第5讲 一次方程(组)重难点 一次方程(组)的应用 在元旦期间，某商场计划购进甲、乙两种商品．(1)已知甲、乙两种商品的进价分别为30元，70元，该商场购进甲、乙两种商品共50件需要2300元，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？(2)该商场共投入9500元资金购进这两种商品若干件，这两种商品的进价和售价如下表所示：甲乙进价(元/件)3070售价(元/件)50100 若全部销售完后可获利5000元(利润＝(售价－进价)×销量)，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？【思路点拨】 (1)首先找出题目中的等量关系：①甲商品数量＋乙商品数量＝50；②购进甲商品费用＋购进乙商品费用＝2300.根据题中等量关系，有列一元一次方程和列二元一次方程组两种不同的解法；(2)首先根据题中等量关系：①商场购进甲商品费用＋商场购进乙商品费用＝9500；②商场销售甲商品利润＋商场销售乙商品利润＝5000.然后设该商场购进甲商品a件、乙商品b件，根据题目中等量关系列方程组解答即可．【自主解答】 解：(1)解法一：(列一元一次方程求解)设该商场购进甲商品x件，则购进乙商品(50－x)件．根据题意，得30x＋70(50－x)＝2300.解得x＝30.则50－x＝50－30＝20.答：该商场购进甲商品30件，乙商品20件．解法二：(列二元一次方程组求解)设该商场购进甲商品x件，乙商品y件．根据题意，得解得答：该商场购进甲商品30件，乙商品20件．(2)设该商场购进甲商品a件，乙商品b件．根据题意，得解得答：该商场购进甲商品130件，乙商品80件．1．列方程(组)的关键是寻找等量关系，寻找等量关系常用的方法有：(1)抓住不变量；(2)找关键词；(3)运用常用数量关系和数学公式；(4)根据题目所述情境找；(5)画线段图列表格．2．在选择是列一元一次方程还是方程组解题时，若题中两个未知量有比较简单的关系，比如倍数关系、差一定或和一定时，可以很方便地用一个变量表示出另一个变量，那我们既可以设一个未知数列一元一次方程求解，也可以设两个未知数列方程组求解．相反，若两个未知量比较独立，关系较复杂，难以简洁地用一个变量表示出另一个变量时，那就设两个未知数列方程组求解．【变式训练1】 (2022·十堰)我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程(组)为(A)A.B.C.＝D.＝【变式训练2】 (2022·青岛改编)5\n5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨．进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月份减少了15%，乙工厂用水量比5月份减少了10%，两个工厂6月份用水量共为174吨，求两个工厂5月份的用水量各是多少？解：解法一：设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据题意，得解得解法二：设甲工厂5月份用水量为x吨，则(1－15%)x＋(1－10%)(200－x)＝174，解得x＝120.则200－x＝80.答：甲工厂5月份用水量为120吨，乙工厂5月份用水量为80吨．考点1 等式的性质1．(2022·杭州)设x，y，c是实数，下列说法正确的是(B)A．若x＝y，则x＋c＝y－cB．若x＝y，则xc＝ycC．若x＝y，则＝D．若＝，则2x＝3y考点2 一元一次方程及其解法2．(2022·南充)如果a＋3＝0，那么a的值是(B)A．3B．－3C.D．－3．若方程3(2x－2)＝2－3x的解与关于x的方程6－2k＝2(x＋3)的解相同，则k的值为(B)A.B．－C.D．－4．(2022·攀枝花)解方程：－＝1.解：去分母，得3(x－3)－2(2x＋1)＝6.去括号，得3x－9－4x－2＝6.移项，得－x＝17.系数化为1，得x＝－17.考点3 二元一次方程(组)及其解法5．(2022·北京)方程组的解为(D)A.B.C.D.6．已知关于x，y的方程x2m－n－2＋4ym＋n＋1＝6是二元一次方程，则m，n的值为(A)A．m＝1，n＝－1B．m＝－1，n＝1C．m＝，n＝－D．m＝－，n＝7．(2022·乐山)方程组＝＝x＋y－4的解是(D)A.B.C.D.8．(2022·桂林)若|3x－2y－1|＋＝0，则x，y的值为(D)5\nA.B.C.D.9．(2022·淮安)若关于x，y的二元一次方程3x－ay＝1有一个解是则a＝4．10．(2022·随州)已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则a＋b＝5．11．(2022·包头)若a－3b＝2，3a－b＝6，则b－a的值为－2．12．(2022·武汉)解方程组：解：②－①，得x＝6.把x＝6代入①，得y＝4.则方程组的解为13．(2022·嘉兴)用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：解法一：由①－②，得3x＝3.解法二：由②得，3x＋(x－3y)＝2.③把①代入③，得3x＋5＝2.(1)反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”；(2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答．解：(1)解法一中的解题过程有错误，由①－②，得3x＝3“×”，应为由①－②，得－3x＝3.(2)由①－②，得－3x＝3，解得x＝－1.把x＝－1代入①，得－1－3y＝5，解得y＝－2.故原方程组的解是考点4 一次方程(组)的应用14．(2022·杭州)某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得＋5分，每答错一道题得－2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x道题，答错了y道题，则(C)A．x－y＝20B．x＋y＝20C．5x－2y＝60D．5x＋2y＝6015．(2022·泰安)夏季来临，某超市试销A，B两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，问A，B两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为(C)A.B.C.D.16．(2022·呼和浩特)文具店销售某种笔袋，每个18元，小华去购买这种笔袋，结账时店员说：“如果你再多买一个就可以打九折，价钱比现在便宜36元”，小华说：“那就多买一个吧，谢谢”，根据两人的对话可知，小华结账时实际付款486元．17．(2022·海南)“绿水青山就是金山银山”，海南省委省政府高度重视环境生态保护，截至2022年底，全省建立国家级、省级和市县级自然保护区共49个，其中国家级10个，省级比市县级多5个．问省级和市县级自然保护区各有多少个？5\n解：设市县级自然保护区有x个，则省级自然保护区有(x＋5)个，根据题意，得10＋x＋5＋x＝49，解得x＝17.∴x＋5＝22.答：省级自然保护区有22个，市县级自然保护区有17个．18．(2022·永州)在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数．解：设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x人，女生人数为y人，依题意，得解得答：小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为35人，女生人数为20人．19．(2022·张家界)列方程解应用题．《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊價各幾何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元．求人数和羊价各是多少？解：设买羊人数为x人，则羊价为(5x＋45)元，由题意，得5x＋45＝7x＋3，解得x＝21.则5x＋45＝150.答：买羊人数为21人，羊价为150元．20．(2022·长沙)随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5200元．(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？解：(1)设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据题意，得解得答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．(2)80×40＋100×120－80×0.8×40－100×0.75×120＝3640(元)．答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元．21．(2022·台州)甲、乙两运动员在长为100m5\n的直道AB(A，B为直道两端点)上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点，….若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后100s内，两人相遇的次数为(B)A．5B．4C．3D．222．(2022·德州)对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b＝例如4◆3，因为4＞3.所以4◆3＝＝5.若x，y满足方程组则x◆y＝60．23．(2022·威海)用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为44－16． 图1 图2 图324．(2022·荆州)《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”若设每头牛、每只羊分别值金x两，y两，则可列方程组为(A)A.B.C.D.25．(2022·邵阳)程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是(A)A．大和尚25人，小和尚75人B．大和尚75人，小和尚25人C．大和尚50人，小和尚50人D．大、小和尚各100人26．(2022·安徽)《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？请解答上述问题．解：设城中有x户人家，依题意，得x＋＝100，解得x＝75.答：城中有75户人家．5
