课时训练(十四) 二次函数的图像与性质(限时:30分钟)|夯实基础|1.抛物线y=(x-1)2+2的顶点坐标是( )A.(-1,2)B.(―1,―2)C.(1,-2)D.(1,2)2.[2022·无锡滨湖区一模]将抛物线y=x2-4x-3向左平移3个单位,再向上平移5个单位,得到抛物线的表达式为( )A.y=(x+1)2-2B.y=(x-5)2-2C.y=(x-5)2-12D.y=(x+1)2-123.[2022·岳阳]在同一直角坐标系中,二次函数y=x2与反比例函数y=1x(x>0)的图像如图K14-1所示,若两个函数图像上有三个不同的点A(x1,m),B(x2,m),C(x3,m),其中m为常数,令ω=x1+x2+x3,则ω的值为( )图K14-1A.1B.mC.m2D.1m4.[2022·泸州]已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量),当x≥2时,y随x的增大而增大,且-2≤x≤1时,y的最大值14\n为9,则a的值为( )A.1或-2B.-2或2C.2D.15.[2022·菏泽]已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图K14-2所示,则一次函数y=bx+a与反比例函数y=a+b+cx在同一平面直角坐标系中的图像大致是( )图K14-2图K14-36.[2022·白银]如图K14-4是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)图像的一部分,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是直线x=1,关于下列说法:①ab<0,②2a+b=0,③3a+c>0,④a+b≥m(am+b)(m为常数),⑤当-1<x<3时,y>0,其中正确的是( )图K14-4A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤7.[2022·广州]已知二次函数y=x2,当x>0时,y随x的增大而 (填“增大”或“减小”). 14\n8.[2022·淮阴中学开明分校期中]写出一个二次函数,使得它在x=-1时取得最大值2,它的表达式可以为 . 9.根据图K14-5中的抛物线可以判断:当x 时,y随x的增大而减小;当x= 时,y有最小值. 图K14-510.[2022·淄博]已知抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),将这条抛物线向右平移m(m>0)个单位,平移后的抛物线与x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧).若B,C是线段AD的三等分点,则m的值为 . 11.求二次函数y=-2x2-4x+1图像的顶点坐标,并在下列坐标系内画出函数的大致图像.说出此函数的三条性质.图K14-612.如图K14-7,抛物线y=ax2+bx+52与直线AB交于点A(-1,0),B4,52,点D是抛物线上A,B14\n两点间部分的一个动点(不与点A,B重合),直线CD与y轴平行,交直线AB于点C,连接AD,BD.(1)求抛物线的解析式;(2)设点D的横坐标为m,△ADB的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求出当S取最大值时的点C的坐标.图K14-7|拓展提升|13.[2022·陕西]对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y>0,则这条抛物线的顶点一定在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14.[2022·安徽]如图K14-8,直线l1,l2都与直线l垂直,垂足分别为M,N,MN=1,正方形ABCD的边长为2,对角线AC在直线l上,且点C位于点M处,将正方形ABCD沿l向右平移,直到点A与点N重合为止,记点C平移的距离为x,正方形ABCD的边位于l1,l2之间部分的长度和为y,则y关于x的函数图像大致为( )14\n图K14-8图K14-915.如图K14-10,在平面直角坐标系xOy中,A(-3,0),B(0,1),形状相同的抛物线Cn(n=1,2,3,4,…)的顶点在直线AB上,其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2,3,5,8,13,…,根据上述规律,抛物线C2的顶点坐标为 ;抛物线C8的顶点坐标为 . 图K14-1016.我们把a,b中较大的数记作max{a,b},若直线y=kx+1与函数y=max{x2+(k-1)x-k,-x2-(k-1)x+k}(k>0)的图像只有两个公共点,则k的取值范围是 . 17.一次函数y=34x的图像如图K14-11所示,它与二次函数y=ax2-4ax+c的图像交于A,B两点(其中点A在点B的左侧),与这个二次函数图像的对称轴交于点C.(1)求点C的坐标.(2)设二次函数图像的顶点为D.14\n①若点D与点C关于x轴对称,且△ACD的面积等于3,求此二次函数的关系式.②若CD=AC,且△ACD的面积等于10,求此二次函数的关系式.图K14-1114\n参考答案1.D 2.A3.D [解析]根据题意可得A,B,C三点中有两个在二次函数图像上,一个在反比例函数图像上,不妨设A,B两点在二次函数图像上,点C在反比例函数图像上,∵二次函数y=x2图像的对称轴是y轴,∴x1+x2=0.∵点C在反比例函数y=1x(x>0)图像上,∴x3=1m,∴ω=x1+x2+x3=1m.故选D.4.D [解析]原函数可化为y=a(x+1)2+3a2-a+3,对称轴为直线x=-1,当x≥2时,y随x的增大而增大,所以a>0,抛物线开口向上,因为-2≤x≤1时,y的最大值为9,结合对称轴及增减性可得,当x=1时,y=9,代入可得,a1=1,a2=-2,又因为a>0,所以a=1.5.B [解析]∵抛物线开口向上,∴a>0;∵抛物线对称轴在y轴右侧,∴b<0;∵抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0;再由二次函数的图像看出,当x=1时,y=a+b+c<0;∵b<0,a>0,∴一次函数y=bx+a的图像经过第一,二,四象限;∵a+b+c<0,∴反比例函数y=a+b+cx的图像位于第二,第四象限,两个函数图像都满足的是选项B.故选B.6.A [解析]∵抛物线的开口向下,∴a<0.∵抛物线的对称轴为直线x=1,即x=-b2a=1,∴b=-2a>0,∴ab<0,2a+b=0.∴①②正确.∵当x=-1时,y=a-b+c=3a+c,由对称轴为直线x=1和抛物线过x轴上的A点,A点在(2,0)与(3,0)之间,得抛物线与x轴的另一个交点则在(-1,0)到(0,0)之间,所以当x=-1时,y=3a+c<0.所以③错误.14\n∵当x=1时,y=a+b+c,此点为抛物线的顶点,即抛物线的最高点.当x=m时,y=am2+bm+c=m(am+b)+c,∴此时有:a+b+c≥m(am+b)+c,即a+b≥m(am+b),所以④正确.∵抛物线过x轴上的A点,A点在(2,0)与(3,0)之间,则抛物线与x轴的另一个交点则在(-1,0)到(0,0)之间,由图知,当2<x<3时,有一部分图像位于x轴下方,说明此时y<0,同理,当-1<x<0时,也有一部分图像位于x轴下方,说明此时y<0.所以⑤错误.故选A.7.增大 8.y=-(x+1)2+2(答案不唯一)9.<1 1 [解析]根据图像可知对称轴为直线x=(-1+3)÷2=1,所以当x<1时,y随x的增大而减小;当x=1时,y有最小值.10.2或8 [解析]易求得点A(-3,0),B(1,0),若平移后C在A,B之间且B,C是线段AD的三等分点,则AC=CB,此时C(-1,0),m=2;若平移后C在B点右侧且B,C是线段AD的三等分点,则AB=BC,此时C(5,0),m=8.11.解:∵y=-2x2-4x+1=-2(x+1)2+3,∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=-1,顶点坐标为(-1,3),在y=-2x2-4x+1中,令y=0可求得x=-1±62,令x=0可得y=1,∴抛物线与x轴的交点坐标为-1+62,0和-1-62,0,与y轴的交点坐标为(0,1),其图像如图所示,其性质有:①开口向下,②有最大值3,③对称轴为直线x=-1.(答案不唯一)14\n12.解:(1)由题意得a-b+52=0,16a+4b+52=52,解得:a=-12,b=2,∴抛物线的解析式为y=-12x2+2x+52.(2)设直线AB为:y=kx+n,则有-k+n=0,4k+n=52,解得k=12,n=12.∴y=12x+12.则Dm,-12m2+2m+52,Cm,12m+12,CD=-12m2+2m+52-12m+12=-12m2+32m+2,∴S=12(m+1)·CD+12(4-m)·CD=12×5×CD=12×5×-12m2+32m+2=-54m2+154m+5.∵-54<0,∴当m=32时,S有最大值,当m=32时,12m+12=12×32+12=54,∴点C32,54.13.C [解析]∵抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y>0,∴a+2a-1+a-3>0.解得:a>1.∵-b2a=-2a-12a,4ac-b24a=4a(a-3)-(2a-1)24a=-8a-14a,14\n∴抛物线顶点坐标为:-2a-12a,-8a-14a,∵a>1,∴-2a-12a<0,-8a-14a<0,∴该抛物线的顶点一定在第三象限.故选择C.14.A [解析]这是一道动态问题,需要分段思考,求解关键是先确定函数解析式,再选择图像.其中,在图形运动过程中,确定三种运动状态下的图形形态是重中之重.其中关键是确定图形变化瞬间的静态图形位置,从而得到分界点,然后再思考动态时的情况,确定各种情况下的取值范围,最后求出各部分对应的函数解析式,运用函数的图像、性质分析作答.有时,直接根据各运动状态(如前后图形的对称状态带来函数图像的对称,前后图形面积的增减变化带来函数图像的递增或递减等)就能求解.∵正方形ABCD的边长为2,∴AC=2.(1)如图①,当C位于l1,l2之间,0≤x<1时,设CD,BC与l1分别相交于点P,Q,则PC=2x,∴y=22x;①(2)如图②,当D位于l1,l2之间,1≤x<2时,②设AD与l1相交于点P,CD与l2相交于点Q,连接BD,作PR⊥BD于R,QS⊥BD于S.设PR=a,则SQ=1-a,DP+DQ=2a+2(1-a)=2,所以y=22;14\n(3)如图③,当A位于l1,l2之间,2≤x≤3时,设AD,AB分别与l2相交于点P,Q,∵AN=3-x,∴AP=2(3-x)=32-2x,∴y=62-22x.③综上所述,y关于x的函数图像大致如选项A所示.故选A.15.(3,2) 55,583 [解析]设直线AB的解析式为y=kx+b,则-3k+b=0,b=1,解得k=13,b=1.∴直线AB的解析式为y=13x+1.∵抛物线C2的顶点的横坐标为3,且顶点在直线AB上,∴抛物线C2的顶点坐标为(3,2).∵对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2,3,5,8,13,∴每个数都是前两个数的和,∴抛物线C8的顶点的横坐标为55,∴抛物线C8的顶点坐标为55,583.16.0<k<32或k>1 [解析]①当k>1时,如图①(图中实线),14\n设直线y=kx+1与x轴的交点C的坐标为-1k,0,∵1k<k,∴-1k>-k,∴C在B的右侧,此时,直线y=kx+1与函数y=max{x2+(k-1)x-k,-x2-(k-1)x+k}(k>0)的图像只有两个公共点;②当k=1时,如图②(图中实线),此时,直线y=x+1与函数y=max{x2+(k-1)x-k,-x2-(k-1)x+k}(k>0)的图像有三个公共点,不符合题意;③当0<k<1时,如图③(图中实线),∵0<k<1,∴1k>k,∴-1k<-k,当y=kx+1与y=-x2-(k-1)x+k无公共点时,符合要求,∴y=kx+1,y=-x2-(k-1)x+k无解,14\n∴kx+1=-x2-(k-1)x+k无实数根,∴Δ=(2k-1)2-4(1-k)<0,∴(2k+3)(2k-3)<0,∵2k+3>0,∴2k-3<0,∴k<32,∴0<k<32,综上所述:0<k<32或k>1.故答案为:0<k<32或k>1.17.解:(1)y=ax2-4ax+c=a(x-2)2+c-4a,∴二次函数图像的对称轴为直线x=2.当x=2时,y=34×2=32,∴C点坐标为2,32.(2)①若点D和点C关于x轴对称,则点D坐标为2,-32,CD=3.∵△ACD的面积等于3,∴点A到CD的距离为2,∴点A的横坐标为0(点A在点B左侧).∵点A在直线y=34x上,∴点A的坐标为(0,0).将点A,点D坐标代入二次函数解析式可求得a=38,c=0,∴二次函数解析式为y=38x2-32x.②若CD=AC,如图,设CD=AC=x(x>0).过A点作AH⊥CD于H,则AH=45AC=45x,14\nS△ACD=12×CD×AH=12x·45x=10.∵x>0,∴x=5.D点坐标为2,132或2,-72,A点坐标为-2,-32.将A-2,-32,D2,-72代入二次函数y=ax2-4ax+c中可求得a=18,c=-3,∴二次函数解析式为y=18x2-12x-3,或将A-2,-32,D2,132代入二次函数y=ax2-4ax+c中,求得a=-12,c=92,∴二次函数解析式为y=-12x2+2x+92.综上可得,二次函数关系式为:y=18x2-12x-3或y=-12x2+2x+92.14
