第16讲 直角三角形重难点1 直角三角形性质的应用 (2022·南充)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点．若BC＝2，则EF的长度为(B)A.B．1C.D.直角三角形中“斜边上的中线等于斜边的一半”，“30°角所对的直角边等于斜边的一半”都能揭示直角三角形中的直角边、斜边上的中线与斜边的关系，运用这两个性质时，要注意它们之间的区别．【变式训练1】 (2022·常德)如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CE的长为(D)A．6B．5C．4D．3重难点2 勾股定理及其逆定理 (1)(2022·益阳)如图1，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，CD是AB边上的中线，则CD＝6.5；图1【变式提问】 (2)如图2，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC上的中线AD＝6，求BC的长．图2【思路点拨】 (1)对于原题来说，由勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CD的长度；(2)对于变式，可延长AD到点E，使DE＝DA，连接BE，证得△ABE是直角三角形，再利用勾股定理求BD，从而得BC.【自主解答】 解：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE.6\n在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB(SAS)．∴AC＝BE＝13.∵在△ABE中，AB＝5，AE＝12，BE＝13，∴AB2＋AE2＝BE2.∴∠BAE＝90°.∵在△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝5，AD＝6，∴BD＝＝.∴BC＝2.1．已知三角形两边及第三条边上中线长，通常把中线延长并加倍，这样可利用三角形全等，把分散的条件集中在同一个三角形中．2．要求一条线段的长可以转化成求这条线段的一半或2倍．在利用勾股定理的逆定理时，注意当两条较小边的平方和等于最大边的平方时，此三角形是直角三角形．【变式训练2】 (2022·泸州)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为(D)A．9B．6C．4D．3【变式训练3】 (2022·襄阳)已知CD是△ABC的边AB上的高．若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为2或2．考点1 直角三角形的定义1．(2022·柳州)如图，图中直角三角形有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个2．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(D)A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A－∠B＝∠CC．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3D．∠A＝∠B＝3∠C考点2 直角三角形的两个锐角互余3．(2022·株洲)如图所示，在△ABC中，∠B＝25°．6\n 考点3 含30°角的直角三角形的性质4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝(A)A．6B．6C．6D．125．(2022·泰州)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD＝∠ABC＝90°，E，F分别为AC，CD的中点，∠D＝α，则∠BEF的度数为270°－3α．(用含α的式子表示)6．(2022·广安)如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C.若EC＝1，则OF＝2．考点4 直角三角形斜边上的中线的性质7．(2022·福建)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，D是AB的中点，则CD＝3．8．(2022·徐州)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点．若∠C＝55°，则∠ABD＝35°．考点5 勾股定理6\n9．(2022·滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为(A)A．5B．6C．7D．810．(2022·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(C)A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米11．(2022·德州)如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4.则点C到射线OA的距离为3．12．(2022·吉林)如图，在平面直角坐标系中A(4，0)，B(0，3)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的坐标为(－1，0)．考点6 勾股定理的逆定理13．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(B)A．4，5，6B．1.5，2，2.5C．2，3，4D．1，，314．(2022·曲靖)如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别为AB，BC的中点，连接DE，CD.如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是18．15．(2022·毕节)如图，在矩形ABCD中，AD＝3，M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM.若AN平分∠MAB，则折痕AM的长为(B)A．3B．2C．3D．66\n16．(2022·娄底)如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为(C)A．4cmB．6cmC．8cmD．12cm17．(2022·枣庄)如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上．如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA，PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是(B)A．2个B．3个C．4个D．5个18．(2022·荆州)为了比较＋1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝3，D在BC上，且BD＝AC＝1.通过计算可得＋1＞.(填“＜”“＞”或“＝”)19．(2022·福建)把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝－1．20．(2022·黄冈)如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.(杯壁厚度不计)21．(2022·无锡)已知在△ABC中，AB＝10，AC＝2，∠B＝30°，则△ABC的面积等于10或15．22．(2022·北京)如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC＞∠DAE.(填“＞”“＝”或“＜”)6\n23．(2022·资阳)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA1的直角边OA在x轴上，点A1在第一象限，且OA＝1，以点A1为直角顶点，OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2，再以点A2为直角顶点，OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，…，依此规律，则点A2018的坐标是(0，21__009)．24．(2022·湖州)在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的面积为5.问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形FEGH的面积的所有可能值是9，13和49．(不包括5) 图1 备用图25．(2022·长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为(A)A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米26．(2022·湘潭)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为x2＋32＝(10－x)2．6
