第7讲 分式方程重难点1 由分式方程解的情况确定字母的值或取值范围 (2022·黑龙江)已知关于x的分式方程＝1的解是负数，则m的取值范围是(D)A．m≤3B．m≤3且m≠2 C．m＜3D．m＜3且m≠2【思路点拨】 直接解方程得x，再利用x＜0且x≠－1求出答案．1．已知分式方程的解，求方程中字母的值，只需要将方程的解直接代入方程中计算即可．2．已知分式方程解的范围，求方程中字母的取值范围问题，需要先用字母表示出分式方程的解，再代入解的范围，从而确定字母，但要特别注意隐含条件分式的分母不能为0.3．分式方程无解，需分两种情况讨论：①分式方程去分母整理后出现形如ax＝b时，当a＝0且b≠0时，方程无解，所以分式方程无解；②去分母后的整式方程有解，但整式方程的解使最简公分母为0，所以分式方程无解．Ｋ【变式训练1】 若关于x的方程＝＋1无解，则a的值是1或2．重难点2 分式方程的应用 (2022·威海)某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序软件升级，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求软件升级后每小时生产多少个零件？【思路点拨】 设软件升级前每小时生产x个零件，则软件升级后每小时生产(1＋)x个零件，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合软件升级后节省的时间，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【自主解答】解：设软件升级前每小时生产x个零件，则软件升级后每小时生产(1＋)x个零件，根据题意，得－＝＋，解得x＝60.经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．∴(1＋)x＝80.答：软件升级后每小时生产80个零件．列分式方程解决实际问题的关键是找到等量关系，恰当地设出未知数，列出方程．利用分式方程解应用题一定要注意检验，找出符合实际情况的答案．【变式训练2】 (2022·东营)小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院1200m和2000m，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是3∶4，结果小明比小刚提前4min到达剧院．求两人的速度．解：设小明的速度为3xm/min，则小刚的速度为4xm/min，根据题意，得－＝4，解得x＝25.经检验，x＝25是分式方程的根，且符合题意．∴3x＝75，4x＝100.答：小明的速度是75m/min，小刚的速度是100m/min.4\n(2022·随州T18，6分)解分式方程：＋1＝.解：原方程可化为：3＋x2－x＝x2.2分解得x＝3.4分检验：当x＝3时，x(x－1)＝6≠0，5分∴x＝3是原方程的解.6分考点1 分式方程及其解法1．(2022·河南)解分式方程－2＝，去分母，得(A)A．1－2(x－1)＝－3B．1－2(x－1)＝3C．1－2x－2＝－3D．1－2x＋2＝32．(2022·海南)分式方程＝0的解是(B)A．x＝－1B．x＝1C．x＝±1D．无解3．(2022·哈尔滨)分式方程＝的解为(D)A．x＝－1B．x＝0C．x＝D．x＝14．(2022·张家界)若关于x的分式方程＝1的解为x＝2，则m的值为(B)A．5B．4C．3D．25．(2022·成都)分式方程＋＝1的解是(A)A．x＝1B．x＝－1C．x＝3D．x＝－36．(2022·株洲)关于x的分式方程＋＝0的解为x＝4，则常数a的值为(D)A．1B．2C．4D．107．(2022·聊城)如果解关于x的分式方程－＝1时出现增根，那么m的值为(D)A．－2B．2C．4D．－48．(2022·眉山)已知关于x的分式方程－2＝有一个正数解，则k的取值范围为k＜6且k≠3．9．解分式方程：(1)＝1－；解：去分母，得2x＝x－2＋1.移项、合并同类项，得x＝－1.经检验，x＝－1是分式方程的解．(2)＋＝1.解：去分母，得x2＋2x＋1－4＝x2－1.解得x＝1.经检验，x＝1是增根．4\n所以分式方程无解．考点2 分式方程的应用10．(2022·昆明)甲、乙两船从相距300km的A，B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h.若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度，可列方程为(A)A.＝B.＝C.＝D.＝11．(2022·衡阳)衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意，列方程为(A)A.－＝10B.－＝10C.－＝10D.＋＝1012．(2022·临沂)新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1～5月，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1～5月每辆车的销售价格是多少万元？设今年1～5月每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是(A)A.＝B.＝C.＝D.＝13．(2022·岳阳)为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？解：设原计划平均每天施工x平方米，则实际平均每天施工1.2x平方米，根据题意，得－＝11，解得x＝500.经检验，x＝500是原方程的解．∴1.2x＝600.答：实际平均每天施工600平方米．14．(2022·重庆)若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程＋＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为(C)A．－3B．－2C．1D．215．(2022·齐齐哈尔)若关于x的方程＋＝无解，则m的值为－1或5或－．16．(2022·玉林)山地自行车越来越受中学生的喜爱．一网店经营的一种型号山地自行车，今年一月份销售额为30000元，二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元．若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27000元．(1)求二月份每辆车售价是多少元？(2)为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%，网店仍可获利35%，求每辆山地自行车的进价是多少元？解：(1)设二月份每辆车售价是x元，则一月份每辆车售价为(x＋100)元，根据题意，得4\n＝，解得x＝900.经检验，x＝900是原分式方程的解．答：二月份每辆车售价是900元．(2)设每辆山地自行车的进价是y元，根据题意，得900×(1－10%)－y＝35%y.解得y＝600.答：每辆山地自行车的进价是600元．17．(2022·吉林)如图是学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程．15．3分式方程甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度．冰冰：＝庆庆：－＝20根据以上信息，解答下列问题．(1)冰冰同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度，庆庆同学所列方程中的y表示甲队修路400米所需时间；(2)两个方程中任选一个，并写出它的等量关系；(3)解(2)中你所选择的方程，并回答老师提出的问题．解：(2)冰冰用的等量关系是甲队修路400米所用时间＝乙队修路600米所用时间；庆庆用的等量关系是乙队每天修路的长度－甲队每天修路的长度＝20米．(选择一个即可)(3)选冰冰的方程：＝，解得x＝40.检验：当x＝40时，x，x＋20均不为零．∴x＝40.选庆庆的方程：－＝20，解得y＝10.检验：当y＝10时，分母y不为0.∴y＝10，则＝40.答：甲队每天修路的长度为40米．4
