课时训练(二十) 直角三角形与勾股定理|夯实基础|1.若△ABC的三边a,b,c满足(a+b)2-c2=2ab,则此三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2.如图20-7,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AC的长为0.5km,BC的长为1.2km,则M,C两点间的距离为( )图20-7A.0.5kmB.0.65km C.0.9kmD.1.2km3.如图20-8,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长是( )图20-8A.6B.5C.4D.34.[2022·青岛]如图20-9,已知三角形纸片ABC,AB=AC,∠BAC=90°,E为AB的中点.沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,折痕EF交BC于点F.已知EF=32,则BC的长是( )12\n图20-9A.322B.32C.3D.335.[2022·泸州]“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图20-10所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( )图20-10A.9B.6C.4D.36.[2022·黄石]如图20-11,在△ABC中,E为BC边的中点,CD⊥AB,AB=2,AC=1,DE=32,则∠CDE+∠ACD等于( )图20-11A.60°B.75°C.90°D.105°7.[2022·大连]如图20-12,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,E是AB的中点,CD=DE=a,则AB的长为( )图20-1212\nA.2aB.22aC.3aD.433a8.[2022·包头]如图20-13,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为( )图20-13A.32B.43C.53D.859.如图20-14,将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定的角度得到Rt△ADE,点B的对应点D恰好落在BC边上.若AC=3,∠B=60°,则CD的长为( )图20-14A.0.5B.1.5C.2D.110.[2022·安顺]三角形三边长分别为3,4,5,那么最长边上的中线长等于 . 11.已知直角三角形的两条直角边长为6,8,那么斜边上的中线长是 ,斜边上的高是 . 12.在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=12,AC=6,则BC= . 13.如图20-15,在△ABC中,CD⊥AB于点D,E是AC的中点.若AD=6,DE=5,则CD的长等于 . 12\n图20-1514.如图20-16,已知Rt△ABE中,∠A=90°,∠B=60°,BE=10,D是线段AE上的一动点,过点D作CD交BE于点C,并使得∠CDE=30°,则CD长度的取值范围是 . 图20-1615.[2022·徐州]如图20-17,已知OB=1,以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO,再以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O,…,如此下去,则线段OAn的长度为 . 图20-1716.[2022·包头]如图20-18,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB上的一个动点(不与点A,B重合),连接CD,将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE,连接DE,DE与AC相交于点F,连接AE.下列结论:图20-18①△ACE≌△BCD;②若∠BCD=25°,则∠AED=65°;③DE2=2FC·AC;12\n④若AB=32,AD=2BD,则AF=53.其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号) 17.[2022·柳州]如图20-19,在△ABC中,D为AC边的中点,且DB⊥BC,BC=4,CD=5.(1)求DB的长;(2)在△ABC中,求BC边上的高.图20-1918.[2022·徐州]如图20-20,已知AC⊥BC,垂足为C,AC=4,BC=33,将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AD,连接DC,DB.(1)线段DC= ; (2)求线段DB的长.图20-2012\n|拓展提升|19.如果将长为6cm,宽为5cm的长方形纸片折叠一次,那么这条折痕的长不可能是( )A.8cmB.52cmC.5.5cmD.1cm20.[2022·淄博]如图20-21,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,∠BAC,∠ACB的平分线相交于点E,过点E作EF∥BC交AC于点F,则EF的长为( )图20-2112\nA.52B.83C.103D.15421.[2022·青山区一模]如图20-22,△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB'C'.若∠BAC=90°,AB=AC=2,则图中阴影部分的面积等于 . 图20-2222.[2022·青山区二模]如图20-23,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=2+1,M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B'始终落在边AC上,若△MB'C为直角三角形,则BM的长为 . 图20-2323.如图20-24,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,D是AB边的中点,E,F分别是AC,BC边上的点,且DE⊥DF.(1)求证:DE=DF;(2)若AE=12,BF=5,求S△DEF.图20-2412\n参考答案1.B2.B3.D [解析]本题考查了直角三角形中勾股定理的应用及垂直平分线的性质,先求BC=6,再得到DE∥BC,且DE等于BC的一半,即12×6=3.故选D.4.B5.D6.C [解析]因为E为BC边的中点,CD⊥AB,DE=32,所以BE=CE=DE=32,即∠CDE=∠DCE,BC=3.在△ABC中,AC2+BC2=1+(3)2=4=AB2,故∠CDE+∠ACD=∠DCE+∠ACD=90°.故选C.7.B [解析]因为CD⊥AB,CD=DE=a,所以CE=CD2+DE2=a2+a2=2a,又△ABC中,∠ACB=90°,点E是AB的中点,所以AE=BE=CE,所以AB=2CE=22a.故选B.8.A [解析]在Rt△ABC中,∵AC=3,AB=5,∴由勾股定理得BC=4.∵AF平分∠CAB,∴∠CAF=∠BAF.∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠CAF+∠CFA=90°,∠BAF+∠AED=90°,∴∠CFA=∠AED,又∠AED=∠CEF,∴∠CFA=∠CEF,∴CE=CF.过点F作FG⊥AB于点G,由AF平分∠CAB,∠ACB=90°,得CF=FG.∵S△ABC=12AC·BC=6,S△ABC=S△ACF+S△ABF=12AC·CF+12AB·FG=12×(3+5)CF=4CF,∴4CF=6,∴CF=32,∴CE=32.9.D10.2.5 [解析]根据勾股定理的逆定理判断出三角形是直角三角形,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解.∵32+42=25=52,∴该三角形是直角三角形,∴12×5=2.5.11.5 4.8 12.6313.8 [解析]∵在△ABC中,CD⊥AB于点D,E是AC的中点,DE=5,∴DE=12AC=5,∴AC=10.12\n在Rt△ACD中,∠ADC=90°,AD=6,AC=10,根据勾股定理,得CD=AC2-AD2=102-62=8.14.0<CD≤5 [解析]根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半可知,当点D运动至A点时,CD最长,即为5.15.(2)n [解析]在Rt△A1OB中,OA1=OBsin45°=2,OA2=OA1sin45°=222=(2)2,…,∴OAn=(2)n.16.①②③ [解析]①由题意易得∠BCD=∠ACE,由“边角边”证明△ACE≌△BCD,故①正确;②∵△ACE≌△BCD,∴∠CAE=∠CBD=45°.∵∠BCD=25°,∴∠ACE=∠BCD=25°,∴∠AED=∠AEC-∠CED=(180°-25°-45°)-45°=65°,故②正确;③∵∠CAE=∠CED=45°,∠ACE=∠ACE,∴△ACE∽△ECF,∴ACEC=ECFC,即EC2=AC·FC,∴在Rt△DCE中,DE2=2EC2=2FC·AC,故③正确;④过点D作DM⊥BC于点M,∵AB=32,AD=2BD,∴BD=2,AC=BC=3,∴DM=BM=1,∴CM=3-1=2,∴DC=CE=5,由③可知DE2=2FC·AC,∴(2CE)2=2FC·AC,∴(2×5)2=2×3×FC,12\n∴FC=53,∴AF=3-53=43,故④错误.17.解:(1)∵DB⊥BC,BC=4,CD=5,∴DB=52-42=3.(2)如图,过点A作AE⊥CB,交CB的延长线于点E.∵DB⊥BC,AE⊥BC,∴AE∥DB.∵D为AC边的中点,∴BD=12AE,∴AE=6,即BC边上的高为6.18.解:(1)4(2)∵AC=AD,∠CAD=60°,∴△CAD是等边三角形,∴CD=AC=4,∠ACD=60°.过点D作DE⊥BC于点E.∵AC⊥BC,∠ACD=60°,∴∠BCD=30°.12\n在Rt△CDE中,CD=4,∠BCD=30°,∴DE=12CD=2,CE=23,∴BE=3,在Rt△DEB中,由勾股定理得DB=7.19.A20.C [解析]如图,过点E作EM⊥AB,EN⊥BC,EH⊥AC,垂足分别为M,N,H,由题意,易得Rt△ABC的内切圆半径为2,所以EM=EH=2.又易证四边形EMBN为正方形,所以BN=2,得到CN=CH=6.设EF=x,由CE平分∠ACB,EF∥BC,得到△CEF为等腰三角形,故EF=FC=x,所以HF=6-x.在Rt△EFH中,由勾股定理,得EH2+HF2=EF2,∴22+(6-x)2=x2,解得x=103.21.2-122.2+12或123.解:(1)证明:连接CD.∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠A=∠B=45°.∵D是AB边的中点,12\n∴CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=45°,CD=AD=BD,∴∠ACD=∠B.∵∠EDF=90°,∴∠EDC+∠FDC=90°.∵∠FDB+∠FDC=∠BDC=90°,∴∠EDC=∠FDB,∴△EDC≌△FDB(ASA),∴DE=DF.(2)由(1)中△EDC≌△FDB可得DE=DF,CE=BF=5.由(1)知AD=CD.又∵∠ADE+∠EDC=90°,∠EDC+∠CDF=90°,∴∠ADE=∠CDF,∴△AED≌△CFD,∴CF=AE=12,∴EF=13,∴DE=DF=1322,∴S△DEF=12DE·DF=1694.12
