直角三角形与勾股定理一、选择题1、(2022年湖北荆州模拟5)小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是（▲）．A．B．C．D．第1题图答案：C2、(2022年江苏南京一模)abcl如图，直线上有三个正方形，若的面积分别为3和4，则b的面积为（ ）A．3B．4C．5D．7答案：73、(2022年广东省佛山市模拟)设a,b,c分别是△ABC的三条边，且∠A=60º,那么的值是（）（原创）A.1B.0.5C.2D.3答案：A4、ABCD(2022北仑区一模)12.如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ▲ ）．A．B．C．D．【答案】A30°AＢＯＣlD第1题图5．（2022郑州外国语预测卷）如图，两个等圆⊙A、⊙B分别与直线l相切于点C、D，连接AB与直线l相交于点O，∠AOB=30°，连接AC、BD，若AB=4，则这两个等圆的半径为（）A．B．1C．D．221\n答案：B6．（2022辽宁葫芦岛一模）已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于（）A．30°B．35°C．40°D．45°答案：BABCDEFG第4题7．（2022宁波五校联考一模）如图，已知∠AOM=60°，在射线OM上有点B，使得AB与OB的长度都是整数，由此称B是“完美点”，若OA=8，则图中完美点B的个数为（）A．1B．2C．3D．4答案：B第5题8．（2022宁波五校联考一模）如图，已知∠AOM=60°，在射线OM上有点B，使得AB与OB的长度都是整数，由此称B是“完美点”，若OA=8，则图中完美点B的个数为（）A．1B．2C．3D．4答案：A第6题9．如图，在Rt△ABC中，AB=BC=6，点E，F分别在边AB，BC上，AE=3，CF=1，P是斜边AC上的一个动点，则△PEF周长的最小值为 ．答案：第1题图10、(2022年福州市初中毕业班质量检查)“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．随机在大正方形及其内部区域投针，若针扎到小正方形(阴影部分)的概率是，则大、小两个正方形的边长之比是A．3∶1B．8∶1C．9∶1D．2∶1A11、（2022年广西钦州市四模）图1中，每个小正方形的边长为1，的三边a，b，c的大小关系是：21\n（Ａ）a<c<b （Ｂ）a<b<c （Ｃ）c<a<b （Ｄ）c<b<a答案：C12.（2022年广西钦州市四模）如图2所示，在Rt中，，平分6.如图是某几何体的三视图及相关数据，请写出一个a,b,c,关系的等式 a2+b2=c2且∠=450，将△绕点顺时针旋转900后，得到△，连接，下列结论：（1）△≌△；（2）△∽△；（3）＋＝；（4）＋＝．其中正确的是▲．第8题图【答案】（1)(4)9（2022河南南阳市模拟）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中点．现将△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于 cm．第9题图【答案】310、（第1题）（2022温州模拟）16．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合21\n．已知AB=2，E是AC上的一点(AE>CE)，且DE=BE，则AE的长为▲.【答案】7511、（第2题图）(2022浙江永嘉一模)·14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，连结CD．若AC=，则图中长度等于1cm的线段有▲条．12．（2022郑州外国语预测卷）如图，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β=20°，则∠α的度数为度.ABClm第1题图答案：2513．（2022江西饶鹰中考模拟）小红在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为4、8、6，则原直角三角形纸片的斜边长是.答案：20或14、.（2022河南沁阳市九年级第一次质量检测）如图，Rt△ABC中，在AC边上取点O画圆使⊙O经过A、B两点，下列结论中：①；②；③以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切；④延长BC交⊙O与D，则A、B、D是⊙O的三等分点．正确的序号是(多填或错填不给分)．①③④21\n三、解答题1、（2022浙江锦绣·育才教育集团一模）（本小题满分8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的关系，并证明你的猜想．ABCDE答案：解：数量关系为：BE=EC，位置关系是：BE⊥EC．－－－－－－－－－－1分证明：∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一个锐角是45°，∴∠EAD=∠EDA=45°，∴AE=DE，∵∠BAC=90°，∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=90°+45°=135°，∠EDC=∠ADC－∠EDA=180°－45°=135°，∴∠EAB=∠EDC，∵D是AC的中点，∴AD=AB，∵AC=2AB，∴AB=DC，∴△EAB≌△EDC，∴EB=EC，且∠AEB=∠AED=90°，∴∠DEC+∠BED=∠AED=∠BED=90°，∴BE⊥ED．－－－－－－－－－－－－－－－8分（中间过程酌情给分）21\n第2题图2．（2022年北京平谷区一模）已知：如图，四边形ABCD中，，，E是AD上一点，∠BED=135°，，,．求(1)点C到直线AD的距离；（2）线段BC的长．答案：解：（1）作CF⊥AD交AD的延长线于F...1分∵∠ADC=120°，∴∠CDF=60°.在Rt△CDF中，………………………………………2分即点C到直线AD的距离为3.（2）∵∠BED=135°，，∴∠AEB=45°.∵，∴∠ABE=45°.∴………………………………………………………………………3分作BG⊥CF于G.可证四边形ABGF是矩形.∴FG=AB=2，CG=CFFG=1.∵，∴………………………………..4分∴………………………………………………5分3．（2022郑州外国语预测卷）如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连结BE.(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)延长BE至Q,P为BQ上一点，连结CP、CQ使CP=CQ=5,若BC=8时，求PQ的长.ABCDOEPQ答案：21\n证明：△ABC和△CDE均为等边三角形，∴AC=BC,CD=CE且∠ACB=∠DCE=60°∵∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE=60°∴∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（2）解：作CH⊥BQ交BQ于H,则PQ=2HQ在Rt△BHC中，由已知和（1）得∠CBH=∠CAO=30°∴CH=4，在Rt△CHQ中，HQ=∴PQ=2HQ=64.（2022江西饶鹰中考模拟）某校九年级（1）班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，小明将一块直角三角板的直角顶点放在斜边边的中点上，从BC边开始绕点A顺时针旋转，其中三角板两条直角边所在的直线分别AB、AC于点E、F．（1）小明在旋转中发现：在图1中，线段与相等。请你证明小明发现的结论；（2）小明将一块三角板中含45°角的顶点放在点A上，从BC边开始绕点A顺时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．当0°＜α≤45°时，小明在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2＋CE2＝DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的方法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）；小亮的方法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）．请你从中任选一种方法进行证明；AOBEFABCDEG图3ABCDEF图221\n（3）小明继续旋转三角板，在探究中得出：当45°＜α＜135°且α≠90°时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立．现请你继续探究：当135°＜α＜180°时（如图4），等量关系BD2＋CE2＝DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．ABC图4答案：（1）连接AO.∵∠ABC=90°,AB=AC且O是BC的中点，∴AO=BO,∠OAE=∠C=45°∵∠AOE+∠AOF=∠AOF+∠COF=90°,∴∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF,∴AE=CF（2）证明小颖的方法：∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，∴AF＝AB，∠AFD＝∠B＝45º，∠BAD＝∠FAD。又∵AC=AB，∴AF＝AC。由（1）知，∠FAE＝∠CAE。在△AEF和△AEC中，∵AF＝AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，21\n∴△AEF≌△AEC（SAS）。∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º。∴∠DFE＝∠AFD＋∠AFE＝90º。在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。（3）当135º＜＜180º时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立。证明如下：如图，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G。∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，∴AF＝AB，∠AFD＝∠ABC＝45º，∠BAD＝∠FAD。又∵AC=AB，∴AF＝AC。又∵∠CAE＝900－∠BAE＝900－（45º－∠BAD）＝45º＋∠BAD＝45º＋∠FAD＝∠FAE。在△AEF和△AEC中，∵AF＝AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△AEF≌△AEC（SAS）。∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º。又∵在△AGF和△BGE中，∠ABC＝∠AFE＝45º，∠AGF＝∠BGE，∴∠FAG＝∠BEG。又∵∠FDE＋∠DEF=∠FDE＋∠FAG＝（∠ADB＋∠DAB）＝∠ABC＝90º。∴∠DFE＝90º。在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。5、2022山东德州特长展示）（本题满分10分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；BAODECF（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长．21\n（1）证明：∵∠CBF＝∠CFB∴CB＝CF．又∵AC＝CF，∴CB＝AF．∴△ABF是直角三角形．∴∠ABF＝90°．……………………………………………………………………3分∴直线BF是⊙O的切线．……………………………………………………………4分（2）解：连接DO，EO．……………………………………………………………5分∵点D，点E分别是弧AB的三等分点，∴∠AOD＝60°．又∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∠OAD＝60°，OA＝AD＝5．………………………7分又∵∠ABF＝90°，AB=2OA=10，∴BF＝10．……………………………………………………………………10分6、（2022山东德州特长展示）（本题满分10分）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠ECG＝45°，请你利用（1）的结论证明：．（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：21\n如图3，在直角梯形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B＝90°，AB＝BC=6，E是AB上一点，且∠ECG＝45°，BE＝2．求△ECG的面积．ABCDEFABCGEABCDE图1图2图3G解答：（1）证明：在正方形ABCD中，ABCDEF图1∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF．∴CE＝CF．…………………………2分（2）证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE．连接CF．ABCDEF图2G由（1）知△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF．又∠GCE＝45°，∴∠BCE+∠GCD＝45°．∴∠DCF＋∠GCD＝∠GCF＝45°即∠ECG＝∠GCF．又∵CE＝CF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG．…………………………5分∴=．∴．……………6分（3）解：如图3，过C作CD⊥AG，交AG延长线于D．BCAGED（第23题答案图3）在直角梯形ABCG中，21\nBCADEG（第23题答案图3）∵AG∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，又∠CDA＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCD为正方形．已知∠ECG＝45°．由（2）中△ECG≌△FCG，∴GE＝GF．∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD．设DG＝x，∵BE=2，AB=6，∴AE=4，AG＝6—x，EG=2+x．在Rt△AEG中，解得：x＝3．………。∴△CEG的面积为15．…………………………10分7、（2022山东德州特长展示）（本小题满分12分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，tan∠BAC=，将∠ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系（1）求过A、B、O三点的抛物线解析式；（2）若在线段AB上有一动点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于M，设PM的长度等于d，试探究d有无最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．（3）若在抛物线上有一点E，在对称轴上有一点F，且以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形，试求出点E的坐标．BACOHxy解：（1）在Rt△ABC中，∵BC=3，tan∠BAC=，∴AC=4．21\n∴AB=．设OC=m，连接OH，如图，由对称性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，∴AH=AB－BH=2，OA=4－m．∴在Rt△AOH中，OH2+AH2=OA2，即m2+22=(4－m)2，得m=．∴OC=，OA=AC－OC=，∴O（0，0）A（，0），B（－，3）．…………………………………………2分设过A、B、O三点的抛物线的解析式为：y=ax（x－）．把x=，y=3代入解析式，得a=．∴y=x（x－）=．即过A、B、O三点的抛物线的解析式为y=．…………………………4分（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意得：－解之得k=－，b=．∴直线AB的解析式为y=．………………………………………………6分设动点P（t，），则M（t，）．………………………………7分∴d=（）—（）=—=∴当t=时，d有最大值，最大值为2．………………………………………………8分yBACOHxE2E1E3D(3)设抛物线y=的顶点为D．∵y==，∴抛物线的对称轴x=，顶点D（，－）．根据抛物线的对称性，A、O两点关于对称轴对称．21\n①当AO为平行四边形的对角线时，抛物线的顶点D以及点D关于x轴对称的点F与A、O四点为顶点的四边形一定是平行四边形．这时点D即为点E，所以E点坐标为（）．……………………………………………………………………………10分②当AO为平行四边形的边时，由OA=，知抛物线存在点E的横坐标为或，即或，分别把x=和x=代入二次函数解析式y=中，得点E（，）或E（－，）．所以在抛物线上存在三个点：E1（，－），E2（，），E3（－，），使以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形．……………………………………………12分8、（2022凤阳县县直义教教研中心）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立.（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G.①求证：BD⊥CF；②当AB＝4，AD＝时，求线段BG的长.图1图2图3解（1）BD＝CF成立.理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，21\n∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°,∵∠BAD=，∠CAF=，∴∠BAD=∠CAF，∴△BAD≌△CAF.∴BD＝CF.……………………………………………………………………（4分）（2）①证明：设BG交AC于点M.∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM＝∠GCM.∵∠BMA＝∠CMG，∴△BMA∽△CMG.∴∠BGC＝∠BAC＝90°.∴BD⊥CF.……………………………………（7分）②过点F作FN⊥AC于点N.∵在正方形ADEF中，AD＝，∴AN＝FN＝.∵在等腰直角△ABC中，AB＝4，∴CN＝AC－AN＝3，BC＝.Rt△FCN∽Rt△ABM，∴∴AM＝.∴CM＝AC－AM＝4－＝，.……（9分）∵△BMA∽△CMG，∴.∴.∴CG＝.……………………………………（11分）∴在Rt△BGC中，.……………………..（12分）9、(2022年福州市初中毕业班质量检查)(10分)如图，由6个形状、大小完全相同的小矩形组成矩形网格．小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点．已知小矩形较短边长为1，△ABC的顶点都在格点上．21\nABCEF(1)格点E、F在BC边上，的值是_________；(2)按要求画图：找出格点D，连接CD，使∠ACD＝90°；(3)在(2)的条件下，连接AD，求tan∠BAD的值．解：(1)………3分(2)标出点D，………5分连接CD．………7分(3)解：连接BD，………8分∵∠BED＝90°，BE＝DE＝1，∴∠EBD＝∠EDB＝45°，BD＝＝＝．……9分由(1)可知BF＝AF＝2，且∠BFA＝90°，∴∠ABF＝∠BAF＝45°，AB＝＝＝2．……10分∴∠ABD＝∠ABF＋∠FBD＝45°＋45°＝90°．……11分∴tan∠BAD＝＝＝．……12分ABCDEOxyF第6题图10、(2022年福州市初中毕业班质量检查)(12分)如图，半径为2的⊙E交x轴于A、B，交y轴于点C、D，直线CF交x轴负半轴于点F，连接EB、EC．已知点E的坐标为(1，1)，∠OFC＝30°．(1)求证：直线CF是⊙E的切线；(2)求证：AB＝CD；(3)求图中阴影部分的面积．解：(1)过点E作EG⊥y轴于点G，∵点E的坐标为(1，1)，∴EG＝1．在Rt△CEG中，sin∠ECG＝＝，∴∠ECG＝30°．………………1分∵∠OFC＝30°，∠FOC＝90°，∴∠OCF＝180°－∠FOC－∠OFC＝60°．………………2分∴∠FCE＝∠OCF＋∠ECG＝90°．即CF⊥CE．21\n∴直线CF是⊙E的切线．………………3分(2)过点E作EH⊥x轴于点H，∵点E的坐标为(1，1)，∴EG＝EH＝1．………………4分在Rt△CEG与Rt△BEH中，∵，∴Rt△CEG≌Rt△BEH．∴CG＝BH．………………6分∵EH⊥AB，EG⊥CD，∴AB＝2BH，CD＝2CG．∴AB＝CD．………………7分(3)连接OE，在Rt△CEG中，CG＝＝，∴OC＝＋1．………………8分同理：OB＝＋1．………………9分∵OG＝EG，∠OGE＝90°，∴∠EOG＝∠OEG＝45°．又∵∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°－∠EOG－∠OCE＝105°．同理：∠OEB＝105°．………………10分∴∠OEB＋∠OEC＝210°．ABCDExyFOGH∴S阴影＝－×(＋1)×1×2＝－－1．………………12分11、(2022年福州市初中毕业班质量检查)(14分)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(1，0)、B(4，0)两点，与y轴交于C(0，2)，连接AC、BC．(1)求抛物线解析式；(2)BC的垂直平分线交抛物线于D、E两点，求直线DE的解析式；ABCOxy第7题图ABCOxy备用图(3)若点P在抛物线的对称轴上，且∠CPB＝∠CAB，求出所有满足条件的P点坐标．21\n解：(1)由题意，得：…………1分解得：．…………3分∴这个抛物线的解析式为y＝x2－x＋2．…………4分(2)解法一：如图1，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点M作MF⊥x轴于F．图1∴△BMF∽△BCO，∴＝＝＝．∵B(4，0)，C(0，2)，∴CO＝2，BO＝4，∴MF＝1，BF＝2，∴M(2，1)………………5分∵MN是BC的垂直平分线，∴CN＝BN，设ON＝x，则CN＝BN＝4－x，在Rt△OCN中，CN2＝OC2＋ON2，∴(4－x)2＝22＋x2，解得：x＝，∴N(，0)．………………6分设直线DE的解析式为y＝kx＋b，依题意，得：，解得：．∴直线DE的解析式为y＝2x－3．………………8分21\n解法二：如图2，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点C作CF∥x轴交DE于F．∵MN是BC的垂直平分线，∴CN＝BN，CM＝BM．设ON＝x，则CN＝BN＝4－x，图2在Rt△OCN中，CN2＝OC2＋ON2，∴(4－x)2＝22＋x2，解得：x＝，∴N(，0)．………………5分∴BN＝4－＝．∵CF∥x轴，∴∠CFM＝∠BNM．∵∠CMF＝∠BMN，∴△CMF≌△BMN．∴CF＝BN．图3∴F(，2)．…………………6分设直线DE的解析式为y＝kx＋b，依题意，得：，解得：．∴直线DE的解析式为y＝2x－3．………………8分(3)由(1)得抛物线解析式为y＝x2－x＋2，∴它的对称轴为直线x＝．图4①如图3，设直线DE交抛物线对称轴于点G，则点G(，2)，以G为圆心，GA长为半径画圆交对称轴于点P1，则∠CP1B＝∠CAB．…………9分GA＝＝，∴点P1的坐标为(，－)．…………10分②如图4，由(2)得：BN＝，∴BN＝BG，∴G、N关于直线BC对称．…………11分∴以N为圆心，NB长为半径的⊙N与⊙G关于直线BC对称．…………12分⊙N交抛物线对称轴于点P2，则∠CP2B＝∠CAB．…………13分21\n设对称轴与x轴交于点H，则NH＝－＝1．∴HP2＝＝，∴点P2的坐标为(，)．综上所述，当点的坐标为(，－)或(，)时，∠CPB＝∠CAB．………14分12、（2022河南沁阳市九年级第一次质量检测）（11分）以原点为圆心,为半径的圆分别交、轴的正半轴于A、B两点,点P的坐标为.(1)如图一，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动一周,设经过的时间为秒，当时，直线PQ恰好与⊙O第一次相切，连接OQ.求此时点Q的运动速度（结果保留）；(2)若点Q按照⑴中的方向和速度继续运动，①为何值时，以O、P、Q为顶点的三角形是直角三角形；②在①的条件下，如果直线PQ与⊙O相交，请求出直线PQ被⊙O所截的弦长.（补充说明：直角三角形中，如果一条直角边长等于斜边长的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.）解：（1）连接OQ，则OQ⊥PQOQ=1，OP=2，所以，可得所以点Q的运动速度为/秒.3分(2)由（1）可知，当t=1时，△OPQ为直角三角形所以，当Q’与Q关于x轴对称时，△OPQ’为直角三角形此时，当Q’(0，-1)或Q’(0，1)时，，此时或即当，或时，△OPQ是直角三角形.7分当或时，直线PQ与⊙O相交.作OM⊥PQ，根据等面积法可知：21\nPQ×OM=OQ×OPPQ=QM弦长.11分13、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）(本题满分10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为边AC上一个点（可以包括点C但不包括点A），以P为圆心PA为半径作⊙P交AB于点D，过点D作⊙P的切线交边BC于点E.（1）求证：BE=DE；（2）若PA=1，求BE的长；（3）在P点的运动过程中，请直接写出线段BE长度的取值范围为.⑴证：连接PD.∵DE切⊙O于D.∴PD⊥DE.∴∠BDE+∠PDA=90°.∵∠C=90°.∴∠B+∠A=90°.∵PD=PA.∴∠PDA=∠A.∴∠B=∠BDE.∴BE=DE⑵连PE,设DE=BE=X,则EC=4-X.∵PA=PD=1,AC=3.∴PC=2.∵∠PDE=∠C=90°∴ED+PD=EC+CP=PE.∴x+1=(4-x)+2.解得x=.∴BE=⑶≤BC<21
