课时训练(十三) 二次函数的图像与性质(限时:50分钟)|夯实基础|1.[2022·攀枝花]抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标为( )A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,3)D.(-1,3)2.[2022·成都]关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是( )A.图像与y轴的交点坐标为(0,1)B.图像的对称轴在y轴的右侧C.当x<0时,y的值随x值的增大而减小D.y的最小值为-33.[2022·广安]抛物线y=(x-2)2-1可以由y=x2平移而得到,下列平移正确的是( )A.先向左平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度B.先向左平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度C.先向右平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度D.先向右平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度4.[2022·廊坊模拟]二次函数y=ax2+bx+c的图像如图K13-1所示,则直线y=ax+cb不经过的象限是( )图K13-111\nA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.已知某二次函数的图像如图K13-2所示,则这个二次函数的表达式为( )图K13-2A.y=-3(x-1)2+3B.y=3(x-1)2+3C.y=-3(x+1)2+3D.y=3(x+1)2+36.[2022·泸州]已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量),当x≥2时,y随x的增大而增大,且-2≤x≤1时,y的最大值为9,则a的值为( )A.1或-2B.-2或2C.2D.17.[2022·黄冈]当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为( )A.-1B.2C.0或2D.-1或28.[2022·石家庄长安区一模]如图K13-3,在直角坐标系xOy中,若抛物线l:y=-12x2+bx+c(b,c为常数)的顶点D位于直线y=-2与x轴之间的区域(不包括直线y=-2和x轴),则l与直线y=-1交点的个数是( )11\n图K13-3A.0个B.1个或2个C.0个,1个或2个D.只有1个9.[2022·镇江]已知二次函数y=x2-4x+k的图像的顶点在x轴下方,则实数k的取值范围是 . 10.[2022·广安]已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图K13-4所示,对称轴为直线x=1,则下列结论正确的有 . 图K13-4①abc>0;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1,x2=3;③2a+b=0;④当x>0时,y随x的增大而减小.11.点A(x1,y1),B(x2,y2)在二次函数y=x2-4x-1的图像上,当1<x1<2,3<x2<4时,y1与y2的大小关系是y1 y2.(填“>”“<”或“=”) 12.已知二次函数y=-2x2+4x+6.(1)求出该函数图像的顶点坐标,图像与x轴的交点坐标.(2)当x在什么范围内时,y随x的增大而增大?11\n(3)当x在什么范围内时,y≤6?13.[2022·南京]已知二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数).(1)求证:不论m为何值,该函数的图像与x轴总有公共点;(2)当m取什么值时,该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方?11\n|拓展提升|14.[2022·贵阳]已知二次函数y=-x2+x+6及一次函数y=-x+m,将该二次函数在x轴上方的图像沿x轴翻折到x轴下方,图像的其余部分不变,得到一个新函数(如图K13-5所示),当直线y=-x+m与新图像有4个交点时,m的取值范围是( )图K13-5A.-254<m<3B.-254<m<2C.-2<m<3D.-6<m<-215.[2022·北京]在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图像,求a的取值范围.11\n11\n参考答案1.A2.D3.D [解析]抛物线y=x2的顶点坐标是(0,0),抛物线y=(x-2)2-1的顶点坐标是(2,-1).由(0,0)到(2,-1)的平移方法可以是先向右平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度.4.C [解析]由图像可知抛物线开口向下,∴a<0,∵对称轴在y轴右侧,∴对称轴x=-b2a>0,∴b>0.∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,∴c>0.∵b>0,c>0,∴cb>0,∴一次函数y=ax+cb的图像不经过第三象限.5.A6.D [解析]∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量),∴对称轴是直线x=-2a2a=-1,∵当x≥2时,y随x的增大而增大,∴a>0,∵-2≤x≤1时,y的最大值为9,∴x=1时,y=a+2a+3a2+3=9,∴3a2+3a-6=0,∴a=1或a=-2(不合题意舍去).11\n7.D [解析]当y=1时,有x2-2x+1=1,解得:x1=0,x2=2.∵当a≤x≤a+1时,函数有最小值1,∴a=2或a+1=0,∴a=2或a=-1.8.C [解析]∵抛物线l:y=-12x2+bx+c(b,c为常数)的顶点D位于直线y=-2与x轴之间的区域,开口向下,∴当顶点D位于直线y=-1下方时,则l与直线y=-1交点个数为0,当顶点D位于直线y=-1上时,则l与直线y=-1交点个数为1,当顶点D位于直线y=-1上方时,则l与直线y=-1交点个数为2.9.k<4 [解析]∵二次函数y=x2-4x+k中a=1>0,图像的开口向上,又∵二次函数y=x2-4x+k的图像的顶点在x轴下方,∴Δ=(-4)2-4×1×k>0,解得:k<4.10.②③ [解析]∵抛物线开口向下,∴a<0,∵对称轴在y轴右侧,∴-b2a>0,∴b>0,∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上,∴c>0,∴abc<0,故①错误;∵抛物线与x轴的一个交点为(3,0),对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1,0),∴方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1,x2=3,故②正确;∵对称轴为直线x=1,∴-b2a=1,即2a+b=0,故③正确;由函数图像可得:当0<x<1时,y随x的增大而增大;当x≥1时,y随x的增大而减小,故④错误.11.< [解析]由二次函数y=x2-4x-1=(x-2)2-5,可知其图像开口向上,且对称轴为直线x=2.∵1<x1<2,3<x2<4,11\n∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离,∴y1<y2.12.解:(1)∵y=-2x2+4x+6=-2(x-1)2+8,∴对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,8).令y=0,则-2x2+4x+6=0,解得x1=-1,x2=3,∴图像与x轴的交点坐标是(-1,0),(3,0).(2)∵对称轴为直线x=1,图像开口向下,∴当x≤1时,y随x的增大而增大.(3)令y=-2x2+4x+6=6,解得x=0或x=2.∵图像开口向下,∴当x≤0或x≥2时,y≤6.13.解:(1)证明:当y=0时,2(x-1)(x-m-3)=0,解得x1=1,x2=m+3.当m+3=1,即m=-2时,方程有两个相等的实数根;当m+3≠1,即m≠-2时,方程有两个不相等的实数根.所以不论m为何值,该函数的图像与x轴总有公共点.(2)当x=0时,y=2m+6,即该函数的图像与y轴交点的纵坐标是2m+6.当2m+6>0,即m>-3时,该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方.14.D [解析]如图,当y=0时,-x2+x+6=0,解得x1=-2,x2=3,则A(-2,0),B(3,0),该二次函数在x轴上方的图像沿x轴翻折到x轴下方的部分图像的解析式为y=(x+2)(x-3),即y=x2-x-6(-2≤x≤3),11\n当直线y=-x+m经过点A(-2,0)时,2+m=0,解得m=-2;当直线y=-x+m与抛物线y=x2-x-6(-2≤x≤3)有唯一公共点时,方程x2-x-6=-x+m有两个相等的实数解,解得m=-6,所以当直线y=-x+m与新图像有4个交点时,m的取值范围为-6<m<-2.15.解:(1)∵直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,∴A(-1,0),B(0,4).∵将点B向右平移5个单位长度,得到点C,∴C(0+5,4),即C(5,4).(2)∵抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,∴a-b-3a=0.∴b=-2a.∴抛物线的对称轴为直线x=-b2a=--2a2a=1,即对称轴为直线x=1.(3)易知抛物线过点(-1,0),(3,0).①若a>0,如图所示,易知抛物线过点(5,12a),若抛物线与线段BC恰有一个公共点,满足12a≥4即可,可知a的取值范围是a≥13.②若a<0,如图所示,易知抛物线与y轴交于(0,-3a),要使该抛物线与线段BC只有一个公共点,就必须-3a>4,此时a<-43.11\n③若抛物线的顶点在线段BC上,此时顶点坐标为(1,4),从而解析式为y=a(x-1)2+4,将A(-1,0)代入,解得a=-1,如图所示:综上,a的取值范围是a≥13或a<-43或a=-1.11
