第十七讲 特殊的平行四边形1．(2022河南中考)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有( C ) A．AC⊥BDB．AB＝BCC．AC＝BDD．∠1＝∠2,(第1题图)) ,(第2题图))2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为( C )A．2B．2.2C．2.4D．2.53．(2022常州中考)如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD∶AB＝3∶1，则点C的坐标是( A )A．(2，7)B．(3，7)C．(3，8)D．(4，8),(第3题图)) ,(第4题图))4．(2022台湾中考)已知坐标平面上有一长方形ABCD，其坐标分别为A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(0，1)，今固定B点并将此长方形依顺时针方向旋转，如图所示．若旋转后C点的坐标为(3，0)，则旋转后D点的坐标为( D )A．(2，2)B．(2，3)C．(3，3)D．(3，2)5．(2022葫芦岛中考)如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为( D )A.B．4C．4.5D．5,(第5题图)) ,(第7题图))6．(2022菏泽中考)菱形ABCD中，∠A＝60°，其周长为24cm，则菱形的面积为__18__cm2.7．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__3__．8．(2022河池中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是7\n____．,(第8题图)) ,(第9题图))9．如图，矩形ABCD被分成四部分，其中△ABE，△ECF，△ADF的面积分别为2，3，4，则△AEF的面积为__7__．10．(2022上海中考)已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．证明：(1)在△ADE与△CDE中，∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE＝∠CDE.∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD，∴∠CDE＝∠CBD，∴BC＝CD.∵AD＝CD，∴BC＝AD，∴四边形ABCD为平行四边形．∵AD＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形；(2)∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC.∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3，∴∠CBE＝180°×＝45°.∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝45°，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形．11．(2022北京中考)数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．(以上材料来源于《古证复原的原理》《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》)请根据该图完成这个推论的证明过程．7\n证明：S矩形NFGD＝S△ADC－(S△ANF＋S△FGC)，S矩形EBMF＝S△ABC－(__S△AEF__＋__S△FCM__)．易知，S△ADC＝S△ABC，__S△ANF__＝__S△AEF__，__S△FGC__＝__S△FMC__．可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF.12．(贵阳中考)如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连结CE，CF.(1)求证：△ABF≌△CBE；(2)判断△CEF的形状，并说明理由．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°.∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，∴BE＝BF，∴∠ABC－∠CBF＝∠EBF－∠CBF，∴∠ABF＝∠CBE.在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE(S.A.S.)；(2)△CEF是直角三角形．理由如下：∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE＝∠FEB＝45°，∴∠AFB＝180°－∠BFE＝135°.又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB＝∠AFB＝135°，∴∠CEF＝∠CEB－∠FEB＝135°－45°＝90°，∴△CEF是直角三角形．13．(2022呼和浩特中考)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，E，F为BD所在直线上的两点，若AE＝，∠EAF＝135°，则下列结论正确的是( C )A．DE＝17\nB．tan∠AFO＝C．AF＝D．四边形AFCE的面积为14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y＝的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为__4__．,(第14题图)) ,(第15题图))15．(2022哈尔滨中考)如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连结AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E.若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为____．16．(2022湖州中考)已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.(1)如图①，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OE＝OG；(2)如图②，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH交CE于点F，交OC于点G.若OE＝OG.①求证：∠ODG＝∠OCE；②当AB＝1时，求HC的长．解(1)如题图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OD＝OC，∴∠DOG＝∠COE＝90°，∴∠OEC＋∠OCE＝90°.∵DF⊥CE，∴∠OEC＋∠ODG＝90°，∴∠ODG＝∠OCE，∴△DOG≌△COE(A.S.A.)，∴OE＝OG；(2)①如题图②中，∵OG＝OE，∠DOG＝∠COE＝90°，OD＝OC，∴△ODG≌△OCE，∴∠ODG＝∠OCE；②设CH＝x.∵四边形ABCD是正方形，AB＝1，∴BH＝1－x，∠DBC＝∠BDC＝∠ACB＝45°.∵EH⊥BC，∴∠BEH＝∠EBH＝45°，7\n∴EH＝BH＝1－x.∵∠ODG＝∠OCE，∴∠BDC－∠ODG＝∠ACB－∠OCE，∴∠HDC＝∠ECH.∵EH⊥BC，∴∠EHC＝∠HCD＝90°，∴△CHE∽△DCH，∴＝，∴HC2＝EH·CD，∴x2＝(1－x)·1，解得x＝或(舍弃)，∴HC＝.17．(2022青岛中考)已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别是边AB，AC，AD的中点，连结CE，CF，OE，OF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．解：(1)∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D.又∵E，F分别是AB，AD中点，∴BE＝DF，∴△BCE≌△DCF(S.A.S.)；(2)当AB⊥BC时，四边形AEOF为正方形．理由如下：∵点E，O分别是AB，AC中点，∴EO∥BC.又∵BC∥AD，∴OE∥AD，即OE∥AF.同理可证OF∥AE，∴四边形AEOF为平行四边形．由(1)可得AE＝AF，∴平行四边形AEOF为菱形．∵BC⊥AB，OE∥BC，∴OE⊥AB，∴∠AEO＝90°，∴菱形AEOF为正方形．18．(2022兰州中考)如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图②，过点D作DG∥BE交BC于点G，连结FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．7\n解：(1)如图①，根据折叠，∠DBC＝∠DBE.又AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠DBE＝∠ADB，∴DF＝BF，∴△BDF是等腰三角形；(2)①四边形BFDG是菱形．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴FD∥BG.又DG∥BE，∴四边形BGDF是平行四边形．又∵DF＝BF，∴四边形BGDF是菱形；②∵AB＝6，AD＝8，∴BD＝10.∴OB＝BD＝5.设DF＝BF＝x，则AF＝AD－DF＝8－x.在Rt△ABF中，AB2＋AF2＝BF2，即62＋(8－x)2＝x2，解得x＝，即BF＝.∴FO＝＝＝，∴FG＝2FO＝.19．(2022怀化中考)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为__10－10__cm.,(第19题图)) ,(第20题图))20．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ(0°＜θ＜90°)，PM，PN分别交AB，BC于E，F两点，连结EF交OB于点G，则下列结论中正确的是__①②③⑤__．①EF＝OE；②S四边形OEBF∶S四边形ABCD＝1∶4；③BE＋BF＝OA；④在旋转过程中，7\n当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝；⑤OG·BD＝AE2＋CF2.7
