课时训练(十五) 二次函数与一元二次方程及不等式(限时:30分钟)|夯实基础|1.[2022·无锡梁溪区初三模拟]已知m,n(m<n)是关于x的方程(x-a)(x-b)=2的两根,若a<b,则下列判断正确的是( )A.a<m<b<nB.m<a<n<bC.a<m<n<bD.m<a<b<n2.如图K15-1,已知顶点为(-3,-6)的抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,-4).则下列结论中错误的是( )图K15-1A.b2>4acB.ax2+bx+c≥-610\nC.若点(-2,m),(-5,n)在抛物线上,则m>nD.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的两根为-5和-13.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图像经过点(2,0),且其对称轴为直线x=-1,则使函数值y>0成立的x的取值范围是( )A.x<-4或x>2B.-4≤x≤2C.x≤-4或x≥2D.-4<x<24.若函数y=(a-1)x2-4x+2a的图像与x轴有且只有一个交点,则a的值为 . 5.函数y=x2+2x+1,当y=0时,x= ;当1<x<2时,y随x的增大而 (填写“增大”或“减小”). 6.关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根都在-1和0之间(不包括-1和0),则a的取值范围是 . 7.[2022·乐山]已知关于x的一元二次方程mx2+(1-5m)x-5=0(m≠0).(1)求证:无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根;(2)若抛物线y=mx2+(1-5m)x-5与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且|x1-x2|=6,求m的值;(3)若m>0,点P(a,b)与Q(a+n,b)在(2)中的抛物线上(点P,Q不重合),求代数式4a2-n2+8n的值.8.[2022·北京]在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图像,求a的取值范围.10\n9.[2022·南京]已知二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数).(1)求证:不论m为何值,该函数的图像与x轴总有公共点;(2)当m取什么值时,该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方?|拓展提升|10.[2022·贵阳]已知二次函数y=-x2+x+6及一次函数y=-x+m,将该二次函数在x轴上方的图像沿x轴翻折到x轴下方,图像的其余部分不变,得到一个新函数(如图K15-2所示),当直线y=-x+m与新图像有4个交点时,m的取值范围是( )图K15-210\nA.-254<m<3B.-254<m<2C.-2<m<3D.-6<m<-211.[2022·日照]在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点.已知反比例函数y=mx(m<0)的图像与y=x2-4的图像在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数为2,则实数m的取值范围为 . 12.[2022·舟山]已知点M为二次函数y=-(x-b)2+4b+1图像的顶点,直线y=mx+5分别交x轴正半轴、y轴于点A,B.(1)判断顶点M是否在直线y=4x+1上,并说明理由.(2)如图K15-3①,若二次函数图像也经过点A,B,且mx+5>-(x-b)2+4b+1.根据图像,写出x的取值范围.(3)如图②,点A坐标为(5,0),点M在△AOB内,若点C14,y1,D34,y2都在二次函数图像上,试比较y1与y2的大小.图K15-310\n参考答案1.D2.C [解析]点(-2,m)关于对称轴的对称点是(-4,m),在对称轴x=-3左侧,图像从左向右下降,所以点(-5,n)在点(-4,m)的上方,所以n>m,故选C.3.D [解析]根据二次函数的图像经过点(2,0),且对称轴为直线x=-1,可得函数的图像与x轴的另一个交点为(-4,0),由于a<0,所以抛物线开口向下,当y>0时,函数图像在x轴上方,由图像可知x的取值范围是-4<x<2,故选D.4.-1或2或1 [解析]∵函数y=(a-1)x2-4x+2a的图像与x轴有且只有一个交点,∴当函数为二次函数时,b2-4ac=16-4(a-1)×2a=0,解得a1=-1,a2=2,当函数为一次函数时,a-1=0,解得a=1.故答案为-1或2或1.10\n5.-1 增大 [解析]当y=0时,即x2+2x+1=0,解得x1=x2=-1,可得二次函数图像的对称轴是直线x=-1.因为二次项系数a=1>0,所以抛物线开口向上,在对称轴的右侧y随x的增大而增大.故答案为-1 增大.6.-94<a<-2 [解析]∵ax2-3x-1=0有两个不相等的实数根,∴Δ=9+4a>0.∴a>-94.又∵两个不相等的实数根都在-1和0之间,∴当x=-1和x=0时的函数y=ax2-3x-1的值同号.∵当x=-1时,y=a+2;当x=0时,y=-1.∴a+2<0,即a<-2.综上所述a的取值范围为-94<a<-2.7.解:(1)证明:由题意得:Δ=(1-5m)2-4m×(-5)=(5m+1)2≥0,∴无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根.(2)解方程mx2+(1-5m)x-5=0,得x1=-1m,x2=5.由|x1-x2|=6,得-1m-5=6.解得m=1或m=-111.(3)由(2)得,当m>0时,m=1.此时抛物线解析式为y=x2-4x-5,其对称轴为直线x=2.由题意知,P,Q关于直线x=2对称.∴a+a+n2=2,∴2a=4-n.∴4a2-n2+8n=(4-n)2-n2+8n=16.10\n8.解:(1)∵直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,∴A(-1,0),B(0,4).∵将点B向右平移5个单位长度,得到点C,∴C(0+5,4),即C(5,4).(2)∵抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,∴a-b-3a=0.∴b=-2a.∴抛物线的对称轴为直线x=-b2a=--2a2a=1,即对称轴为直线x=1.(3)易知抛物线过点(-1,0),(3,0).①若a>0,如图所示,易知抛物线过点(5,12a),若抛物线与线段BC恰有一个公共点,满足12a≥4即可,可知a的取值范围是a≥13.②若a<0,如图所示,易知抛物线与y轴交于(0,-3a),要使该抛物线与线段BC只有一个公共点,就必须-3a>4,此时a<-43.③若抛物线的顶点在线段BC上,此时顶点坐标为(1,4),从而解析式为y=a(x-1)2+4,将A(-1,0)代入,解得a=-1,如图所示:10\n综上,a的取值范围是a≥13或a<-43或a=-1.9.解:(1)证明:当y=0时,2(x-1)(x-m-3)=0,解得x1=1,x2=m+3.当m+3=1,即m=-2时,方程有两个相等的实数根;当m+3≠1,即m≠-2时,方程有两个不相等的实数根.所以,不论m为何值,该函数的图像与x轴总有公共点.(2)当x=0时,y=2m+6,即该函数的图像与y轴交点的纵坐标是2m+6.当2m+6>0,即m>-3时,该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方.10.D [解析]在抛物线y=-x2+x+6中,令y=0时,即-x2+x+6=0,解得x1=-2,x2=3,即抛物线y=-x2+x+6与x轴交点坐标分别为(-2,0),(3,0).∵抛物线y=-x2+x+6沿x轴翻折到x轴下方,∴此时新抛物线y=x2-x-6(y<0)与y轴交点坐标为(0,-6).当直线y=-x+m过(-2,0),(0,-2)时,m=-2.此时直线y=-x+m与x轴下方图像只有三个交点.如图所示,要使直线y=-x+m与新图像有4个交点,需y=-x+m与y=x2-x-6有两个交点,则-x+m=x2-x-6有两个不同解,整理得x2=m+6,所以m>-6时,直线y=-x+m与抛物线y=x2-x-6有两个交点,m的取值范围是-6<m<-2.11.-2≤m<-1 [解析]当x=1时,y=x2-4=1-4=-3.所以在第四象限内在二次函数y=x2-4的图像上和图像上方的整点有3个,坐标为(1,-1),(1,-2),(1,-3).当反比例函数y=mx(m<0)的图像经过点(1,-2),即m=xy=-2时,在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数为2个,当反比例函数y=mx(m<0)的图像经过点(1,-1),10\n即m=xy=-1时,在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数为3个,∵在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数为2,∴m的取值范围为-2≤m<-1.12.[解析](1)根据二次函数顶点式可以知道M(b,4b+1),将坐标代入y=4x+1,问题得解;(2)由题意知B(0,5),二次函数图像过点B,代入解析式可求得b的值,求得A点坐标,再利用函数图像比较大小;(3)先通过点M在△AOB内得到b的取值范围,再根据抛物线的对称性和增减性解决y1,y2大小关系.解:(1)∵点M坐标是(b,4b+1),∴把x=b代入y=4x+1,得y=4b+1,∴点M在直线y=4x+1上.(2)如图①,∵直线y=mx+5与y轴交于点B,∴点B坐标为(0,5).又∵B(0,5)在抛物线上,∴5=-(0-b)2+4b+1,解得b1=b2=2,∴二次函数的表达式为y=-(x-2)2+9,当y=0时,得x1=5,x2=-1.∴A(5,0).观察图像可得,当mx+5>-(x-b)2+4b+1时,x的取值范围为x<0或x>5.(3)如图②,设直线y=4x+1与直线AB交于点E,与y轴交于点F,而直线AB表达式为y=-x+5,10\n解方程组y=4x+1,y=-x+5,得x=45,y=215,∴点E45,215,又∵F(0,1),点M在△AOB内,∴0<b<45.当点C,D关于抛物线对称轴(直线x=b)对称时,b-14=34-b,∴b=12.且二次函数图像的开口向下,根据二次函数图像的对称性和增减性可知.①当0<b<12时,y1>y2;②当b=12时,y1=y2;③当12<b<45时,y1<y2.10
