2022年吉林省白城市镇赉县胜利中学中考数学三模试卷 一、选择题1．（4分）（2022•泉州）﹣7的相反数是（ ） A．﹣7B．7C．﹣D．考点：相反数．分析：据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可．解答：解：根据概念，（﹣7的相反数）+（﹣7）=0，则﹣7的相反数是7．故选B．点评：本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0． 2．（4分）（2022•泉州）（a2）4等于（ ） A．2a4B．4a2C．a8D．a6考点：幂的乘方与积的乘方．分析：根据幂的乘方的性质：（am）n=amn（m，n是正整数），即可求得答案．解答：解：（a2）4=a8．故选C．点评：此题考查了幂的乘方．此题比较简单，注意幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． 3．（4分）（2022•泉州）把不等式x+1≥0的解集在数轴上表示出来，则正确的是（ ） A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．专题：探究型．分析：先求出不等式的解集，在数轴上表示出来即可．解答：解：移项得，x≥﹣1，故此不等式的解集为：x≥﹣1，在数轴上表示为：故选B．点评：本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键． 4．（4分）（2022•孝感）我市5月份某一周每天的最高气温统计如下表．则这组数据（最高气温）的众数与中位数分别是（ ）
最高气温（℃）28293031天数1132 A．29，30B．30，29C．30，30D．30，3117\n考点：众数；中位数．专题：图表型．分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．解答：解：图表中的数据按从小到大排列，数据30出现了三次最多为众数；30处在第4位为中位数．所以本题这组数据的中位数是4，众数是30．故选C．点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 5．（4分）（2022•襄阳）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为20cm，则贴纸部分的面积为（ ） A．100πcm2B．πcm2C．800πcm2D．πcm2考点：扇形面积的计算．专题：压轴题．分析：贴纸部分的面积可看作是扇形BAC的面积减去扇形DAE的面积．解答：解：S=S扇形BAC﹣S扇形DAE=﹣=cm2，故选D．点评：求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求． 6．（4分）（2022•徐州）如果反比例函数y=的图象如图所示，那么二次函数y=kx2﹣k2x﹣1的图象大致为（ ）17\n A．B．C．D．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．专题：压轴题．分析：根据反比例函数图象得出k的符号，再利用k的符号判断抛物线的开口方向，对称轴，选择正确答案．解答：解：根据反比例函数图象可知k＞0，由y=kx2﹣k2x﹣1，配方得y=k（x﹣）2﹣1，开口向上，且对称轴x=＞0，在y轴右侧．故选B．点评：本题考查反比例函数的图象特点和二次函数的图象与性质 二、填空题7．（3分）青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为2500000平方千米．将它的面积用科学记数法表示应为 2.5×106 平方千米．考点：科学记数法—表示较大的数．专题：应用题．分析：把一个大于10的数写成科学记数法a×10n的形式时，将小数点放到左边第一个不为0的数位后作为a，把整数位数减1作为n，从而确定它的科学记数法形式．解答：解：2500000=2.5×106平方千米．点评：将一个绝对值较大的数写成科学记数法a×10n的形式时，其中1≤|a|＜10，n为比整数位数少1的数． 8．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据（单位：cm）可求得这个几何体的体积为 6 cm3．考点：由三视图判断几何体．17\n分析：根据三视图我们可以得出这个几何体应该是个长方体，它的体积应该是2×1×3=6cm3．解答：解：该几何体的主视图以及左视图都是相同的矩形，俯视图也为一个矩形，可确定这个几何体是一个长方体，依题意可求出该几何体的体积为2×1×3=6cm3．点评：本题要先判断出几何体的形状，然后根据其体积公式进行计算即可． 9．（3分）（2022•辽宁）函数中，自变量x的取值范围是 x≠2 ．考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．专题：计算题；压轴题．分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0；解答：解：根据题意得2x﹣4≠0，解得x≠2；∴自变量x的取值范围是x≠2．点评：当函数表达式是分式时，分式要有意义，则考虑分式的分母不能为0． 10．（3分）（2022•泸州）已知，如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，如果∠B=20°，∠D=40°，那么∠BOD为 60 度．考点：三角形的外角性质；平行线的性质．专题：计算题．分析：由两直线平行可知∠B=∠C=20°，由外角定义可知∠BOD=∠C+∠D=60°．解答：解：∵AB∥CD，∠B=20°，∴∠C=∠B=20°，又∵∠BOD=∠D+∠C，且∠D=40°，∴∠BOD=60°．点评：此小题考查两直线平行的性质及外角的定义．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和． 11．（3分）（2022•江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= 120 度．考点：菱形的性质．专题：应用题．分析：由题意可得AB与菱形的两邻边组成等边三角形，从而不难求得∠1的度数．解答：解：由题意可得AB与菱形的两邻边组成等边三角形，则∠1=120°．17\n故答案为120．点评：此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定． 12．（3分）（2022•苏州）如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，A点坐标为（2，﹣1），则△ABC的面积为 5 平方单位．考点：三角形的面积；坐标与图形性质．专题：压轴题；网格型．分析：根据图形，则△ABC的面积为矩形的面积减去3个直角三角形的面积．解答：解：S△ABC=3×4﹣（1×3+1×3+2×4）÷2=12﹣7=5．点评：此类题要能够把不规则图形的面积转化为规则图形的面积． 13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B（﹣6，﹣2）和D（3，4）在反比例函数的图象上，则矩形ABCD的面积为 54 ．考点：反比例函数系数k的几何意义．分析：根据图形求出矩形ABCD的长与宽，再根据矩形的面积求解即可．解答：解：由图可知，AD∥BC∥x轴，AB∥DC∥y轴，∵B（﹣6，﹣2），D（3，4），∴BC=3﹣（﹣6）=9，AB=4﹣（﹣2）=6，∴矩形ABCD的面积=9×6=54．故答案为54．点评：本题考查了反比例函数的图象性质，矩形的性质，比较简单．正确求出矩形ABCD的长与宽是解题的关键． 14．（3分）（2022•无锡）如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C、D的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A、B、C、D、E、F中，会过点（45，2）的是点 B ．17\n考点：正多边形和圆；坐标与图形性质；旋转的性质．专题：压轴题；规律型．分析：先连接A′D，过点F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，由正六边形的性质得出A′的坐标，再根据每6个单位长度正好等于正六边形滚动一周即可得出结论．解答：解：如图所示：当滚动到A′D⊥x轴时，E、F、A的对应点分别是E′、F′、A′，连接A′D，点F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠A′F′G=30°，∴A′G=A′F′=，同理可得HD=，∴A′D=2，∵D（2，0）∴A′（2，2），OD=2，∵正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周，∴从点（2，2）开始到点（45，2）正好滚动43个单位长度，∵=7…1，∴恰好滚动7周多一个，∴会过点（45，2）的是点B．故答案为：B．点评：本题考查的是正多边形和圆及图形旋转的性质，根据题意作出辅助线，利用正六边形的性质求出A′点的坐标是解答此题的关键． 三、计算题15．（6分）（2022•泰州）先化简，再求值：（）÷，其中x=，y=．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：先去括号，把除法转换为乘法把分式化简，再把数代入求值．解答：解：原式=÷（4分）=×（5分）17\n=；（7分）当y=时，原式===．（9分）点评：分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算． 16．（6分）（2022•吉林）在课间活动中，小英、小丽和小华在操场上画出A、B两个区域，一起玩投沙包游戏，沙包落在A区域所得分值与落在B区域所得分值不同，当每人各投沙包四次时，其落点和四次总分如图所示，请求出小华的四次总分．考点：二元一次方程组的应用．专题：应用题．分析：设沙包落在A区域得x分，落在B区域得y分，根据“小英的总分34分”“小丽的总分是32分”作为相等关系列方程组先求得A区，B区的得分，再计算小华的总分．解答：解：设沙包落在A区域得x分，落在B区域得y分，根据题意，得解得∴x+3y=9+3×7=30分答：小华的四次总分为30分．点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 17．（6分）（2022•德城区）如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用二种方法分别在下图方格内添涂黑二个小正方形，使它们成为轴对称图形．考点：利用轴对称设计图案．专题：网格型．分析：作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质．基本作法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．解答：解：如图所示：17\n点评：解答此题要明确轴对称的性质，并据此构造出轴对称图形，然后将对称部分涂黑，即为所求． 18．（6分）（2022•陕西）某校为了满足学生借阅图书的需求，计划购买一批新书．为此，该校图书管理员对一周内本校学生从图书馆借出各类图书的数量进行了统计．结果如图：请你根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图和扇形统计图；（2）该校学生最喜欢借阅哪类图书？（3）该校计划购买新书共600本，若按扇形统计图中的百分比来相应的确定漫画、科普、文学、其它这四类图书的购买量，求应购买这四类图书各多少本？考点：条形统计图；扇形统计图．专题：压轴题；图表型．分析：（1）根据借出的文学类的本数除以所占的百分比求出借出的总本数，然后求出其它类的本数，再用总本数减去另外三类的本数即可求出漫画书的本数；根据百分比的求解方法列式计算即可求出科普类与漫画类所占的百分比；（2）根据扇形统计图可以一目了然进行的判断；（3）用总本数600乘以各部分所占的百分比，进行计算即可得解．解答：解：（1）借出图书的总本数为：40÷10%=400本，其它类：400×15%=60本，漫画类：400﹣140﹣40﹣60=160本，科普类所占百分比：×100%=35%，漫画类所占百分比：×100%=40%，补全图形如图所示；（2分）（2）该校学生最喜欢借阅漫画类图书．（3分）（3）漫画类：600×40%=240（本），科普类：600×35%=210（本），文学类：600×10%=60（本），其它类：600×15%=90（本）．…（7分）17\n点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 四、解答题19．（6分）（2022•苏州）在3×3的方格纸中，点A、B、C、D、E、F分别位于如图所示的小正方形的顶点上．（1）从A、D、E、F四个点中任意取一点，以所取的这一点及点B、C为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是 ；（2）从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率是 （用树状图或列表法求解）．考点：列表法与树状图法；等腰三角形的判定；平行四边形的判定．分析：（1）根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，即可得出答案；（2）利用树状图得出从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，一共有12种可能，进而得出以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，即可求出概率．解答：解：（1）根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，故P（所画三角形是等腰三角形）=；（2）用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果：∵以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，∴所画的四边形是平行四边形的概率P==．17\n故答案为：（1），（2）．点评：此题主要考查了利用树状图求概率，根据已知正确列举出所有结果，进而得出概率是解题关键． 20．（6分）（2022•四川）如图，P是⊙O的半径OA上的一点，D在⊙O上，且PD=PO．过点D作⊙O的切线交OA的延长线于点C，延长交⊙O于K，连接KO，OD．（1）证明：PC=PD；（2）若该圆半径为5，CD∥KO，请求出OC的长．考点：切线的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的性质；勾股定理．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：根据角与角之间的关系，利用等角对等边即可得到PC=PD，利用ASA判定△CPD≌△OPK，从而得到CD=OK，再根据勾股定理即可求得OC的值．解答：（1）证明：如图，∵PD=PO，∴∠1=∠2；∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OD．（2分）∴∠3+∠1=90°；又∵∠CDP+∠2=90°，∴∠3=∠CDP．（3分）∴PC=PD．（4分）（2）解：∵CD∥KO，有∠3=∠POK，由（1）得，CP=PD=PO，又∠CPD=∠KPO，∴△CPD≌△OPK∴CD=OK=5；在Rt△COD中，OC=．（8分）点评：此题考查了切线的性质，全等三角形的判定，勾股定理待知识点的综合运用． 五、解答题21．（10分）（2022•无锡）已知一个三角形的两条边长分别是1cm和2cm，一个内角为40度．17\n（1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图1的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由；（3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有几个．友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．考点：作图—复杂作图．分析：（1）作一个角等于已知角40°，然后在角的两边上分别以顶点截取1cm和2cm的线段，连接即可得到符合条件的三角形；（2）能，可在40°角的一边上以顶点截取1cm的线段，然后以1cm线段的另一个端点为圆心，2cm长为半径作弧，与40°角的另一边交于一点，所得三角形也符合条件；（3）a=3，b=4，∠C=40°，a=3，∠B=40°b=4，a=3，b=4，∠A=40°有2解，先画一条直线，确定一点A作40°，取4cm，得到C，以C为圆心，3为半径，交直线上有2点，B和B1，符合条件三角形有2个△ABC和△AB1C．（有4个）解答：解：如图所示：（1）如图1；作40°的角，在角的两边上截取OA=2cm，OB=1cm；（3分）（2）如图2；连接AB，即可得到符合题意的△ABC．（6分）（3）如图3，满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有4个：a=3，b=4，∠C=40°，a=3，∠B=40°b=4，a=3，b=4，∠A=40°有2解，先画一条直线，确定一点A作40°，取4cm，得到C，以C为圆心，3为半径，交直线上有2点，B和B1，符合条件三角形有2个△ABC和△AB1C．（8分）点评：本题是一道开放探索题．不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想． 22．（10分）（2022•广元）我市在城市建设中，要折除旧烟囱AB（如图所示），在烟囱正西方向的楼CD的顶端C，测得烟囱的顶端A的仰角为45°，底端B的俯角为30°，已量得DB=21m．（1）在原图上画出点C望点A的仰角和点C望点B的俯角，并分别标出仰角和俯角的大小；（2）拆除时若让烟囱向正东倒下，试问：距离烟囱正东35m远的一棵大树是否被歪倒的烟囱砸着？请说明理由．（≈1.732）17\n考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．专题：应用题；压轴题．分析：（1）向上的视线与水平线的夹角为仰角；向下的视线与水平线的夹角为俯角．（2）过点C作CG⊥AB于点G．把求AB的问题转化求AG与BG的长，从而可以在△ACG和△BCG中利用三角函数求解．解答：解：（1）如图所示．（3分）（2）这棵大树不会被歪倒的烟囱砸着．（4分）∵在RT△AGC中，∠ACG=45°．∴AG=CG=DB=21（m）．（5分）在Rt△BCG中，BG=CG×tan30°=DB×tan30°=21×=7．（m）∴烟囱的高度AB=21+7≈33.124（m）．（8分）∵33.124m＜35m．∴这棵大树不会被歪倒的烟囱砸着．（9分）点评：解决一般三角形的问题，可以转化为直角三角形的问题，转化的方法是作高线． 六、解答题23．（10分）（2022•兰州）如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．考点：菱形的判定；平行四边形的判定与性质；旋转的性质．专题：综合题．分析：17\n（1）当旋转角为90°时，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF为平行四边形；（2）证明△AOF≌△COE即可；（3）EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，可根据勾股定理求得AC=2，∴OA=1=AB，又AB⊥AC，∴∠AOB=45°．解答：（1）证明：当∠AOF=90°时，AB∥EF，又∵AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形．（3分）（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，在△AOF和△COE中∵．∴△AOF≌△COE（ASA）．∴AF=EC．（4分）（3）解：四边形BEDF可以是菱形．（5分）理由：如图，连接BF，DE由（2）知△AOF≌△COE，得OE=OF，∴EF与BD互相平分．∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．（6分）在Rt△ABC中，AC===2，∴OA=1=AB，又∵AB⊥AC，∴∠AOB=45°，（7分）∴∠AOF=45°，∴AC绕点O顺时针旋转45°时，四边形BEDF为菱形．（9分）点评：此题结合旋转的性质，主要考查平行四边形和菱形的判定，有一定难度． 24．（12分）（2022•吉林）如图1，A，B，C为三个超市，在A通往C的道路（粗实线部分）上有一D点，D与B有道路（细实线部分）相通．A与D，D与C，D与B之间的路程分别为25km，10km，5km．现计划在A通往C的道路上建一个配货中心H，每天有一辆货车只为这三个超市送货．该货车每天从H出发，单独为A送货1次，为B送货1次，为C送货2次．货车每次仅能给一家超市送货，每次送货后均返回配货中心H，设H到A的路程为xkm，这辆货车每天行驶的路程为ykm．（1）用含的代数式填空：当0≤x≤25时，货车从H到A往返1次的路程为2xkm，17\n货车从H到B往返1次的路程为 （60﹣2x） km，货车从H到C往返2次的路程为 （140﹣4x） km，这辆货车每天行驶的路程y= ﹣4x+200 ．当25＜x≤35时，这辆货车每天行驶的路程y= 100 ；（2）请在图2中画出y与x（0≤x≤35）的函数图象；（3）配货中心H建在哪段，这辆货车每天行驶的路程最短？考点：一次函数的应用．专题：压轴题．分析：（1）根据当0≤x≤25时，结合图象分别得出货车从H到A，B，C的距离，进而得出y与x的函数关系，再利用当25＜x≤35时，分别得出从H到A，B，C的距离，即可得出y=100；（2）利用（1）中所求得出，利用x的取值范围，得出y与x的函数图象以及直线y=100的图象；（3）结合图象即可得出辆货车每天行驶的路程最短时所在位置．解答：解：（1）∵当0≤x≤25时，货车从H到A往返1次的路程为2x，货车从H到B往返1次的路程为：2（5+25﹣x）=60﹣2x，货车从H到C往返2次的路程为：4（25﹣x+10）=140﹣4x，这辆货车每天行驶的路程为：y=60﹣2x+2x+140﹣4x=﹣4x+200．当25＜x≤35时，货车从H到A往返1次的路程为2x，货车从H到B往返1次的路程为：2（5+x﹣25）=2x﹣40，货车从H到C往返2次的路程为：4[10﹣（x﹣25）]=140﹣4x，故这辆货车每天行驶的路程为：y=2x+2x﹣40+140﹣4x=100；故答案为：（60﹣2x），（140﹣4x），﹣4x+200，100；（2）根据当0≤x≤25时，y=﹣4x+200，x=0，y=200，x=25，y=100，当25＜x≤35时，y=100；如图所示：（3）根据（2）图象可得：当25≤x≤35时，y恒等于100km，此时y的值最小，得出配货中心H建CD段，这辆货车每天行驶的路程最短为100km．点评：此题主要考查了一次函数的应用以及画函数图象和列代数式，利用已知分别表示出从H到A，B，C距离是解题关键． 七、解答题25．（12分）某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历从亏损到盈利的过程，如下图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润y（万元）与销售时间x（月）之间的关系（即前x个月的利润之和y与x之间的关系）．（1）根据图上信息，求累积利润y（万元）与销售时间x（月）的函数关系式；17\n（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元？（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？考点：二次函数的应用．分析：（1）本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题，应根据图象以及题目中所给的信息来列出y与x之间的函数关系式；（2）把y=30代入累计利润y=x2﹣2x的函数关系式里，求得月份；（3）分别把x=7，x=8，代入函数解析=x2﹣2x，再把总利润相减就可得出．解答：解：（1）由图象可知其顶点坐标为（2，﹣2），故可设其函数关系式为：y=a（x﹣2）2﹣2．∵所求函数关系式的图象过（0，0），于是得：a（0﹣2）2﹣2=0，解得a=．∴所求函数关系式为：y=（x﹣2）2﹣2，即y=x2﹣2x．答：累积利润y与时间x之间的函数关系式为：y=x2﹣2x；（2）把y=30代入y=（x﹣2）2﹣2，得（x﹣2）2﹣2=30．解得x1=10，x2=﹣6（舍去）．答：截止到10月末公司累积利润可达30万元．（3）把x=7代入关系式，得y=×72﹣2×7=10.5，把x=8代入关系式，得y=×82﹣2×8=16，16﹣10.5=5.5，答：第8个月公司所获利是5.5万元．点评：此题主要考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，尤其是对本题图象中所给的信息是解决问题的关键．17\n 26．（12分）（2022•重庆）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）已知三点，可用待定系数法求出二次函数解析式；（2）关键在于正确作出旋转后的图形，结合几何知识，利用数形结合的思想求解；（3）应当明确△PCG构成等腰三角形有三种情况，逐一讨论求解，要求思维的完备性．解答：解：（1）由已知，得C（3，0），D（2，2），∵∠ADE=90°﹣∠CDB=∠BCD，∴AD=BC．AD=2．∴E（0，1）．（1分）设过点E、D、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．将点E的坐标代入，得c=1．将c=1和点D、C的坐标分别代入，得（2分）解这个方程组，得故抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1；（3分）（2）EF=2GO成立．（4分）∵点M在该抛物线上，且它的横坐标为，∴点M的纵坐标为．（5分）设DM的解析式为y=kx+b1（k≠0），将点D、M的坐标分别代入，17\n得，解得∴DM的解析式为y=﹣x+3．（6分）∴F（0，3），EF=2．（7分）过点D作DK⊥OC于点K，则DA=DK．∵∠ADK=∠FDG=90°，∴∠FDA=∠GDK．又∵∠FAD=∠GKD=90°，∴△DAF≌△DKG．∴KG=AF=1．∵OC=3，∴GO=1．（8分）∴EF=2GO；（3）∵点P在AB上，G（1，0），C（3，0），则设P（t，2）．∴PG2=（t﹣1）2+22，PC2=（3﹣t）2+22，GC=2．①PG=PC，则（t﹣1）2+22=（3﹣t）2+22，解得t=2．∴P（2，2），此时点Q与点P重合，∴Q（2，2）．（9分）②若PG=GC，则（t﹣1）2+22=22，解得t=1，∴P（1，2），此时GP⊥x轴．GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1，∴点Q的纵坐标为，∴Q（1，）．（10分）③若PC=GC，则（3﹣t）2+22=22，解得t=3，∴P（3，2），此时PC=GC=2，△PCG是等腰直角三角形．过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH=GH，设QH=h，∴Q（h+1，h）．∴（h+1）2+（h+1）+1=h．解得h1=，h2=﹣2（舍去）．∴Q（，）．（12分）综上所述，存在三个满足条件的点Q，即Q（2，2）或Q（1，）或Q（，）．17\n点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、三角形全等、探究等腰三角形的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法． 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