数与式中典型例题串讲二1．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为（）A．22B．24C．D．【答案】B．【解析】试题分析：如图：∵直线y=kx-3k+4必过点D（3，4），∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，∵点D的坐标是（3，4），∴OD=5，∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），∴圆的半径为13，∴OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24．故选B．考点：1．垂径定理；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．勾股定理．2．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，轴于点C，交C2于点A，轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（）A、2B、3C、4D、5【答案】B．【解析】试题分析：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，１４\n∴S矩形PCOD=4，S△AOC=S△BOD=×1=，∴四边形PAOB的面积=S矩形PCOD-S△AOC-S△BOD=4--=3．故选B．考点：反比例函数系数k的几何意义．3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为4的正方形，M（4，m）、N（n，4）分别是AB、BC上的两个动点，且ON⊥MN，当OM最小时，＝．【答案】5．【解析】试题分析：∵OABC是正方形，∴∠OCN=∠NBM=90°，∴∠CON+∠CNO=90°，∵ON⊥NM，∴∠CNO+∠BNM=90°，∴△CNO∽△BMN，∴CN：CO=BM：NB，∴，∴，∴，∵，∴，，∵OM=，∴当OM最小时，m最小，∵，∴，∴，∴．故答案为：5．考点：1．正方形的值；2．相似三角形的判定与性质．4．如图，双曲线经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足，与BC交于点D，S△BOD=21，求k=_________．【答案】8．【解析】试题分析：过A作AE⊥x轴于点E．∵，∴=21，∵AE∥BC，∴△OAE∽△OBC，∴，∴，则k=8．故答案为：8．１４\n考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．相似三角形的判定与性质．5．如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心、OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K，过点D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H。（1）求证：AE＝CK（2）若AB＝a，AD＝a（a为常数），求BK的长（用含a的代数式表示）。（3）若F是EG的中点，且DE＝6，求⊙O的半径和GH的长。【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），6．【解析】试题分析：（1）根据ABCD是矩形，求证△BKC≌△ADE即可；（2）根据勾股定理求得AC的长，根据三角形的面积公式得出AB×BC=AC×BK，代入即可求得BK．（3）根据三角形中位线定理可求出EF，再利用△AFD≌△HBF可求出HF，然后即可求出GH；利用射影定理求出AE，再利△AED∽△HEC求证AE=AC，然后即可求得AC即可．试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠DAE=∠BCK，∵BK⊥AC，DH∥KB，∴∠BKC=∠AED=90°，∴△BKC≌△ADE，∴AE=CK；（2）解：∵AB=a，AD=a=BC，∴１４\n∵S△ABC=AB×BC=AC×BK，∴BK=（3）连结OG，∵AC⊥DG，AC是⊙O的直径，DE=6，∴DE=EG=6，又∵EF=FG，∴EF=3；∵Rt△ADE≌Rt△CBK，∴DE=BK=6，AE=CK，在△ABK中，EF=3，BK=6，EF∥BK，∴EF是△ABK的中位线，∴AF=BF，AE=EK=KC；在Rt△OEG中，设OG=r，则OE=，EG=6，，∴，∴．连接BG可得△BGF≌△AEF，AF=BF，△ADF≌△BHF∵AD=BC，BF∥CD，∴HF=DF，∵FG=EF，∴HF-FG=DF-EF，∴HG=DE=6．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．三角形中位线定理；4．垂径定理．6．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴交z轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．１４\n（1）填空：点A坐标为，抛物线的解析式为；（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位／秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向E以2个单位／秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．连接PQ，是否存在实数t，使得PQ所在的直线经过点D，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位／秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？【答案】（1）（1，4），；（2）；（3），最大值为1．【解析】试题分析：（1）根据抛物线的对称轴与矩形的性质可得点A坐标，根据待定系数法可得抛物线的解析式；（2）若PQ所在的直线经过点D，由DE∥CP，得到△DEQ∽△PCQ，得到，即：，解出t的值即可；（3）根据待定系数法可得直线AC的解析式，根据可得，依此即可求解．试题解析：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE上，∴点A坐标为（1，4），设抛物线的解析式为，把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得，解得，故抛物线的解析式为，即；（2）若PQ所在的直线经过点D，∵DE∥CP，∴△DEQ∽△PCQ，∴，即：，整理得：，解得或（舍去），∴当（s）时，PQ所在的直线经过点D；（3）∵A（1，4），C（3，0），设直线AC的解析式为，则：，解得，１４\n故直线AC的解析式为，∵P（1，），将代入中，得，∴Q点的横坐标为，将代入中，得，∴Q点的纵坐标为，∴QF=，∴=FQ•AG+FQ•DG=FQ（AG+DG）=FQ•AD==，∴当t=2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．考点：1．二次函数综合题；2．三角形的面积；3．勾股定理；4．矩形的性质；5．代数几何综合题．7．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为A（-3，0），B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．（1）a=，b=，顶点C的坐标为．（2）在轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．【答案】（1），，C（﹣1，4）；（2）存在，点D（0，3）或（0，1）；（3）P（，）或（，）．【解析】试题分析：（1）将A（﹣3，0）、B（1，0），代入求出即可，再利用平方法求出顶点坐标即可；（2）首先证明△CED∽△DOA，得出y轴上存在点D（0，3）或（0，1），即可得出△ACD是以AC为斜边的直角三角形；（3）首先求出直线CA的解析式为，再利用联立两函数解析式即可得出交点坐标，再利用若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH得出答案即可．试题解析：（1）将A（﹣3，0）、B（1，0），代入得：，解得：，１４\n，∴，∴，顶点C的坐标为（﹣1，4）；（2）假设在y轴上存在满足条件的点D，过点C作CE⊥y轴于点E．由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°．又∠2+∠3=90°，∴∠3=∠1．又∵∠CED=∠DOA=90°，∴△CED∽△DOA，∴．设D（0，c），则．变形得，解之得，．综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），使△ACD是以AC为斜边的直角三角形；（3）①若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH．延长CP交x轴于M，∴AM=CM，∴．设M（m，0），则，∴m=2，即M（2，0）．设直线CM的解析式为，则：，解得：，．∴直线CM的解析式为：．联立，解得：或（舍去）．∴P（，）．②若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△AHC，得∠PCQ=∠ACH．过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N．由△CFA∽△CAH得，由△FNA∽△AHC得．∴AN=2，FN=1，CH=4，HO=1，则AH=2，∴点F坐标为（﹣5，1）．设直线CF的解析式为，则，解得：，．∴直线CF的解析式为：．联立：，解得：或（舍去）．∴P（，）．∴满足条件的点P坐标为（，）或（，）．考点：1．二次函数综合题；2．压轴题．１４\n8．如图，已知正比例函数和反比例函数的图象交于点A（m，-2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC的形状并证明你的结论．【答案】（1）；（2）或；（3）菱形．【解析】试题分析：（1）设反比例函数的解析式为（），然后根据条件求出A点坐标，再求出k的值，进而求出反比例函数的解析式；（2）直接由图象得出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）首先求出OA的长度，结合题意CB∥OA且CB=，判断出四边形OABC是平行四边形，再证明OA=OC即可判定出四边形OABC的形状．试题解析：（1）设反比例函数的解析式为（），∵A（m，﹣2）在上，∴﹣2=2m，∴m=﹣1，∴A（﹣1，﹣2），又∵点A在上，∴k=2，∴反比例函数的解析式为；（2）观察图象可知正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为或；（3）四边形OABC是菱形．∵A（﹣1，﹣2），∴OA==，由题意知：CB∥OA且CB=，∴CB=OA，∴四边形OABC是平行四边形，∵C（2，n）在上，∴n=1，∴C（2，1），OC==，∴OC=OA，∴四边形OABC是菱形．考点：反比例函数综合题．9．（本题满分12分）如图，二次函数的图象与x轴交与A（4，0），并且OA＝OC＝4OB，点P为过A、B、C三点的抛物线上一动点．１４\n（1）求点B、点C的坐标并求此抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以点C为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．【答案】（1）B（－1,0）；C（0,4）；；（2）P（2,6）；（3）点或【解析】试题分析：（1）根据点A的坐标和OA=OC=4OB求出点B和点C的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式；（2）过点C作CP⊥AC，过点P作PM垂直y轴，设出点P的坐标，根据OM=OC+MC=OC+PM=4+m列出方程求出m的值；（3）四边形OFDE是矩形，则OD=EF，据垂线段最短，可知：当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短.根据（1）求出AC的长度，根据中点得出点P的纵坐标，列出关于x的方程，求出x的值.试题解析：（1）∵A（4，0）∴OA=4又∵OA=OC=4OB∴OC=4，OB=1∴B（-1，0），C（0，4）设抛物线的解析式为：把C（0，4）代入得：∴∴∴抛物线的解析式为：（2）存在过点C作.交抛物线于点，过点作轴于点M.∵∴又∵∴１４\n∴∴∵在抛物线上.∴设∴∴∴∴∴∴（3）连OD，由题意知，四边形OFDE是矩形，则，据垂线段最短，可知：当时，OD最短，即EF最短.由（1）知，在Rt△AOC中，∴又∵D为AC的中点.∴DF∥OC∴∴点P的纵坐标是2.∴∴∴当EF最短时，点或考点：二次函数的性质.10．如图，已知平面直角坐标系中，⊙O的圆心在坐标原点，直线l与轴相交于点P，与⊙O相交于A、B两点，∠AOB=90°.点A和点B的横坐标是方程x2-x-k=0的两根，且两根之差为3.（1）求方程x2-x-k=0的两根；（2）求A、B两点的坐标及⊙O的半径；（3）把直线l绕点P旋转，使直线l与⊙O相切，求直线l的解析式.【答案】（1）2和－1（2）A(-1,2)，B(2,1)（3）【解析】试题分析：（1）设方程的两根分别为x1，x2（x1>x2)，由根与系数的关系可得x1+x2=1，由两根之差为3，可点x1-x2=3，解方程组即可得方程的根；过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，通过△AOC≌△OBD得到A点坐标，利用勾股定理得OA的长；由A、B在坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式，从而得到点P的坐标，过点P的直线与圆相切，有两种情况，因此分切点在第一象限与第四象限两种情况求切线的解析式.１４\n试题解析：（1）设方程的两根分别为x1，x2（x1>x2)，由已知得，解得，∴方程的两根分别为2和－1；（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，易证：△AOC≌△OBD，∴BD=OC=1，AC=OD=2∴A(-1,2)，B(2,1),∴OA=（3）设直线AB的解析式为y=k1x+b1，则，解得，∴y=，当y=0时，=0，解得x=5，∴P(5,0)；当直线l与⊙O的切点在第一象限时，设直线l与⊙O相切于点E，过点E作EF⊥x轴于点F,∵PE是⊙O的切线，∴OE⊥PE,∴PE=,∵S△POE=OP·EF=OE·PE,∴5EF=，∴EF=2,∴OF==1，E(1,2)；设直线l的解析式为y=k2x+b2，则，解得，∴y=-；当直线l与⊙O的切点在第四象限时，同理可求得y=.考点：1、根与系数的关系；2、三角形全等的判定与性质；3、待定系数法；4、圆的切线.11．（10分）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F.１４\n（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cosA的值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）证得OD⊥DE，根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；（2）由OD//AE，得到，通过转换得到，解得FC的长，进而求得AF的长，应用锐角三角函数求出cosA的值.试题解析：解：（1）证明：连结AD、OD，∵AC是直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴D是BC的中点，又∵O是AC的中点∴OD//AB，∵DE⊥AB，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）由（1）知OD//AE，∴，∴，１４\n∴，解得FC=2，∴AF=6，∴cosA=.考点：1、切线的判定；2、平行线分线段成比例定理；3、锐角三角函数.12．如图，在△ABD中，AB=AD,AO平分∠BAD,过点D作AB的平行线交AO的延长线于点C,连接BC（1）求证：四边形ABCD是菱形。（2）如果OA,OB(OA>OB)的长（单位：米）是一元二次方程的两根，求AB的长以及菱形ABCD的面积。（3）若动点M从A出发，沿AC以2m/S的速度匀速直线运动到点C,动点N从B出发，沿BD以1m/S的速度匀速直线运动到点D，当M运动到C点时运动停止。若M、N同时出发，问出发几秒钟后，△MON的面积为？【答案】（1）证明见解析；（2）5，24；（3）M，N出发秒，秒，秒钟后，△MON的面积为m2．【解析】试题分析：（1）根据题意，用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”先判定平行四边形，再用邻边相等证明菱形；（2）解方程可得OA、OB的长，用勾股定理可求AB，根据“菱形的面积对应对角线积的一半”计算连线面积；（3）根据点M、N运动过程中与O点的位置关系，分三种情况分别讨论．试题解析：（1）证明：∵AO平分∠BAD，AB∥CD∴∠DAC=∠BAC=∠DCA∴△ACD是等腰三角形，AD=DC又∵AB=AD∴AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵AB=AD，∴▱ABCD是菱形；（2）解：解方程x2-7x+12=0，得OA=4，OB=3，利用勾股定理AB==5，１４\nS菱形ABCD=AC×BD=×8×6=24平方米．（3）解：在第（2）问的条件下，设M、N同时出发x秒钟后，△MON的面积为m2，当点M在OA上时，x≤2，S△MON=（4-2x）（3-x）=；解得x1=，x2=（大于2，舍去）；当点M在OC上且点N在OB上时，2＜x＜3，S△MON=（3-x）（2x-4）=，解得x1=x2=；当点M在OC上且点N在OD上时，即3≤x≤4，S△MON=（2x-4）（x-3）=；解得x1=，x2=（小于3，舍去）．综上所述：M，N出发秒，秒，秒钟后，△MON的面积为m2．考点：1.菱形的判定；2.一元二次方程的应用；3.等腰三角形的性质．１４
