第二部分 热点专题突破专题一 规律探究 数式的规律探究例1(2022，安徽改编)观察以下等式：第1个等式：＋＋×＝1，第2个等式：＋＋×＝1，第3个等式：＋＋×＝1，第4个等式：＋＋×＝1，第5个等式：＋＋×＝1，……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：（＋＋×＝1）；(2)写出第n个等式：（＋＋·＝1）.(用含n的等式表示)【解析】(1)根据已知规律，第6个等式中的分数的分母分别为6和7，分子分别为1和5.故应填＋＋×＝1.(2)根据规律，得第n个等式中的分数的分母分别为n和n＋1，分子分别为1和n－1.故应填＋＋·＝1.针对训练1(2022，随州)我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如1，3，6，10，…)和“正方形数”(如1，4，9，16，…)．在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m＋n的值为(C)训练1题图A.33B.301C.386D.571【解析】由图形，知第k个“三角形数”为1＋2＋3＋…＋k＝，第k个“正方形数”为k2.当k＝19时，＝190＜200，当k＝20时，＝210＞200，所以最大的“三角形数”m＝190.当k＝14时，k2＝196＜200，当k＝15时，k2＝225＞200，所以最大的“正方形数”n＝196.∴m＋n＝386.针对训练2(2022，河北)如图，点O，A在数轴上表示的数分别是0，0.1.4\n训练2题图将线段OA分成100等份，其分点由左向右依次为M1，M2，…，M99；再将线段OM1分成100等份，其分点由左向右依次为N1，N2，…，N99；继续将线段ON1分成100等份，其分点由左向右依次为P1，P2，…，P99.则点P37所表示的数用科学记数法表示为3.7×10－6.【解析】由题意，得点M1表示的数为0.1×＝10－3.∴点N1表示的数为10－3×＝10－5.∴点P1表示的数为10－5×＝10－7.∴点P37表示的数为3.7×10－6. 图形的规律探究例2(2022，河北，导学号5892921)如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1.按下列要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以点A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以点A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；……这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝9.例2题图【解析】由题意，得AO＝A1A，A1A＝A2A1，….∴∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，….∵∠BOC＝9°，∴∠A1AA2＝18°，∠A2A1A3＝27°，∠A3A2A4＝36°，∠A4A3A5＝45°，…，∠An－1An－2An＝n·9°.在△An－1An－2An中，2n·9°<180°，解得n<10.∴n最大取9.针对训练3将图①所示的正六边形进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割……则第n个图形中，共有(3n－2)个正六边形．训练3题图【解析】分析可得将题图①所示的正六边形进行分割得到题图②，增加了3个正六边形，共4个；再将题图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到题图③，又增加了3个正六边形，共4＋3＝7(个)．故每次分割，都增加3个正六边形．故第n个图形中，正六边形共有1＋3(n－1)＝3n－2(个).针对训练4(2022，保定模拟，导学号5892921)如图，△ABC是一个边长为2的等边三角形，AD0⊥BC，垂足为D0，过点D0作D0D1⊥AB，垂足为D1，再过点D1作D1D2⊥AD0，垂足为D2，又过点D2作D2D3⊥AB，垂足为D3……这样一直作下去，得到一组线段：D0D1，D1D2，D2D3，…，则线段D1D2的长为（），线段Dn－1Dn的长为（）(n为正整数)．4\n训练4题图【解析】∵△ABC是一个边长为2的等边三角形，AD0⊥BC，∴BD0＝1，∠B＝60°.∵D0D1⊥AB，∴∠D1D0B＝30°.∴D0D1＝BD0·cos∠D1D0B＝.同理∠D0D1D2＝30°，D1D2＝D1D0·cos∠D0D1D2＝＝.依此类推，线段Dn－1Dn的长为.针对训练5(2022，承德模拟，导学号5892921)如图，在矩形ABCD中，M为CD的中点，连接AM，BM，分别取AM，BM的中点P，Q，以P，Q为顶点作第二个矩形PSRQ，使S，R在AB上．在矩形PSRQ中，重复以上的步骤继续画图．若AM⊥MB，矩形ABCD的周长为30.(1)CD＝10；(2)第n个矩形的长和宽分别是（10×，5×）．训练5题图【解析】(1)∵M为CD的中点，∴DM＝MC.在矩形ABCD中，AD＝BC，∠D＝∠C，∴△ADM≌△BCM.∴∠DMA＝∠CMB.∵AM⊥MB，∴∠DMA＝∠CMB＝45°.∴∠DAM＝∠DMA＝45°.∴AD＝DM＝CD.∵矩形ABCD的周长为30，∴CD＝10.(2)由(1)求得第一个矩形的长为10，宽为5.∵P，Q分别是AM，BM的中点，∴之后得到的矩形长、宽和前一个矩形长、宽的比为1∶2.则可得出第n个矩形的长和宽分别是10×，5×.例3(2022，石家庄模拟，导学号5892921)如图，在平面直角坐标系xOy中，若干个半径为1个单位长度，圆心角是60°的扇形按图中的方式摆放，动点K从原点O出发，沿着“半径OA→→→半径CD→半径DE…”的曲线运动．若点K在线段上运动的速度为每秒1个单位长度，在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，设第ns运动到点Kn(n为自然数)，则K3的坐标是（），K2018的坐标是(1_009，0)．例3题图【解析】观察，发现规律：K1，K2(1，0)，K3，K4(2，0)，4\nK5，…，∴K4n＋1，K4n＋2(2n＋1，0)，K4n＋3，K4n＋4(2n＋2，0)．∵2018＝4×504＋2，∴K2018的坐标为(1009，0).针对训练6(2022，广州，导学号5892921)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到点A1，第2次移动到点A2……第n次移动到点An，则△OA2A2018的面积是(A)训练6题图A.504m2B.m2C.m2D.1009m2【解析】由题意，知A2(1，1)，A4(2，0)，A8(4，0)，A12(6，0)，…，∴A4n(2n，0)．∵2016＝4×504，∴A2016(1008，0)．∴A2018(1009，1)．∴A2A2018＝1009－1＝1008.∴＝×1×1008＝504(m2).针对训练7(2022，潍坊，导学号5892921)如图，点A1的坐标为(2，0)，过点A1作x轴的垂线交直线l：y＝x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3……按此作法进行下去，则弧A2019B2018的长是（）.训练7题图【解析】根据已知条件可知∠A1OB1＝60°，点B1的坐标为(2，2)．∵OA2＝OB1，∴OA2＝＝4.∴点A2的坐标为(4，0)．利用这种方法可求得点B2的坐标为(4，4)，故点A3的坐标为(8，0)，B3(8，8)．以此类推便可求出点A2019的坐标为(22019，0)，则弧A2019B2018的长是＝.4
