数与式中典型例题串讲二课前集训巩固提高1已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B．【解析】试题分析：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，错误；②当x=-1时，y=a-b+c＜0，即b＞a+c，错误；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，正确；④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=-=1，即a=-，代入得9（-）+3b+c＜0，得2c＜3b，正确；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m时，y=am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），正确．③④⑤正确．故选B．考点：二次函数图象与系数的关系．2．函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）【答案】B【解析】试题分析：本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致由解析式可得：抛物线对称轴x=0；１８\nA、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误考点：反比例函数、二次函数的图象及性质点评：本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求3．若互为相反数，互为倒数，则________．【答案】－1．【解析】试题分析：根据题意得：，，则原式=0﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．考点：1．有理数的混合运算；2．相反数；3．倒数．4．若x2+2（a-3）x+16是完全平方式，则a=．【答案】-1或7【解析】试题分析：本题考查的是完全平方式，这里首末两项是x和4的平方，那么中间项为加上或减去x和4的乘积的2倍，故2（a-3）=±8，解得a的值即可．试题解析：由于（x±4）2=x2±8x+16=x2+2（a-3）x+16，∴2（a-3）=±8，解得a=-1或a=7．考点：完全平方式．5．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n=26，则：若，则第201次“F”运算的结果是．【答案】．【解析】试题分析:根据题意：,所以,．所以运算结果为．考点：1阅读新教材;2．规律．6．定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5．7]=5，[5]=5，[-π]=-4．（1）如果[a]=-2，那么a的取值范围是____________．（2）如果，满足条件的所有正整数x有____________．【答案】-3≤a≤-25,6【解析】１８\n试题分析：（1）根据[a]=-2，得出-3＜a≤-2，求出a的解即可；（2）根据题意得出3≤﹤4,求出x的取值范围，从而得出满足条件的所有正整数的解．考点：一元一次不等式组的应用点评：此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，求出不等式的解．7．已知三角形的两边长是方程x2－5x＋6=0的两个根，则该三角形的周长的取值范围是．【答案】6＜＜10【解析】试题分析：∵，∴（x﹣2）（x﹣3）=0，∴x=2或x=3，即三角形的两边长是2和3，∴第三边a的取值范围是：1＜a＜5，∴该三角形的周长的取值范围是6＜＜10．考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系点评：本题考查了用因式分解法解一元二次方程的方法：把方程左边分解成两个一次式的乘积，右边为0，从而方程就转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可．也考查了三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边8．若满足不等式的整数k只有一个，则正整数N的最大值.【答案】112；【解析】试题分析：已知，则8n+8k＜15，解得k＜，且，则7n+7k＞6m，解得k＞所以＜k＜通分得。又因为k只有一个。∴只有n=112时，考点：不等式点评：本题难度较大，主要考查学生对不等式知识点的掌握。最值问题突破1如图，E是边长为l的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】１８\n试题分析：连接BP，利用面积法求解，PQ+PR的值等于C点到BE的距离，即正方形对角线的一半解：连接BP，过C作CM⊥BD，∴即又∵∴∴，∵BE=BC=1且正方形对角线，又BC=CD，CM⊥BD，∴M为BD中点，又△BDC为直角三角形，∴，即PQ+PR值是．考点：正方形的性质点评：本题的解题关键是作出正确的辅助线，利用全等三角形的判定和性质的应用，来化简题目2如图所示，MN是圆O中一条固定的弦，劣弧MN的度数为1200，点C是圆O上一个动点（不与M、N重合）。连接MC、NC，D、E分别是NC和MC的中点，直线DE交圆O于点A、B。已知圆O的半径为，那么在点C的运动过程中AE+BD的最小值为。【答案】１８\n【解析】试题解析：解：如下图所示，∵点D、E分别是NC、MC的中点，∴点C在劣弧MN的中点时，AB的长度最小，此时DE＝MN，连接OA、OM，连接OC与MN、AB分别交于点F、G，∵劣弧MN的度数是120°，∴∠OMN＝（180°－120°）＝30°，∵⊙的半径是，∴OF＝OM＝，MF＝×＝，∵D、E分别是NC、MC的中点，∴FG＝（OC－OF）＝＝，∴OG＝OF＋FG＝＝，在Rt△AOG中，AG＝＝＝，∴AE＋BD＝2AG－DE＝2×－＝.考点：三角形的中位线定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系点评：本题主要考查了三角形的中位线定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是判断出当点C在劣弧MN的中点时AE＋BD的值最小.3如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6.１８\n（1）求这个圆锥的高和其侧面展开图中∠ABC的度数；（2）如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这根绳子的最短长度．【答案】解：（1）圆锥的高=，底面圆的周长等于：2π×2=，解得：n=120°；（2）连结AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD=60°．由AB=6，可求得BD=3，∴AD=，AC=2AD=，即这根绳子的最短长度是．【解析】试题分析：（1）根据勾股定理直接求出圆锥的高，再利用圆锥侧面展开图弧长与其底面周长的长度关系，求出侧面展开图中∠ABC的度数即可；（2）首先求出BD的长，再利用勾股定理求出AD以及AC的长即可．考点：圆锥的计算；勾股定理；平面展开-最短路径问题．点评：此题主要考查了圆锥的计算、勾股定理、平面展开-最短路径问题．得到圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解决本题的突破点．经典压轴题突破1锐角中，，，两动点分别在边上滑动，且，以为边向下作正方形，设其边长为，正方形与公共部分的面积为１８\n．（1）中边上高；（2）当恰好落在边上（如图1）；求正方形的边长（3）当在外部时（如图2），求关于的函数关系式（写出的取值范围），并求出为何值时最大，最大值是多少？【答案】解：（1）∵S△ABC=12，∴，又BC=6，∴AD=4；（2）设AD与MN相交于点H，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，即，解得，x=，∴当x=时正方形MPQN的边P恰好落在BC边上；（3）设MP、NQ分别与BC相交于点E、F，１８\n设HD=a，则AH=4﹣a，由，得，解得，a=，∵矩形MEFN的面积=MN×HD，∴（2.4＜x≤6）当x=3时，y取最大值为6【解析】试题分析：（1）利用三角形的面积公式，三角形的面积=×底×高计算即可；（2）根据△AMN与△ABC相似，相似三角形对应高的比等于相似比列式计算；（3）设正方形在△ABC内的边长为a，也就是△ABC的高在正方形内的长度，然后利用同（2）的运算，计算出a的长度，再利用矩形的面积公式进行解答考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质2已知过原点O的两直线与圆心为M（0，4），半径为2的圆相切，切点分别为P、Q，PQ交y轴于点K，抛物线经过P、Q两点，顶点为N（0，6），且与x轴交于A、B两点．（1）求点P的坐标；（2）求抛物线解析式；（3）在直线y=nx+m中，当n=0，m≠0时，y=m是平行于x轴的直线，设直线y=m与抛物线相交于点C、D，当该直线与⊙M相切时，求点A、B、C、D围成的多边形的面积（结果保留根号）．１８\n【答案】（1）点P的坐标为（，3）（2）（3）4+2或6【解析】试题分析：（1）由切线的性质可得∠MPO=90°，根据勾股定理可求出PO，然后由面积法可求出PK，然后运用勾股定理可求出OK，就可得到点P的坐标；（2）可设顶点为（0，6）的抛物线的解析式为y=ax2+6，然后将点P的坐标代入就可求出抛物线的解析式；（3）直线y=m与⊙M相切有两种可能，只需对这两种情况分别讨论就可求出对应多边形的面积．试题解析：解：（1）如图1，∵⊙M与OP相切于点P，∴MP⊥OP，即∠MPO=90°．∵点M（0，4）即OM=4，MP=2，∴OP=2．∵⊙M与OP相切于点P，⊙M与OQ相切于点Q，∴OQ=OP，∠POK=∠QOK．∴OK⊥PQ，QK=PK．∴PK===．∴OK==3．∴点P的坐标为（，3）．（2）如图2，设顶点为（0，6）的抛物线的解析式为y=ax2+6，１８\n∵点P（，3）在抛物线y=ax2+6上，∴3a+6=3．解得：a=﹣1．则该抛物线的解析式为y=﹣x2+6．（3）当直线y=m与⊙M相切时，则有=2．解得；m1=2，m2=6．①m=2时，如图3，则有OH=2．当y=2时，解方程﹣x2+6=2得：x=±2，则点C（2，2），D（﹣2，2），CD=4．同理可得：AB=2．则S梯形ABCD=（DC+AB）•OH=（4+2）×2=4+2．②m=6时，如图4，此时点C、点D与点N重合．S△ABC=AB•OC=×2×6=6．综上所述：点A、B、C、D围成的多边形的面积为4+2或6考点：切线的性质，勾股定理，二次函数的图像与性质，梯形及三角形的面积１８\n3如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC=43o，点P在线段OB上运动，设∠ACP=x，则x的取值范围是。【答案】43°≤x≤90°【解析】试题分析：分别从若点P与点O重合与若点P与点B重合去分析求解即可求得答案解：若点P与点O重合，∵OA=OC，∴x=∠ACP=∠BAC=43°；若点P与点B重合，∵AB是直径，∴x=∠ACB=90°，∴x的取值范围是：43°≤x≤90°考点：圆周角定理点评：此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用4如图①，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（2，0）和点B（－6，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与轴交于点M，在对称轴上存在点P，使△CMP为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（3）设点Q是抛物线对称轴上的一个动点，当点Q满足最大时，求出Q点的坐标．（4）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．【答案】（1）y=-x2-2x+6；（2）P（-2，）或P（-2，2）或P（-2，-2）或P（-2，12）；（3）当Q在（-2，12）的位置时，|QB-QC|最大；（4）最大值为；E坐标为（-3，）．【解析】１８\n试题分析：（1）将点A（2，0）和点B（-6，0）分别代入y=ax2+bx+6，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，进而得到抛物线的解析式；（2）根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴为x=-2，再求出M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为（0，6），根据M、C的坐标求出CM的距离．然后分三种情况进行讨论：①CP=PM；②CM=MP；③CM=CP；（3）由抛物线的对称性可知QB=QA，故当Q、C、A三点共线时，|QB-QC|最大，连结AC并延长，交对称轴于点Q，利用待定系数法求出直线AC的解析式，再将x=-2代入，求出y的值，进而得到Q点的坐标；（4）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积=三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在三角形BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标．试题解析：（1）由题知：，解得：，故所求抛物线解析式为：y=-x2-2x+6；（2）∵抛物线解析式为：y=-x2-2x+6，∴对称轴为x=，设P点坐标为（-2，t），∵当x=0时，y=6，∴C（0，6），M（-2，0），∴CM2=（-2-0）2+（0-6）2=40．①当CP=PM时，（-2）2+（t-6）2=t2，解得t=，∴P点坐标为：P1（-2，）；②当CM=PM时，40=t2，解得t=±2，∴P点坐标为：P2（-2，2）或P3（-2，-2）；③当CM=CP时，由勾股定理得：40=（-2）2+（t-6）2，解得t=12，∴P点坐标为：P4（-2，12）．综上所述，存在符合条件的点P，其坐标为P（-2，）或P（-2，2）或P（-2，-2）或P（-2，12）；（3）∵点A（2，0）和点B（-6，0）关于抛物线的对称轴x=-2对称，１８\n∴QB=QA，∴|QB-QC|=|QA-QC|，要使|QB-QC|最大，则连结AC并延长，与直线x=-2相交于点Q，即点Q为直线AC与直线x=-2的交点，设直线AC的解析式为y=kx+m，∵A（2，0），C（0，6），∴，解得，∴y=-3x+6，当x=-2时，y=-3×（-2）+6=12，故当Q在（-2，12）的位置时，|QB-QC|最大；（4）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（n，-n2-2n+6）（-6＜n＜0），则EF=-n2-2n+6，BF=n+6，OF=-n，S四边形BOCE=BF•EF+（OC+EF）•OF=（n+6）•（-n2-2n+6）+（6-n2-2n+6）•（-n）=-n2-9n+18=-（n+3）2+，所以当n=-3时，S四边形BOCE最大，且最大值为此时，点E坐标为（-3，）．考点：二次函数综合题．5．（9分）（2022•云南）已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．１８\n（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x﹣5（2）点M的坐标为（，0）或（，0）（3）四边形DEPF面积的最小值为【解析】试题分析：（1）只需先求出AC中点P的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式．（2）由于△DOM与△ABC相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出OM的长，即可求出点M的坐标．（3）易证S△PED=S△PFD．从而有S四边形DEPF=2S△PED=DE．由∠DEP=90°得DE2=DP2﹣PE2=DP2﹣．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE也最短，对应的四边形DEPF的面积最小．借助于三角形相似，即可求出DP⊥AC时DP的值，就可求出四边形DEPF面积的最小值．解：（1）过点P作PH∥OA，交OC于点H，如图1所示．１８\n∵PH∥OA，∴△CHP∽△COA．∴==．∵点P是AC中点，∴CP=CA．∴HP=OA，CH=CO．∵A（3，0）、C（0，4），∴OA=3，OC=4．∴HP=，CH=2．∴OH=2．∵PH∥OA，∠COA=90°，∴∠CHP=∠COA=90°．∴点P的坐标为（，2）．设直线DP的解析式为y=kx+b，∵D（0，﹣5），P（，2）在直线DP上，∴∴∴直线DP的解析式为y=x﹣5．（2）①若△DOM∽△ABC，图2（1）所示，∵△DOM∽△ABC，∴=．１８\n∵点B坐标为（3，4），点D的坐标为（0．﹣5），∴BC=3，AB=4，OD=5．∴=．∴OM=．∵点M在x轴的正半轴上，∴点M的坐标为（，0）②若△DOM∽△CBA，如图2（2）所示，∵△DOM∽△CBA，∴=．∵BC=3，AB=4，OD=5，∴=．∴OM=．∵点M在x轴的正半轴上，∴点M的坐标为（，0）．综上所述：若△DOM与△CBA相似，则点M的坐标为（，0）或（，0）．（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，∴AC=5．∴PE=PF=AC=．∵DE、DF都与⊙P相切，∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．∴S△PED=S△PFD．∴S四边形DEPF=2S△PED=2×PE•DE１８\n=PE•DE=DE．∵∠DEP=90°，∴DE2=DP2﹣PE2．=DP2﹣．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小．∵DP⊥AC，∴∠DPC=90°．∴∠AOC=∠DPC．∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，∴△AOC∽△DPC．∴=．∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，∴=．∴DP=．∴DE2=DP2﹣=（）2﹣=．∴DE=，∴S四边形DEPF=DE=．∴四边形DEPF面积的最小值为．１８\n点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、用待定系数法求直线的解析式、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识，考查了分类讨论的思想．将求DE的最小值转化为求DP的最小值是解决第3小题的关键．另外，要注意“△DOM与△ABC相似”与“△DOM∽△ABC“之间的区别．１８
