课时训练(二十二) 解直角三角形|夯实基础|1.[2022·天津]cos30°的值等于( )A.22B.32C.1D.32.[2022·青山区三模]在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,那么cosA的值等于( )A.34B.43C.35D.453.[2022·昆区一模]如图22-12,在△ABC中,∠B=90°,BC=2AB,则cosA的值等于( )图22-12A.52B.12C.255D.554.[2022·昆区一模]已知在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=35,则tanB的值为( )A.43B.45C.54D.345.[2022·昆区二模]如图22-13是教学用的三角板,边AC=30cm,∠C=90°,tan∠BAC=33,则边BC的长为( )图22-13A.303cmB.203cmC.103cmD.53cm6.式子2cos30°-tan45°-(1-tan60°)2的值是( )11\nA.23-2B.0C.23D.27.[2022·东河区二模]如图22-14,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,若AC=5,BC=2,则sin∠ACD的值为( )图22-14A.53B.255C.52D.238.如图22-15,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,则下列结论中不正确的是( )图22-15A.sinB=ADABB.sinB=ACBCC.sinB=ADACD.sinB=CDAC9.[2022·包头样题]在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=10,sinA=35,则斜边上的高等于( )A.4.8B.403C.215D.15210.[2022·昆区二模]河堤横断面如图22-16所示,堤高BC=6米,迎水坡AB的坡比为1∶3,则AB的长为( )图22-16A.12米B.43米11\nC.53米D.63米11.[2022·滨州]如图22-17,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°,D是CB延长线上的一点,且BD=BA,则tan∠DAC的值为( )图22-17A.2+3B.23C.3+3D.3312.[2022·青山区二模]如图22-18,一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向,距离灯塔60nmile的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处,这时B处与灯塔P的距离为( )图22-18A.603nmileB.602nmileC.303nmileD.302nmile13.[2022·枣庄]如图22-19,在矩形ABCD中,E是边BC的中点,AE⊥BD,垂足为F,则tan∠BDE的值为( )图22-19A.24B.14C.13D.2311\n14.[2022·西宁]如图22-20,在△ABC中,∠B=90°,tanC=34,AB=6cm,动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动,若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,在运动过程中,△PBQ的最大面积是( )图22-20A.18cm2B.12cm2C.9cm2D.3cm215.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=45,AB=10,则AC= . 16.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA+cosB=3,则tanA= . 17.[2022·包头一模]如图22-21,点P的坐标是(-3,4),射线OP与x轴负半轴的夹角是α,则sinα= . 图22-2118.[2022·包头样题二]如图22-22,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,斜边BC上的高AD=8cm,cosB=45,则AC的长为 cm. 图22-2219.[2022·湖州]如图22-23,已知菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.若tan∠BAC=13,AC=6,则BD的长是 . 11\n图22-2320.[2022·济宁]如图22-24,在一笔直的海岸线l上有相距2km的A,B两个观测站,B站在A站的正东方向上,从A站测得船C在北偏东60°的方向上,从B站测得船C在北偏东30°的方向上,则船C到海岸线l的距离是 km. 图22-2421.[2022·潍坊]如图22-25,一艘渔船正以60海里/时的速度向正东方向航行,在A处测得岛礁P在东北方向上,继续航行1.5小时后到达B处,此时测得岛礁P在北偏东30°方向,同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向.为了在台风到来之前用最短时间到达M处,渔船立刻加速以75海里/时的速度继续航行 小时即可到达.(结果保留根号) 图22-2522.[2022·菏泽]如图22-26,在正方形ABCD外作等腰直角三角形CDE,DE=CE,连接BE,则tan∠EBC= . 图22-2623.[2022·昆区二模]如图22-27,折叠矩形ABCD,使点D落在BC边上的点F处.若折痕AE=55,tan∠EFC=34,则BC= . 11\n图22-2724.[2022·包头]如图22-28,在矩形ABCD中,E是CD的中点,F是BC上一点,且FC=2BF,连接AE,EF.若AB=2,AD=3,则cos∠AEF的值是 . 图22-2825.[2022·白银]随着中国经济的快速发展和科技水平的飞速提高,中国高铁正迅速崛起.高铁大大缩短了时空距离,改变了人们的出行方式.如图22-29,A,B两地被大山阻隔,由A地到B地需要绕行C地,若打通穿山隧道,建成A,B两地的直达高铁,可以缩短从A地到B地的路程.已知∠CAB=30°,∠CBA=45°,AC=640千米,求隧道打通后与打通前相比,从A地到B地的路程将约缩短多少千米?(参考数据:3≈1.7,2≈1.4)图22-2926.[2022·包头样题三]某市开发区供水工程设计从M到N的一段输水路线图如图22-30所示,测得N点位于M点的南偏东30°方向上,A点位于M点的南偏东60°方向上,以A点为中心,半径为500m的圆形区域为文物保护区,又在B11\n点测得A的方向为南偏东75°,量得MB=400m,请计算后回答:输水路线是否会穿过文物保护区.(3≈1.732,2≈1.414)图22-30|拓展提升|27.[2022·包头样题一]如图22-31,有一直角三角形纸片ABC,其中∠ACB=90°,BC=3,AC=4,现将纸片ABC折叠,使点A与点B重合,折痕为DE,则tan∠CBE的值为 . 图22-3128.[2022·包头样题三]如图22-32,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上,AB,CD相交于点P,则tan∠APD的值是 . 图22-3211\n参考答案1.B 2.D 3.D 4.A 5.C 6.B 7.A8.C [解析]根据锐角三角函数的定义,即可解答.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,sinB=ACBC,∵AD⊥BC,∴sinB=ADAB.又∵∠B=∠DAC,∴sinB=sin∠DAC=CDAC.9.A 10.A11.A [解析]设AC=a,则AB=a÷sin30°=2a,BC=a÷tan30°=3a,∴BD=AB=2a,∴tan∠DAC=(2+3)aa=2+3.12.B13.A [解析]设EF=a,在矩形ABCD中,AD∥BC,∴△BEF∽△DAF,∴EFAF=BFDF=BEAD.又∵E是边BC的中点,∴EFAF=BFDF=BEAD=12,∴AF=2EF=2a,又∵AE⊥BD,∴△BEF∽△ABF,∴EFBF=BFAF,∴aBF=BF2a,∴BF=2a,∴DF=22a,tan∠BDE=EFDF=a22a=24.故选A.14.C 15.6 16.317.4518.1019.2 [解析]∵菱形的对角线互相垂直,∴AB⊥CD.∵tan∠BAC=13,∴BOAO=13.∵AC=6,∴AO=3,∴BO=1,∴BD=2BO=2.故填2.11\n20.3 [解析]如图,过点C作CD⊥AB于点D,根据题意,得∠CAD=90°-60°=30°,∠CBD=90°-30°=60°,∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°,∴∠CAB=∠ACB,∴BC=AB=2km,在Rt△CBD中,CD=BC·sin60°=2×32=3(km).故答案为:3.21.18+635 [解析]如图,过点P作PQ⊥AB,垂足为Q,过点M作MN⊥AB,垂足为M.AB=60×1.5=90(海里).设PQ=MN=x海里,由点P在点A的东北方向可知,∠PAQ=45°,∴AQ=PQ=x海里,BQ=(x-90)海里,在Rt△PBQ中,∠PBQ=90°-30°=60°,tan60°=xx-90=3,解得x=135+453.在Rt△BMN中,∠MBN=90°-60°=30°,∴BM=2MN=2x=2×(135+453)=(270+903)海里,∴航行时间为:270+90375=18+635(时).11\n22.13 23.1024.22 [解析]如图,连接AF,在矩形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=CD=2,AD=BC=3,FC=2BF,E是CD的中点,可知CE=1,BF=1,CF=2,得Rt△ABF≌Rt△FCE,则有∠2=∠3,∵∠1+∠3=90°,∴∠1+∠2=90°,则∠AFE=90°.由勾股定理可得AF=5,EF=5,∴△AEF为等腰直角三角形,∠AEF=45°,即cos∠AEF=cos45°=22.25.解:过点C作CD⊥AB于点D,∴∠ADC=∠BDC=90°.在Rt△ADC中,∵∠ADC=∠BDC=90°,AC=640千米,∠CAB=30°,∴CD=12AC=12×640=320(千米),即AD=AC·cos30°=640×32=3203≈544(千米).在Rt△BDC中,∵∠BDC=90°,∠CBA=45°,∴BD=CD=320千米,BC=CDsin45°=32022=3202≈448(千米).∴AC+BC≈640+448≈1088(千米),AB=AD+BD≈544+320≈864(千米),∴AC+BC-AB≈1088-864=224(千米).答:隧道打通后与打通前相比,从A地到B地的路程将约缩短224千米.11\n26.解:如图,过点A作AC⊥BN于点C.由题可知∠CMA=30°,∠CBA=45°,MB=400m,设AC的长为xm,在Rt△AMC中,ACMC=tan30°=33,∴MC=3xm,∴BC=MC-MB=(3x-400)m.在Rt△ABC中,BC=AC,∴3x-400=x,∴x=4003-1=200(3+1)≈546.4.∵546.4>500,∴输水路线不会穿过文物保护区.27.72428.211
