一次函数与反比例函数的图象与性质一次函数与反比例函数的图象与性质主要考查两个方面的知识：(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据解析式解决面积、交点坐标、函数值的大小比较等相关问题，解决这类问题要认真观察图象，挖掘题目中的已知条件和隐含条件，根据问题情境和图象，建立函数模型． (2022·昆明盘龙区二模)如图，直线y＝mx与双曲线y＝相交于A、B两点，A点的坐标为(1，2)．(1)求反比例函数的表达式；(2)根据图象直接写出当mx＞时，x的取值范围；(3)计算线段AB的长．【思路点拨】 (1)根据点A在反比例函数图象上可直接求出反比例函数的表达式；(2)根据题意，由点A、B的对称性确定B点的坐标，再根据图象可判断限定条件时的x的取值范围；(3)根据点A、B的坐标和勾股定理可求得线段AB的长．【解答】 (1)∵点A(1，2)在反比例函数图象上，∴k＝1×2＝2.∴反比例函数的表达式为y＝.(2)∵直线与双曲线相交于A、B两点，∴B(－1，－2)．∴－1＜x＜0或x＞1.(3)过点A作平行y轴的直线，过点B作平行x轴的直线，两直线交于点C.则C(1，－2)．∴AC＝4，BC＝2.∴AB＝＝＝2.本题考查用待定系数法求反比例函数的表达式，在求交点坐标时，可以根据解反比例函数与一次函数构成的方程组，也可以利用对称性得到；对于求不等式解集的问题，实质是根据两函数值的大小确定自变量的取值范围，关键是找到两种函数图象的交点，以交点为界限，看左、右区域两个函数图象的上、下位置关系，直接写出自变量的取值范围．1．(2022·原创)如图，一次函数的图象经过M点，与x轴交于A点，与y轴交于B点，根据图中信息求：7\n(1)这个函数的解析式；(2)tan∠BAO的值．2．(2022·昆明西山区二模)如图，一次函数y＝k1x＋b的图象与反正比例函数的图象y＝交于A(－2，1)，B(1，a)两点．(1)试确定上述反正比例函数和一次函数的表达式；(2)求△AOB的面积．3．(2022·昆明盘龙区一模)如图，在△AOB，∠ABO＝90°，OB＝4，AB＝8，反正例函数y＝在第一象限内的图象分别交OA，AB于点C和点D，且△BOD的面积S△BOD＝4.(1)求反比例函数解析式；(2)求点C的坐标．7\n4．(2022·安徽)如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝k2x＋b的图象交于点A(1，8)、B(－4，m)．(1)求k1、k2、b的值；(2)求△AOB的面积；(3)若M(x1，y1)、N(x2，y2)是反比例函数y＝图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点M、N各位于哪个象限，并简要说明理由．5．(2022·济宁)在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝4.分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上一点，过点F的反比例函数y＝(k>0)图象与AC边交于点E.(1)请用k表示点E，F的坐标；(2)若△OEF的面积为9，求反比例函数的解析式．7\n6．(2022·北京)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋b(k≠0)与双曲线y＝的一个交点为P(2，m)，与x轴、y轴分别交于点A，B.(1)求m的值；(2)若PA＝2AB，求k的值．7\n参考答案1．(1)设一次函数的解析式为y＝kx＋b.∵函数的图象经过点M(－1，4)，B(0，6)，∴解得∴这个函数的解析式为y＝2x＋6. (2)当y＝0时，x＝－3.∴点A的坐标为(－3，0)．∴OA＝3.∴tan∠BAO＝＝＝2. 2.(1)∵反正比例函数y＝的图象经过A(－2，1)，B(1，a)两点，∴k2＝－2×1＝－2，a＝＝－2.∵一次函数y＝k1x＋b的图象经过A、B两点，∴解得∴反比例函数的表达式为y＝－，一次函数的表达式为y＝－x－1. (2)设一次函数的图象与x轴的交点为E，则其坐标为(－1，0)，与y轴的交点为点F，则其坐标为(0，－1)．∴OE＝1，OF＝1.∴S△AOB＝S△AOE＋S△EOF＋S△BOF＝×1×1＋×1×1＋×1×1＝. 3.(1)∵S△BOD＝×OB×BD＝4，OB＝4，∴BD＝2.∴点D的坐标为(4，2)．∵点D在反比例函数的图象上，∴k＝4×2＝8.∴反比例函数解析式为y＝. (2)设直线OA的解析式为y＝ax.把A(4，8)代入，得4a＝8，解得a＝2.∴直线OA的解析为y＝2x.解方程组得或∵C在第一象限，∴点C的坐标为(2，4)． 7\n4.(1)∵反比例函数y＝与一次函数y＝k2x＋b的图象交于点A(1，8)、B(－4，m)，∴k1＝8，B(－4，－2)．将A(1，8)，B(－4，－2)代入y＝k2x＋b得解得 (2)由(1)知一次函数y＝2x＋6的图象与y轴的交点坐标为(0，6)，∴S△AOB＝×6×2＋×6×1＝9. (3)∵反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，∴在每个象限内，y随x的增大而减小．∵x1＜x2，y1＜y2.∴M，N在不同的象限．∴M(x1，y1)在第三象限，N(x2，y2)在第一象限． 5.(1)∵E，F是反比例函数y＝(k>0)图象上的点，且OB＝6，OA＝4，∴点E坐标为E(，4)，点F坐标为F(6，)． (2)由题意知：S△ECF＝EC·CF＝(6－k)(4－k)，∴S△EOF＝S矩形AOBC－S△AOE－S△BOF－S△ECF＝24－k－k－(6－k)(4－k)＝9.∴12－＝9.解得k＝12.∴反比例函数的解析式为y＝. 6.(1)∵点P(2，m)在y＝上，∴m＝＝4. (2)∵P(2，4)在y＝kx＋b，∴4＝2k＋b，b＝4－2k.∵y＝kx＋b与x、y轴交于A、B两点，∴A(2－，0)，B(0，4－2k)．∵PA＝2AB，则分两种情况．①如图1，PB＝AB，则OD＝OA＝2，∴－2＝2.∴k＝1.②如图2，PA＝2AB，PD＝2OB＝4.∴OB＝2，2k－4＝2.∴k＝3.∴k＝1或k＝3.7\n7
