－8x＋4＝0∵a＝3，b＝－8，c＝4，∴m＋n＝，mn＝.∴＋＝＝＝2.10．设垂直于墙的一边为x米，则x(58－2x)＝200.解得x1＝25，x2＝4.∴另一边为8米或50米．答：矩形长为25米宽为8米或矩形长为50米宽为4米．11．A 12.B 13.①③5
