四边形的有关计算与证明四边形的有关计算与证明是历年中考的必考内容之一，通常结合三角形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题除熟练掌握四边形的性质和判定定理外，还须综合三角形等知识解题． (2022·昭通)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点(不与点A重合)，延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN.求证：四边形AMDN是平行四边形．【思路点拨】 根据菱形的性质可知AB∥CD，则要证四边形AMDN是平行四边形只需要找到AM＝ND即可，这个可通过三角形全等得证．【解答】 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM.∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME.∵点E是AD中点，∴DE＝AE.∴△NDE≌△MAE(AAS)．∴ND＝MA.∴四边形AMDN是平行四边形．矩形是特殊的平行四边形，判定矩形，可以先判定它是平行四边形，再判定它的一个角是直角即可；又由于矩形的四个内角都是直角，故常把矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决．含30°角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质等也是综合考查的热点．1．(2022·黄冈)已知，如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE.求证：四边形ABCD为平行四边形．2．(2022·龙岩)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.求证：四边形BCFE是菱形．8\n3．(2022·安顺)如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.(1)求证：AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．4．(2022·昆明盘龙区一模)已知，如图，在ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交于AD、BC于E、F两点，连接BE，DF.(1)求证：△DOE≌△BOF；(2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．5．(2022·昆明盘龙区二模)如图，在ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E.8\n(1)求证：△AOD≌△EOC；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，(2)连接AC，DE，当∠B＝∠AEB＝________°时，四边形ACED是正方形，请说明理由．6．(2022·北京)在ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.7．(2022·宿迁)如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．8\n(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；(2)求证：∠DHF＝∠DEF.8．(2022·兰州)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC.(1)求证：AD＝BC；(2)若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．9．(2022·益阳)如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E.8\n(1)求证：AC⊥BD；(2)若AB＝14，cos∠CAB＝，求线段OE的长．10．(2022·金华)如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF＝AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E.(1)求证：DE＝AB；(2)以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G，若BF＝FC＝1，试求的长．11．(2022·东营改编)如图，两个全等的△ABC和△DEF重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行如下变换： 图1 图28\n(1)如图1，△DEF沿直线CB向右平移(即点F在线段CB上移动)，连接AF、AD、BD，请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系；(2)如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ABC应满足什么条件？请给出证明．8\n参考答案1．证明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.∵BE∥DF，∴∠BEF＝∠DFE.∴∠AEB＝∠CFD.在△AEB和△CFD中，∴△AEB≌△CFD.∴AB＝CD.∵AB平行且等于CD.∴四边形ABCD是平行四边形．2．证明：∵D、E是AB、AC的中点，∴DE∥BC，BC＝2DE.又∵BE＝2DE，EF＝BE，∴BC＝BE＝EF，EF∥BC.∴四边形BCFE是菱形．3．(1)证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．∴AE＝DF. (2)解：若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形．证明：∵DF∥AB，∴∠DAE＝∠FDA.∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAF. ∴∠DAF＝∠FDA.∴AF＝DF.∴平行四边形AEDF为菱形． 4.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD∥BC.∴∠EDO＝∠FBO.∵O为对角线BD的中点，∴BO＝OD.又∵∠EOD＝∠FOB，∴△DOE≌△BOF. (2)当∠DOE等于90度时，四边形BFDE为菱形．理由：由(1)得DE平行且等于BF，∴四边形BFDE为平行四边形．∵∠DOE＝90°，∴BD⊥EF.∴平行四边形BFDE为菱形． 5.(1)∴AD∥BC.∴∠D＝∠DCE.∵O是CD的中点，∴OD＝OC.∵∠AOD＝∠EOC,∴△AOD≌△EOC. (2)45 理由：由△AOD≌△EOC，得OA＝OE，OD＝OC，∴四边形ADEC是平行四边形．∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE.又∵在平行四边形ABCD中，AB平行且等于CD，∴CD＝AE.∴四边形ADEC是矩形．∴∠ACE＝90°.∴∠CAE＝90°－∠AEC＝90°－45°＝45°.∴∠CAE＝∠AEC.∴AC＝CE.∴矩形ADEC是正方形． 6.(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形．∴CD∥AB，即DF∥BE.又∵DF＝BE.∴四边形DEBF为平行四边形．又∵DE⊥AB，即∠DEB＝90°，∴四边形DEBF为矩形． (2)证明：∵四边形DEBF为矩形，∴∠BFC＝90°.∵CF＝3，BF＝4，∴BC＝＝5.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝5，∴AD＝DF＝5.∴∠DAF＝∠DFA.∵DF∥BE，∵∠DFA＝∠FAB，∴∠DAF＝∠FAB.即AF平分∠DAB. 7.(1)证明：∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF都是△ABC的中位线．∴EF∥AB，DE∥AC.∴四边形ADEF是平行四边形． (2)证明：∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF＝∠BAC.∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH＝AD，FH＝AF.∴∠DAH＝∠DHA，∠FAH＝∠FHA.∵∠DAH＋∠FAH＝∠BAC，∠DHA＋∠FHA＝∠DHF，∴∠DHF＝∠BAC.∴∠DHF＝∠DEF. 8.(1)证明：过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M.∵AB∥CD，∴四边形ABMC为平行四边形．∴AC＝BM＝BD，∴∠BDC＝∠M＝∠ACD.在△ACD和△BDC中，∴△ACD≌△BDC.∴AD＝BC. (2)证明：连接EH，HF，FG，GE.∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，∴HE∥AD，且HE＝AD，FG∥AD，且FG＝AD，EG∥BC且EG＝BC，∴HE平行且等于FG.∴四边形HFGE为平行四边形．由(1)知，AD＝BC，∴HE＝EG.∴平行四边形HFGE为菱形．∴EF与GH互相垂直平分． 9.(1)证明：∵∠CAB＝∠ACB，∴AB＝CB.∴平行四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD. (2)在Rt△AOB中，cos∠CAB＝＝，AB＝14，∴AO＝14×＝.在Rt△ABE中，cos∠EAB＝＝，AB＝14，∴AE＝AB＝16.∴OE＝AE－AO＝16－＝. 10.(1)证明：∵DE⊥AF，∴∠AED＝90°.又∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°.∴∠DAE＝∠AFB，∠AED＝∠B＝90°.又∵AF＝DA，∴△ADE≌△FAB(AAS)．∴DE＝AB. (2)∵BF＝FC＝1，∴8\nAD＝BC＝BF＋FC＝2.又∵△ADE≌△FAB，∴AE＝BF＝1.∴在Rt△ADE中，AE＝AD.∴∠ADE＝30°.又∵DE＝＝＝，∴l＝＝＝π. 11.(1)S△ABC＝S四边形AFBD. (2)△ABC为等腰直角三角形，即AB＝AC，∠BAC＝90°.理由如下：∵F为BC的中点，∴CF＝BF.∵CF＝AD，∴AD＝BF.又∵AD∥BF，∴四边形AFBD为平行四边形．∵AB＝AC，F为BC的中点，∴AF⊥BC.∴平行四边形AFBD为矩形．∵∠BAC＝90°，F为BC的中点，∴AF＝BC＝BF.∴四边形AFBD为正方形．8
