第12讲圆心角与圆周角【今日目标】1、牢记圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理（即四量定理）、圆周角定理及其推论；2、熟练运用四量定理、圆周角定理进行圆的有关计算与推理。【知识点击】1、圆的旋转不变性：把圆绕着圆心旋转角度，都与原来的图形重合，我们把这种性质称为圆的。则圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。2、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（即四量定理）：在中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个、、或中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．3、圆心角度数定理：圆心角的度数和它所对的弧的度数。4、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。5、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。【典例精析】考点1、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理与圆周角定理的基本理解【例1】1、下列说法：①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；②同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等；③等弧所对的圆周角相等；④圆心角相等，所对的弦相等，其中正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O的半径为。3、如图，在圆O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：圆O半径为，tan∠ABC＝，则CQ的最大值是。●变式训练：1、已知和是同圆中的两条弧，且,那么弦CD与2AB的大小关系为。2、.如图，AB为⊙O的直径，点P为其半圆上一动点（不与A，B重合），点Q为另一半圆上一定点，若∠POA=x°，∠PQB=y°，则y与x的函数关系是。3、如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为。4、如图，弧BE是半径为6的⊙D的圆周，C点是弧BE上的任意一点，△ABD是等边三角形,则四边形ABCD的周长P的取值范围是.2小题图3小题图4小题图5、在⊙O中，BC是弦，∠OCB＝40°，A是圆上的一动点（点A不与B、C重合），则∠A的度数等于。6、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为．考点2、运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理与圆周角定理进行有关计算与证明【例2】如图⊙O中两条相等的弦AB、CD分别延长到E、F，使BE=DF．(1)求证：EF的垂直平分线必过圆心．(2)若AB与CD在⊙O内相交于P，同样延长AB、CD，使BE=DF，那么是否还有(1)中相同的结论，请说明理由(如图2)．图1图2【例3】如图，AB是⊙O的弦，CP为⊙O的直径，且P为弧AB的中点，过点C任作一弦CF交AB于点E。-5-\n（1）求证：；（2）连结BP，若BD:CD=2:3，求sin∠BPD的值。【例4】如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF:FD=4:3．（1）求证：点F是AD的中点；（2）求cos∠AED的值；（3）如果BD=10，求半径CD的长．●变式训练：1、如图：⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，BD交AC于E，⑴求证：CD是DE和DB的比例中项；⑵当CD，O到AC的距离为1时，求⊙O的半径。2、已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧AD上到一点E，使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H．（1）求证：AC⊥BH；（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长．【例5】如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四等分点，⊙O的半径为4cm,以AB为边在四边形ABCD内作等边△ABQ,P是四边形ABCD的对角线AC上一动点，求PD+PQ的最小值。●变式训练：如图，已知⊙O的半径为R,CD是直径AB同侧圆周上的两点弧AC的度数为96o,弧BD的度数为36o,P是直径AB上的一动点，则PC+PD的最小值为。（用含R的式子表示）【思维拓展】【例6】正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点。-5-\n（1）如图①，当点E在弧AB上时，求证：DE－BE=AE；（2）如图②，当点E在弧AD上时，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由。图①●变式训练：图②如图，在中，是的中点，以为直径的⊙O交的三边，交点分别是点．的交点为，且，．（1）求证：；（2）求的⊙O直径的长；（3）若，以为坐标原点，所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，求直线的函数表达式．【例6】如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，经过A、B、C三点的圆的圆心恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为，设⊙M与轴交于D，抛物线的顶点为E。⑴求的值以及抛物线的解析式；⑵设∠DBC，∠CBE，求的值；⑶探究：坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由。【众里寻她】1．下面命题中，正确的命题个数为（）(1)顶点在圆周上的角是圆周角．(2)圆周角的度数等于圆心角度数的一半．-5-\n(3)90°的圆周角所对的弦是直径．(4)圆周角相等，则它们所对的弧也相等．A．1个B．2个C．3个D．4个2、如图1，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ） A．2B．8C．2D．23、如图2，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC= ．图1图2图34、如图3，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB分别交OC于点E，交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：①S△AEC=2S△DEO；②AC=2CD；③线段OD是DE与DA的比例中项；④．其中正确结论的序号是 ．5、如图5，A、B、C是⊙O上的三点，以BC为一边，作∠CBD=∠ABC，过BC上一点P，作PE∥AB交BD于点E．若∠AOC=60°，BE=3，则点P到弦AB的距离为。6、如图，在已知⊙O中弧AB=弧AC,P是弧AB上的一点，且∠APC=60°。（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若BC=4cm，求⊙O的面积。7、如图，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D是⊙O上一点，DE⊥AB于点E，且DE的延长线分别交AC、⊙O、BC的延长线于F、M、G．（1）求证：AE·BE=EF·EG；（2）连接BD，若BD⊥BC，且EF=MF=2，求AE和MG的长．8、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P.求证：（1）D是BC的中点；（2）△BEC∽△ADC；（3）AB×CE=2DP×AD．9、如图，在⊙O的内接△ABC中，AB+AC=12,AD⊥BC,垂足为D,且AD=3，设⊙O的半径为y，AB的长为x。（1）求y与x的关系式；（2）当AB的长等于多少时，⊙O的面积最大？最大面积是多少？-5-\n-5-
