第2讲证明四边形【今日目标】1、牢记四边形的有关性质及其判定；2、运用四边形的性质及判定进行有关计算与证明；3、数学思想方法的合理运用。【考点透视】1.平行四边形的性质及判定方法。2.矩形的性质及判定方法。3.菱形的性质及判定方法。4.正方形的性质及判定方法。5.梯形的概念及判定方法。6.梯形问题的转化。【数学思想方法】§Ⅰ梯形的常见辅助线的添加方法：通过添加辅助线，把梯形转化成平行四边形和三角形．（作高、平移腰、延腰、平移对角线、等积变化）§Ⅱ一招制胜——图形分离法【精彩知识】题型一:选择题【例1】如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则阴影部分的面积是（）A．B．2C．3D．★考点感悟：●变式练习：1、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为()A．1B．C．2D．＋12、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点.已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是（）A.8B.9C.10D.123、在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE＋CF的值为（）A．11＋B．11－C．11＋或11－D．11－或1＋题型二:填空题【例2】如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，③AH+CH=DH，④AD2=OD·DH中，正确的结论是．●变式练习：-8-\n1.如图，线段AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA得到△AME．当AB=1时，△AME的面积记为S1；当AB=2时，△AME的面积记为S2；当AB=3时，△AME的面积记为S3；…；当AB=n时，△AME的面积记为Sn．当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1= ．2、如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2=。1题图2题图题型三:计算与证明Ⅰ常规试题【例3】如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．（1）当α=60°时，求CE的长；（2）当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求C点的位置．★考点感悟：Ⅱ新型试题【例4】（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD∶GC∶EB的结果（不必写计算过程）；（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD∶GC∶EB；（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA∶AB＝HA∶AE＝m:n，此时HD∶GC∶EB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．★考点感悟：【例5】如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2α，点E在AD上，点F在DC-8-\n上，且∠BEF=∠A. （1）∠BEF=_____(用含α的代数式表示)； （2）当AB＝AD时，猜想线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜想； （3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB＝mDE，AD＝nDE”，其他条件不变（如图2），求的值（用含m、n的代数式表示）。 ★考点感悟：【例6】如图，在矩形OABC中，AO＝10，AB＝8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC、OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．★考点感悟：-8-\n【课后测试】1、如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）A.130°B.120°C.110°D.100°2、如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠C＝90°，AD＝5，BC＝9，以A为中心将腰AB顺时针旋转90°至AE，连接DE，则△ADE的面积等于（）A．10B．11C．12D．133、如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．（1）求证：△BDG∽△DEG；（2）若EG•BG=4，求BE的长．4、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD＝2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，对角线BD于F．点G为BC中点，连结EG、AF．(1)求EG的长；(2)求证：CF＝AB＋AF．5、如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=23，AC，BD相交于点O．（1）求边AB的长；（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE＞CE），求CG的长．-8-\n部分答案与提示：【例1】如图，设BF、CE相交于点M，∵菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∴△BCM∽△BGF，∴，即。解得CM=1.2。∴DM=2﹣1.2=0.8。∵∠A=120°，∴∠ABC=180°﹣120°=60°。∴菱形ABCD边CD上的高为2sin60°=2×，菱形ECGF边CE上的高为3sin60°=3×。∴阴影部分面积=S△BDM+S△DFM=×0.8×+×0.8×。故选A。【例3】解：（1）∵α=60°，BC=10，∴sinα=，即sin60°=，解得CE=。（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF。理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，∵F为AD的中点，∴AF=FD。在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF。在△AFG和△CFD中，∵∠G=∠DCF，∠G=∠DCF，AF=FD，∴△AFG≌△CFD（AAS）。∴CF=GF，AG=CD。∵CE⊥AB，∴EF=GF。∴∠AEF=∠G。∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，∴AG=5，AF=AD=BC=5。∴AG=AF。∴∠AFG=∠G。在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，又∵∠CFD=∠AFG，∴∠CFD=∠AEF。∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF。②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x，在Rt△BCE中，CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2。在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10﹣x）2+100﹣x2=200﹣20x。∵CF=GF（①中已证），∴CF2=（CG）2=CG2=（200﹣20x）=50﹣5x。∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣（x﹣）2+50+。∴当x=，即点E是AB的中点时，CE2﹣CF2取最大值。【例4】解：（1）HD:GC:EB＝１::1。（2）连接AG、AC，∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，∴AD:AC＝AH:AG＝１:，∠DAC=∠HAG=45°。∴∠DAH=∠CAG。∴△DAH∽△CAG。∴HD:GC＝AD:AC＝１:。∵∠DAB=∠HAE=90°，∴∠DAH=∠BAE。又∵AD＝AB，AH＝AE，∴△DAH≌△BAE（SAS）。∴HD=EB。∴HD:GC:EB＝１::1。（3）有变化，HD:GC:EB＝。【考点】正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）连接AG，∵正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，∴∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD。∴A，G，C共线，AB－AE=AD－AH，∴HD=BE。∵∴GC=AC－AG=AB－AE=（AB－AE）=BE。-8-\n∴HD：GC：EB=1：：1。（2）连接AG、AC，由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，易证得△DAH∽△CAG与△DAH≌△BAE，利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质，即可求得HD：GC：EB的值。（3）连接AG、AC，∵矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上，DA：AB=HA：AE=m：n，∴∠ADC=∠AHG=90°，∴△ADC∽△AHG。∴AD：AC=AH：AG=，∠DAC=∠HAG。∴∠DAH=∠CAG。∴△DAH∽△CAG。∴HD：GC=AD：AC=。∵∠DAB=∠HAE=90°，∴∠DAH=∠BAE。∵DA：AB=HA：AE=m：n，∴△ADH∽△ABE。∴DH：BE=AD：AB=m：n。∴HD：GC：EB=。【例5】解：（1）180°－2α。（2）EB=EF。证明如下：连接BD交EF于点O，连接BF。∵AD∥BC，∴∠A=180°-∠ABC=180°－2α，∠ADC=180°－∠C=180°-α。∵AB=AD，∴∠ADB=（180°－∠A）=α。∴∠BDC=∠ADC－∠ADB=180°－2α。由（1）得：∠BEF=180°－2α=∠BDC。又∵∠EOB=∠DOF，∴△EOB∽△DOF。∴，即。∵∠EOD=∠BOF，∴△EOD∽△BOF。∴∠EFB=∠EDO=α。∴∠EBF=180°－∠BEF－∠EFB=α=∠EFB。∴EB=EF。（3）延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，则∠G=∠AEG=。∵AD∥BC，∴∠EDF=∠C=α，∠GBC=∠A，∠DEB=∠EBC。∴∠EDF=∠G。∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠GBC。∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，即∠EBG=∠FED。∴△DEF∽△GBE。∴。∵AB=mDE，AD=nDE，∴AG=AE=（n+1）DE。∴BG=AG－AB=（n+1）DE－mDE=（n+1－m）DE。∴。【考点】梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。【分析】（1）由梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，根据平行线的性质，易求得∠A的度数，又由∠BEF=∠A，即可求得∠BEF的度数：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°。∴∠A=180°－∠ABC=180°－2α。又∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠A=180°－2α。（2）连接BD交EF于点O，连接BF，由AB=AD，易证得△EOB∽△DOF，根据相似三角形的对应边成比例，可得，从而可证得△EOD∽△BOF，又由相似三角形的对应角相等，易得∠EBF=∠EFB=α，即可得EB=EF。（3）延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，易证得△DEF∽△GBE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得的值。解析：延长DF,BA交于G，可证△CEM≌△CFM,△CDF≌△BGF,通过线段的简单运算，即可求得。【例6】【解析】（1）根据折叠前后的相等线段，先在Rt△OEC中求出OE长，再在Rt△ADE中运用勾股定理构建方程求AD．然后将O，D，C三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c求出a，b，c即可．（2）分别用含ｔ的代数式表示CQ和CP的长，再利用相似三角形产生的相似比构建含t的方程，解之即得．（3）从两定点C，E形成的边CE为平行四边形的边和对角线两个角度分析求解．-8-\n【答案】解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB＝∠AOC＝∠B＝90°，AB＝CO＝8，AO＝BC＝10．由题意得，△BDC≌△EDC．∴∠B＝∠DEC＝90°，EC＝BC＝10，ED＝BD．由勾股定理易得EO＝6．∴AE＝10－6＝4．设AD＝x，则BD＝DE＝8－x，由勾股定理，得x2＋42＝(8－x)2．解之得，x＝3，∴AD＝3．∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点O（0，0），∴c＝0．∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点D(3，10)，C(8，0)，∴解之得∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋x．（2）∵∠DEA＋∠OEC＝90°，∠OCE＋∠OEC＝90°，∴∠DEA＝∠OCE．由（1）可得AD＝3，AE＝4，DE＝5．而CQ＝t，EP＝2t，PC＝10－2t．当∠PQC＝∠DAE＝90°时，△ADE∽△QPC，∴＝，即＝，解得t＝．当∠QPC＝∠DAE＝90°时，△ADE∽△PQC，∴＝，即＝，解得t＝．∴当t＝或时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似．（3）存在．M1（－4，－32），N1（4，－38）．M2（12，－32），N2（4，－26）．M3（4，），N3（4，－）．5、解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴△AOB为直角三角形，且OA=AC=1，OB=BD=3。在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=。
（2）①△AEF是等边三角形。理由如下：∵由（1）知，菱形边长为2，AC=2，∴△ABC与△ACD均为等边三角形。∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°。又∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，∴∠BAE=∠CAF。在△ABE与△ACF中，∵∠BAE=∠CAF，AB=AC=2，∠EBA=∠FCA=60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴AE=AF。∴△AEF是等腰三角形。又∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形。②BC=2，E为四等分点，且BE＞CE，∴CE=，BE=。由①知△ABE≌△ACF，∴CF=BE=。∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°（三角形内角和定理），∠AEG=∠FCG=60°（等边三角形内角），∠EGA=∠CGF（对顶角），∴∠EAC=∠GFC。在△CAE与△CFG中，∵∠EAC=∠GFC，∠ACE=∠FCG=60°，∴△CAE∽△CFG。∴，即。解得：CG=。【考点】旋转的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）根据菱形的性质，确定△AOB为直角三角形，然后利用勾股定理求出边AB的长度。-8-\n（2）①确定一对全等三角形△ABE≌△ACF，得到AE=AF，再根据已知条件∠EAF=60°，可以判定△AEF是等边三角形。②确定一对相似三角形△CAE∽△CFG，由对应边的比例关系求出CG的长度。-8-
