第18讲 相似三角形重难点相似三角形的性质与判定 (2022·包头)如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE＝2EB，连接DF.若S△AEF＝1，则S△ADF的值为．【思路点拨】 要求S△ADF，由已知条件EF∥BC，3AE＝2BE，可得到AF与AC的数量关系，进而转换到S△ADF与S△ADC的数量关系，而由平行四边形的性质知，S△ADC＝S△ABC，由EF∥BC，3AE＝2BE，S△AEF＝1，结合相似三角形的性质，得S△ABC，则S△ADF即可求出．求三角形面积常用方法 如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE，AF⊥BE于点F，连接DF.(1)求证：DE2＝BE·EF；(2)求∠EFD的度数．【思路点拨】 (1)要证DE2＝EF·BE，而由已知条件知DE＝AE，∴AE2＝EF·BE，即＝，观察发现，这四条边恰好在△ABE和△FAE中，故只需证明△ABE∽△FAE，由相似三角形的性质即可使问题得证；(2)要求∠EFD的度数，而已知条件中并未告诉已知角，故要在正方形中构造已知角并将∠EFD进行转换．由(1)知＝，而∠DEF＝∠BED，故连接BD，可证△DEF∽△BED，由相似三角形的性质即可求出∠EFD的度数．【自主解答】 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝90°.∵AF⊥BE，∴∠AFE＝90°.∴∠BAE＝∠AFE.又∠AEF＝∠AEB，∴△AEF∽△BEA.∴＝，即AE2＝BE·EF.∵E为AD的中点，∴AE＝DE.7\n∴DE2＝BE·EF.(2)连接BD，则∠EDB＝45°.由(1)得，＝.又∠DEF＝∠BED，∴△DEF∽△BED.∴∠EFD＝∠EDB＝45°.1．判定三角形相似的思路2．证明等积时，先由比例的基本性质，化等积式为比例式，然后把比例式，左侧(或分子)，右侧(或分母)放入两个三角形中，证明两个三角形相似即可，如不能放入两个三角形中，可找到相等边代换或寻找中间比．3．求某个三角的边长或角度时，可借助条件，确定未知三角形(即包含所求边又有某个已知条件)与已知三角形相似，利用相似三角形的性质求解．考点1 比例线段1．(2022·白银)已知＝(a≠0，b≠0)，下列变形错误的是(B)A.＝B．2a＝3bC.＝D．3a＝2b2．(2022·成都)已知＝＝，且a＋b－2c＝6，则a的值为12.考点2 黄金分割3．如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，AC与AB的比叫做黄金比，其比值是(A)A.B.C.D.考点3 平行线分线段成比例4．(2022·哈尔滨)如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交GD于点F，则下列结论一定正确的是(D)A.＝B.＝C.＝D.＝7\n5．(2022·嘉兴)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F.已知＝，则＝2．考点4 相似三角形的性质6．(2022·重庆A卷)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为(C)A．3cmB．4cmC．4.5cmD．5cm7．(2022·连云港)如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是(D)A.＝B.＝C.＝D.＝8．(2022·荆门)如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连接AF，BE相交于点G.则S△EFG∶S△ABG＝(C)A．1∶3B．3∶1C．1∶9D．9∶19．(2022·重庆B卷)制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是(C)A．360元B．720元C．1080元D．2160元10．(2022·资阳)如图，△ABC的面积为12，点D，E分别是AB，AC的中点，则四边形BCED的面积为9．7\n考点5 相似三角形的判定11．(2022·永州)如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为(B)A．2B．4C．6D．812．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC∶AC是(B)A．3∶2B．2∶3C．3∶D．2∶13．(2022·邵阳)如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF.写出图中任意一对相似三角形：答案不唯一，如△EFC∽△AFD，△EAB∽△AFD，△EFC∽△EAB．14．(2022·北京)如图，在矩形ABCD中，点E是AB边的中点，连接DE交对角线AC于点F.若AB＝4，AD＝3，则CF的长为．15．(2022·巴中)如图，⊙O的两弦AB，CD相交于点P，连接AC，BD，得S△ACP∶S△DBP＝16∶9，则AC∶BD＝4∶3．16．(2022·杭州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，OE⊥AB于点E.(1)求证：△BDE∽△CAD；(2)若AB＝13，BC＝10.求线段DE的长．7\n解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.又∵AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∵DE⊥AB，∴∠BED＝∠CDA＝90°.∴△BDE∽△CAD.(2)∵BC＝10，∴BD＝5.根据勾股定理，得AD＝＝12.∵△BDE∽△CAD，∴＝，∴＝.∴DE＝.考点6 相似三角形的实际应用17．(2022·义乌)学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD.垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为(C)A．0.2mB．0.3mC．0.4mD．0.5m18．(2022·陕西)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB.解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠CBA＝∠EDA＝90°.∵∠CAB＝∠EAD，∴△ABC∽△ADE.∴＝.∴＝.7\n∴AB＝17，即河宽为17m.19．(2022·泸州)如图，在正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G.若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是(C)A.B.C.D.20．(2022·扬州)如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE，AE分别交于点P，M.对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB2＝CP·CM.其中正确的是(A)A．①②③B．①C．①②D．②③ 21．(2022·盐城)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P，Q分别为边BC，AB上的两个动点．若要使△APQ是等腰三角形，且△BPQ是直角三角形，则AQ＝或．22．(2022·咸宁)定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，我们把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：(1)如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D.使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形；(保留画图痕迹，找出3个即可)图17\n 图2 图3(2)如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC.求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；运用：(3)如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°，连接EG.若△EFG的面积为2，求FH的长．解：(1)如图所示．(2)证明：∵∠ABC＝80°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝40°.∴∠A＋∠ADB＝140°.∵∠ADC＝140°，∴∠BDC＋∠ADB＝140°.∴∠A＝∠BDC.∴△ABD∽△DBC.∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”．(3)∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∴△EFH∽△HFG.∴＝.∴FH2＝FE·FG.过点E作EQ⊥FG，垂足为Q.∵∠EFH＝∠HFG＝30°，∴∠EFQ＝60°.则EQ＝FE·sin60°＝FE.∵FG·EQ＝2，∴FG×FE＝2.∴FG·FE＝8.∴FH2＝FE·FG＝8.∴FH＝2.23．(2022·泰安)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步A的处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)？请你计算KC的长为步．7
