专题四 与圆有关的计算类型一与切线有关的简单证明与计算(2022·昆明)如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，AC平分∠BAD，连接BF.(1)求证：AD⊥ED；(2)若CD＝4，AF＝2，求⊙O的半径．【分析】(1)连接OC，先证明OC∥AD，然后利用切线的性质得OC⊥DE，从而得到AD⊥ED；(2)OC交BF于H，如解图，利用圆周角定理得到∠AFB＝90°，再证明四边形CDFH为矩形得到FH＝CD，∠CHF＝90°，利用垂径定理得到BH＝FH，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．【自主解答】(1)证明：连接OC，如解图，∵AC平分∠BAD，∴∠1＝∠2，∵OA＝OC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OC∥AD，∵ED切⊙O于点C，∴OC⊥DE，∴AD⊥ED；例1题解图(2)解：OC交BF于点H，如解图，∵AB为直径，∴∠AFB＝90°，易得四边形CDFH为矩形，30\n∴FH＝CD＝4，∠CHF＝90°，∴OH⊥BF，∴BH＝FH＝4，∴BF＝8，在Rt△ABF中，AB＝＝＝2，∴⊙O的半径为.1．(2022·河南说明与检测)如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上任一点．(1)若∠BAC＝30°，过点C作半圆O的切线交直线AB于点P.求证：△PBC≌△AOC；(2)若AB＝6，过点C作AB的平行线交半圆O于点D，当以点A、O、C、D为顶点的四边形为菱形时，求的长．2．(2022·河南说明与检测)如图，在⊙O中，∠AOB＝120°，点C为的中点，延长OC到点D，使CD＝OC，AB交OC于点E.(1)求证：DA是⊙O的切线；(2)若OA＝6，求弦AB的长．30\n3．(2022·河南说明与检测)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，∠CAE＝∠ADF.(1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求CP的长．4．(2022·金华)如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD.已知∠CAD＝∠B.(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若BC＝8，tanB＝，求⊙O的半径．30\n5．(2022·玉林)如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC＝∠B.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)点E是AB上一点，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝，⊙O的半径是4，求EC的长．6．(2022·天津)已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝38°.(Ⅰ)如图①，若D为的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；(Ⅱ)如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小．图①30\n图②7．(2022·信阳一模)如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE＝CB.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)连接AF，BF，求∠ABF的度数．30\n8．(2022·河南说明与检测)如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH.(1)求证：AC＝CD；(2)若OB＝2，求BH的长．类型二与四边形判定结合的证明与计算(2022·河南)如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F.(1)求证：CE＝EF；(2)连接AF并延长，交⊙O于点G.填空：①当∠D的度数为________时，四边形ECFG为菱形；②当∠D的度数为________时，四边形ECOG为正方形．30\n例2题图【分析】(1)连接OC，如解图，利用切线的性质得∠1＋∠4＝90°，再利用等腰三角形的性质和互余证明∠1＝∠2，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；(2)①要证明四边形ECFG为菱形，可知△CEF为等边三角形，∵∠ACB＝90°，∠CFE＝60°，∴∠D可求；②∵四边形ECOG为正方形，∴∠COG＝90°，∠COF＝45°，则∠COA＝45°，根据△ACO是等腰三角形，在Rt△AOD中，已知∠DAO，则∠D可求．【自主解答】(1)证明：连接OC，如解图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°，即∠1＋∠4＝90°，∵DO⊥AB，∴∠3＋∠B＝90°，∵∠2＝∠3，∴∠2＋∠B＝90°，又∵OB＝OC，∴∠4＝∠B，∴∠1＝∠2，∴CE＝FE；(2)解：①当∠D＝30°时，四边形ECFG为菱形，【解法提示】∵四边形ECFG为菱形，∴CE＝CF＝FG＝EG，由(1)知CE＝EF，∴△ECF是等边三角形，∴∠CFD＝60°，∵∠ACB＝90°，∵∠DCF＝90°，∴∠D＝90°－60°＝30°.②当∠D＝22.5°时，四边形ECOG为正方形．【解法提示】30\n例2题解图∵四边形ECOG为正方形，∴CO＝CE，∴∠OCE＝90°，∴△COE是等腰直角三角形，∴∠COE＝45°，∵DO⊥AB，∴∠DOA＝90°，∴COA＝∠DOA－∠COE＝45°，∵OA＝OC，∴∠CAB＝67.5°，∴∠D＝90°－62.5°＝22.5°.1．(2022·河南)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E.(1)求证：MD＝ME；(2)填空：①若AB＝6，当AD＝2DM时，DE＝______；②连接OD，OE，当∠A的度数为__________时，四边形ODME是菱形．30\n2．(2022·河南)如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC＝PB，D是AC的中点，连接PD、PO.(1)求证：△CDP≌△POB；(2)填空：①若AB＝4，则四边形AOPD的最大面积为______；②连接OD，当∠PBA的度数为__________时，四边形BPDO是菱形．3．(2022·河南)如图，CD是⊙O的直径，且CD＝2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B.(1)连接AC，若∠APO＝30°，试证明△ACP是等腰三角形；(2)填空：①当DP＝______cm时，四边形AOBD是菱形；②当DP＝________cm时，四边形AOBP是正方形．30\n4．(2022·驻马店一模)如图，AC是⊙O的直径，点P在线段AC的延长线上，且PC＝CO，点B在⊙O上，且∠CAB＝30°.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)若D为圆O上任一动点，⊙O的半径为5cm时，①当弧CD长为______时，四边形ADPB为菱形；②当弧CD长为______时，四边形ADCB为矩形．5．(2022·濮阳一模)如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，OD∥AC，AD＝OC.30\n(1)求证：四边形OCAD是平行四边形；(2)探究：①当∠B＝________°时，四边形OCAD是菱形；②当∠B满足什么条件时，AD与⊙O相切？请说明理由．6．(2022·河南模拟)已知：如图，在平行四边形ABCD中，⊙O是经过A、B、C三点的圆，CD与⊙O相切于点C，点P是上的一个动点(点P不与B、C点重合)，连接PA、PB、PC.(1)求证：CA＝CB；(2)①当点P满足______________时，△CPA≌△ABC，请说明理由；②当∠ABC的度数为__________时，四边形ABCD是菱形．30\n7．(2022·河南说明与检测)如图，△ABC内接于圆O，且AB＝AC.延长BC到点D，使CD＝CA，连接AD交圆O于点E.(1)求证：△ABE≌△CDE.(2)填空：①当∠ABC的度数为________时，四边形AOCE是菱形；②若AE＝，AB＝2，则DE的长为_________．8．(2022·河南说明与检测)如图，半圆O的直径为AB，点M为半圆上一动点(不与点A，B重合)，点N为的中点，ND⊥AB于点D，过点M的切线交DN的延长线于点C.(1)若MC∥AB，①求证：AD＝CN；②填空：四边形OMCD是何种特殊的四边形？________．(2)填空：当∠ANM＝____________时，四边形ANMO为菱形．30\n9．(2022·河南说明与检测)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE.(1)求证：OE∥AD；(2)填空：①∠BAC＝________°时，四边形ODEB是正方形；②当∠BAC＝________°时，AD＝3DE.30\n10．(2022·濮阳一模)如图，AB是⊙O的直径，点P是AB下方的半圆上不与点A，B重合的一个动点，点C为AP中点，延长CO交⊙O于点D，连接AD，过点D作⊙O的切线交PB的延长线于点E，连CE交AB于点F，连接DF.(1)求证：△DAC≌△ECP；(2)填空：①四边形ACED是何种特殊的四边形？②在点P运动过程中，线段DF、AP的数量关系是______________．11．如图，已知⊙A的半径为4，EC是⊙A的直径，点B是⊙A的切线CB上的一个动点，连接AB交⊙A于点D，弦EF平行于AB，连接DF，AF.30\n(1)试判断直线BF与⊙A的位置关系，并说明理由；(2)填空：①当∠CAB＝__________时，四边形ADFE为菱形；②当EF＝___________时，四边形ACBF为正方形．12．(2022·河南说明与检测)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F.(1)求证：DF为⊙O的切线；(2)若过点A且与BC平行的直线交BE延长线于点G，连接CG.设⊙O的半径为5.①当CF＝__________时，四边形ABCG为菱形；②当BC＝4时，四边形ABCG的面积是__________．30\n参考答案类型一针对训练1．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°.∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形．∴OC＝BC，∠OBC＝∠BOC＝60°.∴∠AOC＝∠PBC＝120°.∵CP是⊙O的切线，∴OC⊥CP.∴∠OCP＝90°.∴∠ACO＝∠PCB.在△AOC和△PBC中，，∴△PBC≌△AOC.(2)解：如解图①，∵四边形AOCD为菱形，∴OA＝AD＝CD＝OC.连接OD，则OA＝OD＝OC，∴△AOD和△COD都是等边三角形．∴∠AOD＝∠COD＝60°.∴∠BOC＝60°.30\n∴的长为＝π.如解图②，同理，∠BOC＝120°，的长为＝2π.综上可知，的长为π或2π.图①图②第1题解图2．(1)证明：如解图，连接AC.∵C是的中点，∴＝.第2题解图∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°.∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形．∴∠OAC＝∠OCA＝60°，AC＝OC.∵CD＝OC，∴CD＝AC.∴∠DAC＝∠D＝∠OCA＝30°.∴∠DAO＝∠OAC＋∠DAC＝90°.∵OA是⊙O的半径，∴DA是⊙O的切线．(2)解：∵OA＝OC，∠AOC＝∠BOC＝60°，∴AE＝BE，OE⊥AB.在Rt△AOE中，AE＝OA·sin60°＝6×＝3.30\n∴AB＝2AE＝6.3．(1)证明：AB与⊙O相切，理由如下：∵∠ACB＝90°，∴∠CAE＋∠AEC＝90°，∵∠CAE＝∠ADF，∠AEC＝∠FDC，∴∠ADF＋∠FDC＝90°，即∠ADC＝90°.∴CD⊥AB.又∵CD为⊙O的直径，∴AB与⊙O相切．第3题解图(2)解：连接FC，DE，如解图，∵CD为⊙O的直径，∴∠DEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴DE∥AC，∴∠CAE＝∠DEA，∵∠DEA＝∠DCF，∴∠CAE＝∠DCF，即∠CAP＝∠FCP，∵∠CPA＝∠FPC，∴△CAP～△FCP，∴＝，∴＝＝，∴PA＝2PC＝4PF，∴PF＝AF＝，∴CP＝2PF＝.4．(1)证明：连接OD，∵OB＝OD，∴∠3＝∠B，∵∠B＝∠1，∴∠1＝∠3，在Rt△ACD中，∠1＋∠2＝90°，30\n∴∠4＝180°－(∠2＋∠3)＝90°，第4题解图∴OD⊥AD，∵OD为⊙O的半径，∴AD为⊙O的切线；(2)解：设⊙O的半径为r，在Rt△ABC中，AC＝BC·tanB＝4，根据勾股定理得：AB＝＝4，∴OA＝4－r，在Rt△ACD中，tan∠1＝tanB＝，∴CD＝AC·tan∠1＝2，根据勾股定理得：AD2＝AC2＋CD2＝16＋4＝20，在Rt△ADO中，OA2＝OD2＋AD2，即(4－r)2＝r2＋20，解得：r＝.5．(1)证明：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠B＋∠BAD＝90°，∵∠DAC＝∠B，∴∠DAC＋∠BAD＝90°，∴∠BAC＝90°，∴BA⊥AC，∴AC是⊙O的切线．(2)解：∵∠BCE＝∠B，∴EC＝EB，设EC＝EB＝x，在Rt△ABC中，tan∠B＝＝，AB＝8，∴AC＝4，在Rt△AEC中，∵EC2＝AE2＋AC2，∴x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5，∴CE＝5.6．解：(Ⅰ)∵AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝38°，∴∠ACB＝90°，∠ABC＝52°，30\n∵D为的中点，∠AOB＝180°，∴∠AOD＝90°，∴∠ABD＝45°.(Ⅱ)连接OD，如解图，∵DP切⊙O于点D，∴OD⊥DP，即∠ODP＝90°，由DP∥AC，又∵∠BAC＝38°，∴∠P＝∠BAC＝38°，∵∠AOD是△ODP的一个外角，∴∠AOD＝∠P＋∠ODP＝128°，∴∠ACD＝64°，∵OC＝OA，∠BAC＝38°，∴∠OCA＝∠BAC＝38°，∴∠OCD＝∠ACD－∠OCA＝64°－38°＝26°.第6题解图7．(1)证明：连接OB，如解图，∵CE＝CB，∴∠CBE＝∠CEB，∵CD⊥OA，∴∠DAE＋∠AED＝90°，又∵∠CEB＝∠AED，∴∠DAE＋∠CBE＝90°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OBA＋∠CBE＝90°，即∠OBC＝90°，∴OB⊥BC，∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；(2)解：连接OF，交AB于点H，如解图，∵DF⊥OA，AD＝OD，∴FA＝FO，又∵OF＝OA，∴△OAF为等边三角形，30\n∴∠AOF＝60°，∴∠ABF＝∠AOF＝30°.第7题解图8．(1)证明：连接OC，如解图，第8题解图∵C是的中点，AB是⊙O的直径，∴CO⊥AB.∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB.∴OC∥BD，∵OA＝OB，∴AC＝CD.(2)解：∵E是OB的中点，∴OE＝BE.在△COE和△FBE中，∠CEO＝∠FEB，OE＝BE，∠COE＝∠FBE，∴△COE≌FBE，∴CO＝BF，∵OB＝2，∴BF＝2，∴AF＝＝2，∵AB是直径，∴BH⊥AF，∴△ABF∽△BHF，∴＝，即AB·BF＝AF·BH，∴BH＝＝＝.类型二30\n针对训练1．(1)证明：∵∠ABC＝90°，AM＝MC，∴BM＝AM＝MC，∴∠A＝∠ABM，∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠ADE＋∠ABE＝180°，又∵∠ADE＋∠MDE＝180°，∴∠MDE＝∠MBA，同理证明：∠MED＝∠A，∴∠MDE＝∠MED，∴MD＝ME.(2)解：①由(1)可知，∠A＝∠MDE，∴DE∥AB，∴＝，∵AD＝2DM，∴DM∶MA＝1∶3，∴DE＝AB＝×6＝2.故答案为2.第1题解图②当∠A＝60°时，四边形ODME是菱形．理由如下：如解图，∵四边形ODME是菱形，∴OD＝OE＝DM＝MG，∵DM＝ME，∴△DME是等边三角形，∴∠EDM＝60°，∵DE∥AB，∴∠A＝∠MDE＝60°.2．(1)证明：∵PC＝PB，D是AC的中点，∴DP∥AB，∴DP＝AB，∠CPD＝∠PBO，∵BO＝AB，∴DP＝BO，在△CDP与△POB中，，∴△CDP≌△POB(SAS)；(2)4【解法提示】30\n①当四边形AOPD的AO边上的高等于半径时有最大面积，∵AB＝4，∴OA＝2，∴最大面积为2×2＝4；第2题解图②60°【解法提示】连接OD，如解图，∵DP∥AB，DP＝BO，∴四边形BPDO是平行四边形，∵四边形BPDO是菱形，∴PB＝BO，∵PO＝BO，∴PB＝BO＝PO，∴△PBO是等边三角形，∴∠PBA的度数为60°.第3题解图3．(1)证明：连接OA，如解图，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，在Rt△AOP中，∠AOP＝90°－∠APO＝90°－30°＝60°，∴∠ACP＝30°，∵∠APO＝30°，∴∠ACP＝∠APO，∴AC＝AP，∴△ACP是等腰三角形．(2)解：①DP＝1，理由如下：∵四边形AOBD是菱形，∴OA＝AD＝OD，∴∠AOP＝60°，∴OP＝2OA，DP＝OD.∴DP＝1，②DP＝－1，理由如下：∵四边形AOBP是正方形，∴∠AOP＝45°，∵OA＝PA＝1，OP＝，∴DP＝OP－1，∴DP＝－1.4．(1)证明：如解图①，连接OB、BC.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴∠COB＝∠OAB＋∠OBA＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，30\n∴BC＝OC，∵PC＝OC，∴BC＝CO＝CP，∴∠PBO＝90°，∴OB⊥PB，∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．图①图②图③第4题解图(2)解：①的长为cm时，四边形ADPB是菱形．理由如下：如解图②，∵四边形ADPB是菱形，∠CAB＝30°，∴∠DAC＝30°，∴∠COD＝2∠CAD＝60°，∴的长为＝cm.②当弧CD的长为cm时，四边形ADCB为矩形，理由如下：如解图③，当四边形ADCB是矩形时，易知∠COD＝120°，∴的长为＝cm.5．(1)证明：∵OA＝OC，AD＝OC，∴OA＝AD，∠AOD＝∠ADO，∵OD∥AC，∴∠OAC＝∠AOD，30\n∴∠OAC＝∠OCA＝∠AOD＝∠ADO，∴∠AOC＝∠OAD，∴OC∥AD，∴四边形OCAD是平行四边形；(2)解：①30【解法提示】∵四边形OCAD是菱形，∴OC＝AC，又∵OC＝OA，∴OC＝OA＝AC，∴∠AOC＝60°，∴∠B＝∠AOC＝30°；②当∠B＝45°时，AD与⊙O相切，理由如下：∵AD与⊙O相切，∴∠OAD＝90°，∵AD∥OC，∴∠AOC＝90°，∴∠B＝∠AOC＝45°.6．(1)证明：连接CO并延长交AB于点E，如解图①，∵CD与⊙O相切于点C，∴CE⊥CD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴CE⊥AB，∴AE＝BE，∴BC＝AC；(2)解：①当AC＝AP时，△CPA≌△ABC.理由如下：∵AC＝BC，AC＝AP，∴∠ABC＝∠BAC，∠APC＝∠ACP，∵∠ABC＝∠APC，∴∠BAC＝∠ACP，在△CPA与△ABC中，，∴△CPA≌△ABC；30\n图①图②第6题解图②当∠ABC的度数为60°时，四边形ABCD是菱形．理由如下：如解图②，连接OC，OB，∵∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°，∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°，∴∠BCO＝30°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝30°，∴∠ABO＝30°，∴BO垂直平分AC，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形．7．(1)证明：∵AB＝AC,CD＝CA，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝CD.∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC＋∠AEC＝180°，∠BAE＋∠BCE＝180°.∵∠CED＋∠AEC＝180°，∠ECD＋∠BCE＝180°，∴∠CED＝∠ABC，∠ECD＝∠BAE.∴∠CED＝∠ACB.∵∠ACB＝∠AEB，∴∠CED＝∠AEB.在△ABE和△CDE中，∴△ABE≌△CDE.30\n(2)解：①60；②.8．解：(1)①连接ON，如解图．点N为的中点，∴AN＝MN，∵OA＝OM，ON＝ON，∴△AON≌△MON.∴∠OAN＝∠OMN，∵CM为⊙O的切线，∴CM⊥OM.第8题解图∴∠CMN＋∠OMN＝90°，∵ND⊥AB，∴∠NAD＋∠AND＝90°，∴∠AND＝∠CMN，∵MC∥AB，CD⊥AB，∴MC⊥ND，即∠NCM＝90°.又∵AN＝NM，∠ADN＝90°，∴△AND≌△NMC，∴AD＝CN.②矩形．(2)120.9．(1)证明：连接OD，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，第9题解图在Rt△ODE和Rt△OBE中，∴Rt△ODE≌Rt△OBE.∴∠DOE＝∠BOE＝∠DOB，30\n∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝∠DOB，∴∠BOE＝∠A，∴OE∥AD.(2)解：①45° ②30°10．(1)证明：∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠CDE＝90°，∵点C为AP的中点，∴DC⊥AP，∴∠DCA＝∠DCP＝90°，∵AB是⊙O直径，∴∠APB＝90°，∴四边形DEPC为矩形，∴DC＝EP，在△DAC和△ECP中，，∴△DAC≌△ECP；(2)解：①∵△DAC≌△ECP，∴AD＝CE，∠DAC＝∠ECP，∴AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；②DF＝AP.理由如下：∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∵AD∥CE，∴∠ADO＝∠DCF，∴∠DAO＝∠DCF，∴A，C，F，D四点共圆，∴＝，∴AC＝DF，∵AC＝AP，30\n∴DF＝AP.11．(1)证明：BF与⊙A相切，理由如下：∵BC是⊙A的切线，∠ACB＝90°，∵EF∥AB，∴∠AEF＝∠CAB，∠AFE＝∠FAB，又∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，∴∠FAB＝∠CAB，在△ABC和△ABF中，∴△ABC≌△ABF(SAS)；∴∠AFB＝∠ACB＝90°，∵AF是⊙A的半径，∴BF与⊙O相切．(2)①解：60°理由如下：连接CF，如解图所示，第11题解图若四边形ADFE为菱形，则AE＝EF＝FD＝DA，又∵CE＝2AE，CE是圆A的直径，∴CE＝2EF，∠CFE＝90°，∴∠ECF＝30°，∴∠CEF＝60°，∵EF∥AB，∴∠AEF＝∠CAB，∴∠CAB＝60°；②4.理由如下：若四边形ACBF为正方形，则AC＝CB＝BF＝FA＝4，且AF⊥AE，∴EF＝＝4.30\n第12题解图12．(1)证明：连接OD，∵AB＝AC，OB＝OD，∴∠ABC＝∠ACB，∠OBD＝∠ODB，∴∠ACB＝∠ODB，∴OD∥AC.∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∴DF为⊙O的切线．(2)解：①2.5. ②100.30
