课时训练(十八) 特殊三角形(限时:40分钟)|夯实基础|1.等腰三角形的一边长等于5,另一边长等于10,则它的周长是( )A.20B.25C.20或25 D.152.[2022·湖州]如图K18-1,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线,若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是( )图K18-1A.20°B.35°C.40°D.70°3.[2022·郴州]如图K18-2,∠AOB=60°,以点O为圆心,以任意长为半径作弧交OA,OB于C,D两点;分别以C,D为圆心,以大于12CD的长为半径作弧,两弧相交于点P;以O为端点作射线OP,在射线OP上截取线段OM=6,则M点到OB的距离为( )图K18-2A.6B.2C.3D.334.[2022·黄冈]如图K18-3,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,∠B=60°,∠C=25°,则∠BAD为( )9\n图K18-3A.50°B.70°C.75°D.80°5.[2022·淄博]如图K18-4,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为( )图K18-4A.4B.6C.43D.86.[2022·包头]如图K18-5,在△ABC中,AB=AC,△ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且∠DAE=90°,AD=AE.若∠C+∠BAC=145°,则∠EDC的度数为( )图K18-5A.17.5° B.12.5°C.12° D.10°7.关注数学文化[2022·长沙]我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为( )A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米9\n8.[2022·青岛]如图K18-6,三角形纸片ABC,AB=AC,∠BAC=90°,点E为AB中点.沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,折痕EF交BC于点F.已知EF=32,则BC的长是( )图K18-6A.322B.32C.3D.339.[2022·长春]如图K18-7,在△ABC中,AB=AC.以点C为圆心,以CB长为半径作圆弧,交AC的延长线于点D,连接BD.若∠A=32°,则∠CDB的大小为 度. 图K18-710.关注数学文化[2022·湘潭]《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图K18-8所示,△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的长.如果设AC=x,则可列方程为 . 图K18-811.[2022·曲靖]如图K18-9,在△ABC中,AB=13,BC=12,点D,E分别是AB,BC的中点,连接DE,CD.如果DE=2.5,那么△ACD的周长是 . 图K18-99\n12.[2022·连云港]如图K18-10,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连接BE,CD,交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;(2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC.图K18-1013.[2022·内江]如图K18-11,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为D,DE∥AC.求证:△BDE是等腰三角形.9\n图K18-11|拓展提升|14.[2022·玉林]如图K18-12,∠AOB=60°,OA=OB,动点C从点O出发,沿射线OB方向移动,以AC为边在右侧作等边三角形ACD,连接BD,则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是( )图K18-12A.平行B.相交C.垂直D.平行、相交或垂直15.[2022·湖州]如图K18-13,已知在△ABC中,∠BAC>90°,点D为BC的中点,点E在AC上,将△CDE沿DE折叠,使得点C恰好落在BA延长线上的点F处,连接AD,则下列结论不一定正确的是( )9\n图K18-13A.AE=EFB.AB=2DEC.△ADF和△ADE的面积相等D.△ADE和△FDE的面积相等16.[2022·娄底]如图K18-14,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D点,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=3cm,则BF= _______cm. 图K18-1417.[2022·永州]现有A,B两个储油罐,它们相距2km,计划修建一条笔直的输油管道,使得A,B两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为0.5km,输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有 种. 9\n参考答案1.B [解析]当5为腰,10为底时,∵5+5=10,∴不能构成三角形;当10为腰,5为底时,∵5+10>10,∴能构成三角形,∴等腰三角形的周长为10+10+5=25.2.B [解析]∵△ABC是等腰三角形,AD是其底边上的中线,∴AD也是底边上的高线,∴∠ACB=90°-∠CAD=70°.又∵CE是∠ACB的平分线,∴∠ACE=12∠ACB=35°.3.C [解析]过点M作ME⊥OB于点E,由题意可得:OP是∠AOB的平分线,则∠POB=12×60°=30°,∴ME=12OM=3.故选C.4.B [解析]∵DE垂直平分AC,∴AD=CD,∴∠DAC=∠C=25°,∴∠ADB=∠DAC+∠C=25°+25°=50°.在△ABD中,∠BAD=180°-∠B-∠BDA=180-60°-50°=70°.故选B.5.B [解析]∵在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC,∴∠ACB=2∠B,NM=NC,∴∠B=30°,∵AN=1,∴MN=2,∴AC=AN+NC=3,∴BC=6,故选B.6.D [解析]由∠C+∠BAC=145°得知∠B=35°.由AB=AC得知∠B=∠C=35°.由等腰直角三角形的性质可得∠AED=45°,又∵∠AED=∠EDC+∠C,∴∠EDC=45°-35°=10°.7.A [解析]∵52+122=132,∴此三角形为直角三角形,又∵5里=5×500米=2500米=2.5千米,12里=12×500米=6000米=6千米,∴S=12×6×2.5=7.5(平方千米).8.B [解析]在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=45°.由折叠的性质可得∠BAF=∠B=45°,∴∠AFB=180°-∠B-∠BAF=90°.在Rt△ABF中,点E是AB的中点,∴EF是斜边AB上的中线,∴AB=2EF=2×32=3.在Rt△ABC中,AB=AC=3,根据勾股定理,得BC=32+32=32.9\n9.37 [解析]∵AB=AC,∠A=32°,∴∠ACB=12×(180°-∠A)=12×(180°-32°)=74°.由已知得CB=CD,∴∠CBD=∠CDB.∵∠ACB是△CBD的一个外角,∴∠ACB=∠CBD+∠CDB,∴∠CDB=12∠ACB=12×74°=37°.10.x2+9=(10-x)2 [解析]根据AC+AB=10,其中AC=x,则AB=10-x,在Rt△ABC中,利用勾股定理得AB2=AC2+BC2,代入数据即可得到:x2+9=(10-x)2.11.18 [解析]易知DE是△ABC的中位线,所以AC=5,由于AB=13,BC=12,52+122=132,因此△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,因此CD=12AB=6.5,而AD=6.5,AC=5,所以△ACD的周长是6.5+6.5+5=18.12.解:(1)∠ABE=∠ACD.理由如下:因为AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,所以△ABE≌△ACD,所以∠ABE=∠ACD.(2)证明:因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.由(1)可知∠ABE=∠ACD,所以∠FBC=∠FCB,所以FB=FC.又因为AB=AC,所以点A,F均在线段BC的垂直平分线上,即直线AF垂直平分线段BC.13.证明:如图所示,∵DE∥AC,∴∠1=∠3.∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3.∵AD⊥BD,∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°,∴∠B=∠BDE,∴BE=DE,∴△BDE是等腰三角形.14.A [解析]如图,∵∠AOB=60°,OA=OB,∴△AOB是等边三角形,∴AO=AB.∵△ACD是等边三角形,∴AC=AD.又∵∠OAB=∠CAD=60°,∴∠1=∠2,∴△AOC≌△ABD(SAS),∴∠ABD=∠AOC=60°,∴∠ABD=∠OAB,∴BD∥OA.9\n15.C [解析]连接CF.由折叠的性质可知CD=DF,CE=EF,∴DE是CF的垂直平分线.又∵DC=DF=DB,∴△BFC是直角三角形,∴BF⊥FC,∴DE∥BF.又∵点D是BC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴AE=EC=EF,AB=2DE,S△ADE=S△FDE,故选项A,B,D正确.由题意无法得出AD与EF平行,∴△ADF与△ADE的面积不一定相等,故不一定正确的是选项C.16.6 [解析]在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,所以AD平分∠BAC,又DE⊥AB,过D作DG⊥AC于G,则DG=DE=3cm,BF∥DG.再根据等腰三角形三线合一的性质,知D是BC边中点,由此可得BF=2DG=6cm.17.4 [解析]如图,设AB中点为O,则AO=BO=1km,直线l1与l2经过点O,且与直线AB的夹角等于30°(即∠AOM=∠BON=∠AOP=∠BOQ=30°),过A作AP⊥l1于点P,AM⊥l2于点M,垂足分别为P,M;过B作BQ⊥l1于点Q,BN⊥l2于点N,垂足分别为Q,N.根据直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半,得AP=AM=BQ=BN=0.5km.直线l3,l4与直线AB的距离为0.5km,则直线l1,l2,l3,l4是符合要求的直线.9
