课时训练(十四) 二次函数的综合应用(限时:70分钟)1.[2022·玉林]如图K14-1,一段抛物线y=-x2+4(-2≤x≤2)为C1,与x轴交于A0,A1两点,顶点为D1;将C1绕点A1旋转180°得到C2,顶点为D2;C1与C2组成一个新的图像,垂直于y轴的直线l与新图像交于点P1(x1,y1),P2(x2,y2),与线段D1D2交于点P3(x3,y3),x1,x2,x3均为正数,设t=x1+x2+x3,则t的取值范围是( )图K14-1A.6<t≤8B.6≤t≤8C.10<t≤12D.10≤t≤122.如图K14-2,O为坐标原点,边长为2的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°,使点B落在某抛物线的图像上,则该抛物线的解析式为( )图K14-2A.y=23x2B.y=-13x2C.y=-12x2D.y=-3x23.如图K14-3,在平面直角坐标系内,二次函数y=ax2+bx(a≠0),一次函数y=ax+b(a≠0)以及反比例函数y=kx(k≠0)的图像都经过点A,其中一次函数的图像与反比例函数的图像还交于另一点B,且一次函数与x轴,y轴分别交于点C,D.若点A的横坐标为1,该二次函数的对称轴是直线x=2,则下列结论:①b=-4a;②a+b>k;③8a+4b>k;④a+2b>4k.其中正确结论的个数是( )11\n图K14-3A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图K14-4,平面直角坐标系中,抛物线y=14x2-2x+3交x轴于点B,C,交y轴于点A,点P(x,y)是抛物线上的一个动点,连接PA,AC,PC,记△ACP的面积为S.当y≤3时,S随x变化的图像大致是( )图K14-4图K14-55.如图K14-6,我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A,B,C,D分别是“果圆”与坐标轴的交点,抛物线的解析式为y=x2-2x-3,AB为半圆的直径,则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为 . 11\n图K14-66.如图K14-7,在平面直角坐标系xOy中,A(-3,0),B(0,1),形状相同的抛物线Cn(n=1,2,3,4,…)的顶点在直线AB上,其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2,3,5,8,13,…,那么这些抛物线称为“美丽抛物线”,根据上述规律,抛物线C2的顶点坐标为 ;若这些“美丽抛物线”与抛物线y=-x2+1形状相同,试写出抛物线C10的解析式 . 图K14-77.如图K14-8,曲线BC是反比例函数y=kx(4≤x≤6)的一部分,其中B(4,1-m),C(6,-m),抛物线y=-x2+2bx的顶点记作A.图K14-8(1)求k的值;(2)判断点A是否可与点B重合;(3)若抛物线与曲线BC有交点,求b的取值范围.11\n8.在平面直角坐标系中,直线y=x+4与x,y轴分别交于A,B两点,抛物线y=-x2+bx+c经过A,B两点,并与x轴交于另一点C(点C在点A的右侧),点P是抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的解析式及点C的坐标.(2)若点P在第二象限内,过点P作PD⊥x轴于点D,交AB于点E,当点P运动到什么位置时,PE最长?最长是多少?图K14-99.[2022·金华、丽水]如图K14-10,抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B11\n的左边),点C,D在抛物线上.设A(t,0),当t=2时,AD=4.(1)求抛物线的函数表达式.(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形的面积时,求抛物线平移的距离.图K14-1011\n参考答案1.D [解析]旋转后的抛物线的解析式为y=(x-4)2-4=x2-8x+12,∵x1,x2,x3均为正数,∴点P1(x1,y1),P2(x2,y2)在第四象限,根据对称性可知:x1+x2=8,∵2≤x3≤4,∴10≤x1+x2+x3≤120,即10≤t≤12.2.B [解析]如图,作BE⊥x轴于点E,连接OB,设抛物线的解析式为y=ax2,由题意可知∠AOE=75°,∵∠AOB=45°,∴∠BOE=30°,∵OA=2,∴OB=2,∴BE=12OB=1,∴OE=OB2-BE2=3,∴点B的坐标为(3,-1),代入y=ax2得a=-13,∴y=-13x2.3.B [解析]①对称轴为直线x=-b2a=2,11\n∴b=-4a,故结论正确;②∵一次函数与反比例函数的图像都经过点A,∴x=1时,a+b=k,故结论错误;③由图像可知,x=2时,4a+2b>k2,∴8a+4b>k,故结论正确;④a+2b=-b4+2b=74b,4k=4(a+b)=4-b4+b=3b,∵二次函数图像开口向下,∴a<0,∴b=-4a>0,∴74b<3b,∴a+2b<4k,故结论错误.4.B [解析]当y=0时,14x2-2x+3=0,解得x1=2,x2=6,∴点B的坐标为(2,0),点C的坐标为(6,0);当x=0时,y=14x2-2x+3=3,则点A的坐标为(0,3).抛物线的对称轴为直线x=4,点A关于直线x=4的对称点为(8,3),利用待定系数法可求出直线AC的解析式为y=-12x+3.过点P作PD∥y轴交AC于点D,如图,设点P的坐标为x,14x2-2x+3,则点D的坐标为x,-12x+3,当0≤x≤6时,DP=-12x+3-14x2-2x+3=-14x2+32x,∴S=12OC·DP=-34x2+92x,当6<x≤8时,DP=14x2-2x+3--12x+3=14x2-32x,∴S=12OC·DP=34x2-92x.11\n5.3+3 [解析]连接CM,∵抛物线的解析式为y=x2-2x-3,∴点D的坐标为(0,-3),∴OD的长为3,设y=0,则0=x2-2x-3,解得:x=-1或3,∴A(-1,0),B(3,0),∴AO=1,BO=3,∵AB为半圆的直径,∴AB=4,CM=2,OM=1,在Rt△COM中,OC=CM2-OM2=3,∴CD=CO+OD=3+3.6.(3,2) y=-(x-144)2+49[解析]设直线AB的解析式为y=kx+b,则-3k+b=0,b=1,解得:k=13,b=1,故直线AB的解析式为y=13x+1,∵抛物线C2的顶点的横坐标为3,且顶点在直线AB上,∴抛物线C2的顶点坐标为(3,2).∵对称轴与x轴的交点的横坐标依次为:2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…∴从第3个数开始,每个数都是前两个数的和,∴抛物线C10的顶点的横坐标为144,11\n则纵坐标为13×144+1=49,∴抛物线C10的顶点坐标为(144,49),∵抛物线C10与抛物线y=-x2+1的形状相同,∴抛物线C10的解析式为y=-(x-144)2+49.7.解:(1)∵B(4,1-m),C(6,-m)在反比例函数y=kx的图像上,∴k=4(1-m)=6×(-m),解得m=-2,∴k=4×[1-(-2)]=12.(2)∵m=-2,∴B(4,3),∵抛物线y=-x2+2bx=-(x-b)2+b2,∴A(b,b2).若点A与点B重合,则有b=4,且b2=3,显然不成立,∴点A不与点B重合.(3)当抛物线经过点B(4,3)时,有3=-42+2b×4,解得b=198,显然抛物线右半支经过点B;当抛物线经过点C(6,2)时,有2=-62+2b×6,解得b=196,这时仍然是抛物线右半支经过点C,∴b的取值范围为198≤b≤196.8.解:(1)∵直线y=x+4与x,y轴分别交于A,B两点,∴A(-4,0),B(0,4),将点A,B的坐标代入抛物线解析式得:11\n-16-4b+c=0,c=4,解得:b=-3,c=4,则抛物线的解析式为y=-x2-3x+4,令-x2-3x+4=0,解得:x1=-4,x2=1,∴点C的坐标为(1,0).(2)设P点横坐标为m,则纵坐标为-m2-3m+4,E点纵坐标为m+4,则PE=-m2-3m+4-(m+4)=-m2-3m+4-m-4=-m2-4m=-(m+2)2+4,(-4<m<0)当m=-2时,PE有最大值4,此时点P的纵坐标为6,故当点P运动到(-2,6)时,PE最长,最长为4.9.解:(1)设抛物线的函数表达式为y=ax(x-10).∵当t=2时,AD=4,∴点D的坐标是(2,4).∴4=a×2×(2-10),解得a=-14.∴抛物线的函数表达式为y=-14x2+52x.11\n(2)由抛物线的对称性得BE=OA=t,∴AB=10-2t.当x=t时,y=-14t2+52t.∴矩形ABCD的周长=2(AB+AD)=2(10-2t)+(-14t2+52t)=-12t2+t+20=-12(t-1)2+412.∵-12<0,0<1<10,∴当t=1时,矩形ABCD的周长有最大值,最大值是412.(3)连接DB,取DB的中点,记为P,则P为矩形ABCD的中心,由矩形的对称性知,平分矩形ABCD面积的直线必过点P.连接OD,取OD中点Q,连接PQ.当t=2时,点A,B,C,D的坐标分别为(2,0),(8,0),(8,4),(2,4).结合图像知,当点G,H分别落在线段AB,DC上且直线GH过点P时,直线GH平分矩形ABCD的面积.∵AB∥CD,∴线段OD平移后得到线段GH,线段OD的中点Q平移后的对应点是P.∴抛物线的平移距离=OG=DH=QP.在△OBD中,PQ是中位线,∴PQ=12OB=4.所以抛物线向右平移的距离是4.11
