第6讲 一元二次方程重难点1 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 (2022·随州)已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；(2)若＋＝－1，求k的值．【思路点拨】 (1)根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围；(2)根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝－2k－3，x1x2＝k2，结合＋＝－1即可得出关于k的分式方程，解之经检验即可得出结论．【自主解答】 解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2k＋3)2－4k2＞0.解得k＞－.(2)∵x1，x2是方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0的实数根，∴x1＋x2＝－2k－3，x1x2＝k2.∴＋＝＝－＝－1.解得k1＝3，k2＝－1.经检验，k1＝3，k2＝－1都是原分式方程的根．又∵k＞－，∴k＝3.1．判断一元二次方程根的情况，要明确a，b，c的值，然后比较b2－4ac与0的大小．2．利用根与系数的关系解决有关代数式的问题，一般是通过变形将代数式转化为含有x1＋x2与x1x2的式子．解答关于二次项系数中含有未知数的一元二次方程时，容易忽视一元二次方程的前提条件是：二次项系数a≠0.因此，在解答过程中，要首先列出前提条件，即：在满足二次项系数a≠0的条件下求解．【变式训练1】 (易错易混)若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是k≤5且k≠1．【变式训练2】 (2022·南充)已知关于x的一元二次方程x2－(2m－2)x＋(m2－2m)＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两实数根为x1，x2，且x＋x＝10，求m的值．解：(1)由题意可知，Δ＝[－(2m－2)]2－4(m2－2m)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)∵x1＋x2＝2m－2，x1x2＝m2－2m，∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝10.∴(2m－2)2－2(m2－2m)＝10.∴m2－2m－3＝0.∴m＝－1或m＝3.(山西中考，7分)解方程：2(x－3)2＝x2－9.6\n解：2(x－3)2＝(x＋3)(x－3).1分2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0.2分(x－3)(2x－6－x－3)＝0.3分(x－3)(x－9)＝0.4分∴x－3＝0或x－9＝0.5分∴x1＝3，x2＝9.7分重难点2 一元二次方程的应用 某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2022年单价为200元，2022年单价为162元．(1)求2022年到2022年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：试问去哪个商场购买足球更优惠？【思路点拨】 (1)设2022年到2022年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据2022年及2022年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于1的值即可得出结论；(2)根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论．【自主解答】 解：(1)设2022年到2022年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据题意，得200×(1－x)2＝162.解得x＝0.1＝10%或x＝1.9(舍去)．答：2022年到2022年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%.(2)在A商城需要的费用为162×[90＋(100－99)]＝14742(元)，在B商城需要的费用为162×100×＝14580(元)．14742>14580.答：去B商场购买足球更优惠．【变式训练3】 (2022·兰州)王叔叔从市场上买一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱，如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为(C)A．(80－x)(70－x)＝3000B．80×70－4x2＝3000C．(80－2x)(70－2x)＝3000D．80×70－4x2－(70＋80)x＝3000【变式训练4】 某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，为占有市场份额，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6120元，每件商品应降价(A)A．3元B．2.5元C．2元D．5元【变式训练56\n】 (2022·通辽)为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间赛一场)．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为x(x－1)＝21．列一元二次方程解应用题的常见关系：(1)平均变化率问题：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2＝b；(2)利润问题：利润＝售价－成本；利润率＝×100%；(3)矩形面积问题①镶边矩形：如图，镶边矩形ABCD中空白区域的面积为S＝(a－2x)(b－2x)；②内嵌十字架型矩形：如图，图1中阴影区域可以通过平移的方法变成图2中的样子，此时易得图1矩形ABCD中空白区域的面积为S＝(a－x)·(b－x)．要检验方程的解是否符合实际意义．考点1 一元二次方程及其解法1．(2022·临沂)一元二次方程y2－y－＝0配方后可化为(B)A．(y＋)2＝1B．(y－)2＝1C．(y＋)2＝D．(y－)2＝2．(2022·宁夏)若2－是方程x2－4x＋c＝0的一个根，则c的值是(A)A．1B．3－C．1＋D．2＋3．(2022·铜仁)一元二次方程x2－4x＋3＝0的解为(C)A．x1＝－1，x2＝3B．x1＝1，x2＝－3C．x1＝1，x2＝3D．x1＝－1，x2＝－34．(2022·柳州)一元二次方程x2－9＝0的解是x1＝3，x2＝－3．5．(2022·淮安)一元二次方程x2－x＝0的根是x1＝0，x2＝1．6．(整体思想)(2022·扬州)若m是方程2x2－3x－1＝0的一个根，则6m2－9m＋2015的值为2__018．7．(2022·荆门)已知x＝2是关于x的一元二次方程kx2＋(k2－2)x＋2k＋4＝0的一个根，则k的值为－3．8．(2022·黄冈)一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2－10x＋21＝0的根，则三角形的周长为16．9．选择适当的方法解下列方程：6\n(1)x2－5x＋1＝0；解：x2－5x＝－1.x2－5x＋()2＝－1＋()2.(x－)2＝.x－＝±.所以x1＝，x2＝.(2)(x－3)(x－1)＝3；解：方程化为x2－4x＝0.x(x－4)＝0.所以x1＝0，x2＝4.(3)2x2－2x－5＝0；解：Δ＝(－2)2－4×2×(－5)＝48.x＝＝＝.所以x1＝，x2＝.(4)(y＋2)2＝(3y－1)2.解：(y＋2)2－(3y－1)2＝0.(y＋2＋3y－1)(y＋2－3y＋1)＝0.(4y＋1)(－2y＋3)＝0.4y＋1＝0或－2y＋3＝0.所以y1＝－，y2＝.考点2 一元二次方程根的判别式10．(2022·上海)下列对一元二次方程x2＋x－3＝0根的情况的判断，正确的是(A)A．有两个不相等实数根B．有两个相等实数根C．有且只有一个实数根D．没有实数根11．(2022·山西)下列一元二次方程中，没有实数根的是(C)A．x2－2x＝0B．x2＋4x－1＝0C.2x2－4x＋3＝0D．3x2＝5x－212．(2022·吉林)若关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0有两个相等的实数根，则m的值为－1．考点3 一元二次方程根与系数的关系13．(2022·眉山)若α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两根，则＋的值是(C)A.B．－C．－D.14．(2022·长沙)已知关于x的方程x2－3x＋a＝0有一个根为1，则方程的另一个根为2．15．(2022·德州)若x1，x2是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则x1＋x2＋x1x2＝－3．考点4 一元二次方程的应用16．(2022·大连)如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm6\n，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为(B)A．10×6－4×6x＝32B．(10－2x)(6－2x)＝32C．(10－x)(6－x)＝32D．10×6－4x2＝3217．(2022·绵阳)在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为(C)A．9人B．10人C．11人D．12人18．(2022·沈阳)某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同．(1)求每个月生产成本的下降率；(2)请你预测4月份该公司的生产成本．解：(1)设每个月生产成本的下降率为x，根据题意，得400(1－x)2＝361，解得x1＝0.05＝5%，x2＝1.95(不合题意，舍去)．答：每个月生产成本的下降率为5%.(2)361×(1－5%)＝342.95(万元)．答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．19．(2022·盐城)一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若降价3元，则平均每天销售数量为26件；(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？解：设每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1200.整理，得x2－30x＋200＝0.解得x1＝10，x2＝20.∵要求每件盈利不少于25元，∴x2＝20应舍去，∴x＝10.答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．20．(2022·咸宁)已知一元二次方程2x2＋2x－1＝0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，下列结论正确的是(D)A．x1＋x2＝1B．x1·x2＝－1C．|x1|＜|x2|D．x＋x1＝21．(2022·潍坊)已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根x1，x2.若＋＝4m，则m的值是(A)A．2B．－1C．2或－1D．不存在22．(2022·泰州)已知x1，x2是关于x的方程x2－ax－2＝0的两根，下列结论一定正确的是(A)A．x1≠x2B．x1＋x2＞0C．x1·x2＞0D．x1＜0，x2＜023．(2022·包头)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m－2＝0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为(B)6\nA．6B．5C．4D．324．(2022·孝感)已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝p(p＋1)．(1)试证明：无论p取何值，此方程总有两个实数根；(2)若原方程的两根x1，x2，满足x＋x－x1x2＝3p2＋1，求p的值．解：(1)证明：原方程可变形为x2－5x＋6－p2－p＝0.∵Δ＝(－5)2－4(6－p2－p)＝25－24＋4p2＋4p＝4p2＋4p＋1＝(2p＋1)2≥0，∴无论p取何值，此方程总有两个实数根．(2)∵原方程的两根为x1，x2，∴x1＋x2＝5，x1x2＝6－p2－p.又∵x＋x－x1x2＝3p2＋1，∴(x1＋x2)2－3x1x2＝3p2＋1.∴52－3(6－p2－p)＝3p2＋1.∴25－18＋3p2＋3p＝3p2＋1.∴3p＝－6.∴p＝－2.25．(2022·嘉兴)欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝.则该方程的一个正根是(B)A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长6
