直线与圆的位置关系一、选择题1、(2022年湖北荆州模拟5)如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（▲）A．B．C．D．第3题图第1题图答案：A2、(2022年湖北荆州模拟6)如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，则∠PCA为（▲）A．60°B．65°C．67.5°D．75°答案：C3、(2022年湖北荆州模拟6)如图，在△ABC中，已知∠A＝90º，AB＝AC＝2，O为BC的中点，以O为圆心的圆弧分别与AB、AC相切于点D、E，则图中阴影部分面积是（ ▲ ）A．1－B．C．1－D．2－答案：A4、（2022年聊城莘县模拟）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②AD＝CB；③点P是△ACQ的外心；④GP＝GD．⑤CB∥GD. 其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4答案：B5、正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为( B )A．2B．3C.D．26.0．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E＝( B )35\nA．40°B．50°C．60°D．70°7、（2022浙江台州二模）9．如图，已知Rt△ABC的直角边AC=24，斜边AB=25，一个以点P为圆心、半径为1的圆在△ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P一直保持与△ABC的边相切，当点P第一次回到（第1题）它的初始位置时所经过路径的长度是（）A.B.25C.D.56【答案】C8、（2022重庆一中一模）6．如图，是圆的直径，点在的延长线上，射线第2题图CBDAO切圆于点若则等于A．60°B．50°C．40°D．45°【答案】C9．（2022年上海徐汇区二摸）在中，，，那么半径长为的⊙和直线的位置关系是Ａ．相离；Ｂ．相切；Ｃ．相交；Ｄ．无法确定．答案：B30°AＢＯＣlD第1题图10．（2022郑州外国语预测卷）如图，两个等圆⊙A、⊙B分别与直线l相切于点C、D，连接AB与直线l相交于点O，∠AOB=30°，连接AC、BD，若AB=4，则这两个等圆的半径为（）A．B．1C．D．2答案：B11、（2022河南沁阳市九年级第一次质量检测）如图，将半径为8的⊙O沿AB折叠，弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB长为35\n【】CDOBA(8题图)A. B.10 C.8 D.D12、（2022年湖北武汉模拟）在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直ODCBA径作⊙O交AB于点D.则线段AD的长为A.B.C.D.答案：A13．（2022年唐山市二模）已知⊙0的半径为l，圆心0到直线l的距离为2，过上任一点A作⊙0的切线，切点为B，则线段AB长度的最小值为()A．1B．C．D．2答案：C14.（2022年唐山市二模）如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长，就计算出了圆环的面积。若测量得AB的长为20米，则圆环的面积为()A．10平方米B．10平方米C．100平方米D．100平方米答案：D二、填空题1、（2022年湖北荆州模拟题）如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠BAC= ▲ 度．答案：23°2、(2022年安徽省模拟六)如图，⊙O中，AB是直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于点E，OD⊥AC于点D.已知⊙O的半径是2，BC=3，则CE=.35\n第1题图答案：3、(2022北仑区一模)18.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，⊙D的半径为1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O重合，绕着O点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D切于点H，此时两直角边与AD交于E，F两点，则tan∠EFO的值为▲．【答案】（第1题）BCDA（第1题）4.（2022浙江台州二模）14．如图、是的两条弦，=30°，过点的切线与的延长线交于点，则的度数为．【答案】30°5.（2022上海黄浦二摸）如图，圆心O恰好为正方形ABCD的中心，已知，⊙O的直径为1.现将⊙O沿某一方向平移，当它与正方形ABCD的某条边相切时停止平移，记此时平移的距离为，则的取值范围是▲.•ABCDO答案：6．(2022年江苏无锡崇安一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝26，CD＝24，那么sin∠OCE＝▲.35\n17．答案：7、（2022年杭州拱墅区一模）如图，AB是⊙O的直径，AE交⊙O于点F且与⊙O的切线CD互相垂直，垂足为D，连结AC，OC，CB.有下列结论：①∠1＝∠2；②OC∥AE；③AF＝OC；④△ADC∽△ACB.其中结论正确的是（写出序号）；答案：①②④三、解答题第1题图1．（2022年安徽初中毕业考试模拟卷一）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA=PB．（1）求证PB是⊙O的切线；（2）已知AC=2，BC=1，求PB．答案：（1）连接OP、OB∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，∴△AOP≌△BOP．∴∠OAP=∠OBP．∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥AP，∠OBP=∠OAP=．即PB是⊙O的切线．（2）∵AC=2，BC=1，∴△OBC是等边三角形．即OB=1．由△AOP≌△BOP，得∠AOP=∠BOP=．在Rt△OBP中，，∴PB=．第2题图2（2022年北京房山区一模）如图，BC为半⊙O的直径，点A，E是半圆周上的三等分点，35\n，垂足为D，联结BE交AD于F，过A作∥BE交CB的延长线于G．（1）判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若直径BC=2，求线段AF的长．答案：解：（1）直线AG与⊙O相切.--------------------------------------------------1分证明：连接OA，∵点A，E是半圆周上的三等分点，ABCEDFGO∴弧BA、AE、EC相等，∴点A是弧BE的中点，∴OA⊥BE．又∵AG∥BE，∴OA⊥AG．∴直线AG与⊙O相切．-----------------------------------------2分（2）∵点A，E是半圆周上的三等分点，∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°．又OA=OB，∴△ABO为正三角形．---------------------------------3分又AD⊥OB，OB=1，∴BD=OD=，AD=．------------------------------------------4分又∠EBC==30°，在Rt△FBD中，FD=BDtan∠EBC=BDtan30°=，∴AF=ADDF=-=--------------------------------------------5分第3题图3．（2022年北京龙文教育一模）已知:如图,BD是半圆O的直径,A是BD延长线上的一点，BC⊥AE，交AE的延长线于点C,交半圆O于点E，且E为的中点.（1）求证：AC是半圆O的切线；（2）若，求的长．答案：解：（1）连接OE,∵E为的中点，35\n∴．∴.∵，∴.∴.∴OE∥BC.∵BC⊥AC，∴∠C=90°.∴∠AEO=∠C=90°.即OE⊥AC.又OE为半圆O的半径，∴AC是半圆O的切线.…………………2分（2）设的半径为，∵，∴.∴.………………3分∴.∵OE∥BC，∴.…………4分∴.即第4题图∴.……………5分4.（2022年北京平谷区一模）如图，是的直径，点在上，的平分线交于点，过点作的垂线交的延长线于点，连接交于点.（1）求证：是的切线；（2）若，求的长.答案：解：（1）证明：连结，则．∴∵平分35\n∴,∴．………………………………….1分∴．∵，即，∴，即．∴与相切．……………………………..2分（2）连结．∵是的直径，∴．∴……………………………………………………….3分∵．∴∴，即，得．∴．…………………………………………………4分可证∴∴……5分第5题图5．（2022年北京顺义区一模）如图，已知，以为直径的交于点，点为的中点，连结交于点，且.（1）判断直线与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若的半为2,,求的长.答案：．⑴与⊙O相切证明：连接，∵是的直径∴∴∵∴又∵为的中点∴…………………………1分∴即35\n又∵是直径∴是的切线…………………………2分（2）∵的半为2∴,∵由（1）知，，∴,∴,…………………………3分∵,∴∽，∴∴，…………………………4分设由勾股定理，（舍负）∴…………………………5分6、(2022年湖北荆州模拟5)（本题满分9分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE．（1）求证：CF是⊙O的切线；第1题图（2）若sin∠BAC=，求的值．答案：（1）证明：连接OC．∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC．∵∠BOC=2∠BAC，∴∠BOC=∠BAF．∴OC∥AF．∴CF⊥OC．第1题解答图∴CF是⊙O的切线．（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，35\n∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°．∴S△CBD=2S△CEB，∠BAC=∠BCE，∴△ABC∽△CBE．∴==（sin∠BAC）2==．∴=．7、（2022届金台区第一次检测）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE。（1）求证：AE是⊙O的切线。（2）若∠DBC=30°，DE=1cm,求BD的长。第23题图答案：证明：（1）连结OA∵AD平分∠BDE∴∠ADE＝∠ADO∵OA=OD∴∠OAD＝∠ADO∴∠ADE＝∠OAD(2分)∴OA∥CE∵AE⊥CD∴AE⊥OA∴AE是⊙O的切线（4分）（2）∵BD是⊙O的直径∴∠BCD＝90°∵∠DBC=30°∴∠BDE＝120°∵AD平分∠BDE∴∠ADE＝∠ADO=60°∵OA=OD∴△OAD是等边三角形（6分）∴AD=OD=BD在Rt△AED中，DE=1，∠EAD=30°∴AD=2∴BD=4（8分）8.（2022浙江东阳吴宇模拟题）(本题8分)已知：如图，AB为⊙O的直径，AC、BC为弦，点P为⊙O上一点，弧AC＝弧AP，AB=10，tanA＝．（1）求PC的长；（2）过P作⊙O切线交BA延长线于E，求图中阴影部分的面积。35\n答案：5（2）9．（2022盐城市景山中学模拟题）(本题满分10分)如下图，在Rt△ABC中,∠ACB＝90°，D是AB边上任意的一点（异于A、B），以BD为直径的⊙0与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F.(1)求证：BD=BF;(2)若BC=12,AD=8，求BF的长．答案：（1）连OE证平行（2）△AOE∽△ABC得BF=BD=1610.（2022沈阳一模）（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AD⊥过C点的直线于点D，且∠AOC=2∠ACD．求证：（1）CD是⊙O的切线；（2）AC2＝AB·AD．答案：证明：（1）如图，连接BC．∵∠AOC=2∠B,而∠AOC=2∠ACD,∴∠B=∠ACD,又∠B=∠BCO,∴∠BCO=∠ACD.∵∵AB是直径，∴∠ACB=90°．∴∠ACB=90°,∴∠BCO＋∠ACO＝90°,∴∠ACD＋∠ACO＝90°,即∠DCO＝90°,∴CD是⊙O的切线；（2）∵AB是直径，∴∠ACB=90°．在Rt△ACD与△RtACD中，∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD，∴△ACD∽△ABC，∴，即AC2=AB·AD．35\nACDEBO（第23题图）l11、（2022浙江省宁波模拟题）（本题满分10分）如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．联结CE（1）求∠AEC的度数；（2）求证：四边形OBEC是菱形．答案：解：在△AOC中，AC=2，∵AO＝OC＝2，∴△AOC是等边三角形．2分∴∠AOC＝60°，∴∠AEC＝30°．4分（2）证明：∵OC⊥l，BD⊥l．∴OC∥BD．5分∴∠ABD＝∠AOC＝60°．∵AB为⊙O的直径，∴△AEB为直角三角形，∠EAB＝30°．7分∴∠EAB＝∠AEC．∴四边形OBEC为平行四边形．8分又∵OB＝OC＝2．∴四边形OBEC是菱形．10分12、(2022年江苏南京一模)（8分）如图，D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，∠DBA＝∠C．ABDCO（第1题）（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝AO＝1，求图中阴影部分的面积．35\n答案：（本题8分）（第1题）ABDCO解：（1）直线BD与⊙O相切．理由如下：连接OB．∵CA是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°．1分∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠C．又∵∠DBA＝∠C，∴∠DBA＋∠OBA＝∠OBC＋∠OBA＝∠ABC＝90°．2分∴OB⊥BD．又∵直线BD经过半径OB的外端点B，3分∴直线BD与⊙O相切．4分（2）∵∠DBO＝90°，AD＝AO＝1，∴AB＝OA＝OB＝1．∴△AOB是等边三角形．∴∠AOB＝60°．5分∴S扇形OBA＝＝．6分∵在Rt△DBO中，BD＝＝，∴S∆DBO＝OB·BD＝×1×＝．7分∴S阴影＝S∆DBO－S扇形OBA＝－．8分13、(2022年江苏南京一模)（8分）“五一”节，小莉和同学一起到游乐场玩，游乐场的大型摩天轮的半径为20m，匀速旋转1周需要12min．小莉乘坐最底部的车厢（离地面0.5m）开始1周的观光，5min后小莉离地面的高度是多少？（精确到0.1m，下列数据供参考：；；）答案：（本题8分）解：如图，设经过5min后，小明从点B到达点C的位置．（第23题）ABOCDE由题意知，OC＝20，∠COA＝360°×＝150°．……………2分延长AO交⊙O于点E，作CD⊥AE，垂足为D．35\n在Rt△COD中，∠COD＝30°，OD＝OC·cos∠COD＝20×cos30°＝10．………………6分则AD＝AB＋BO＋OD＝0.5＋20＋10≈37.8（m）．即5min后小莉离地面的高度约为37.8m．……………………8分第3题图14、(2022年江苏南京一模)（7分）如图，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC.（1）判断AP与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求PD的长.答案：解：（1）证明:连接OA，∵∠B=60°，∠AOC=2∠B=120°，………………（1分）∵OA=OC，∴∠ACP=CAO=30°，∴∠AOP=60°，……………………（2分）又∵AP=AC.∴∠P=∠ACP=30°，……………………………………………（3分）∴∠OAP=90°，即OA⊥AP，∴AP是⊙O的切线；……………………………………………………………（4分）(2)CD是⊙O的直径，连接AD，∴∠CAD=90°，∴AD=AC∙tan30°=.……………………………………………………（5分）∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC-∠P=30°，∴∠P=∠PAD,∴PD=AD=.……………………………………………………………………（7分）15、(2022年江苏南京一模)（10分）如图1，直线l垂直于x轴，垂足的坐标为（1，0），点A的坐标为（2,1），其关于直线l对称点为点B．若此时分别以点A，B为圆心，1cm为半径画圆，则此时这两个圆外切．我们称⊙A与⊙B关于直线l“对称外切”．（1）如图2若直线l是函数y=x的图象，⊙A是以点A为圆心，1cm为半径的圆．判断函数y=x图象与⊙A的位置关系，并证明你的结论；（2）请直接写出与⊙A关于函数y=x图象的“对称外切”的⊙B的圆心坐标．35\n答案：（本题10分）（1）设过点A与x轴平行的直线交y轴于点C，函数y＝x的图象与直线AC交于点D，过点A作AE垂直于直线y＝x，垂足为E． 当y＝1时，x＝，即CD＝，∴AD＝2－＝．在Rt△COD中，根据勾股定理，得OD2＝OC2＋CD2＝，即OD＝． ∵AD＝，OD＝．∴AD＝OD．…………………3分在△COD和△EAD中，∠OCD＝∠AED，∠CDO＝∠EDA，AD＝OD，∴△COD≌△EAD．∴AE＝CO＝1．∴直线y＝x与⊙A相切．…………………6分（2）点B(，)．…………………10分16、（本题10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ACB的平分线交AB于点O，以O为圆心的⊙O与AC相切于点D．（1）求证:⊙O与BC相切；（2）当AC=3，BC=6时，求⊙O的半径．35\n（第22题图）解：（1）证明：如图，连结OD，作OE⊥BC于点E,………1分∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC.…………1分∵OC是∠ACB的平分线，∴OD＝OE.…………1分∴⊙O与BC相切…………2分（2）解：∵OD⊥AC，∠ACB=90°，∴OD∥CB，∴△AOD∽△ABC，1分解法1∴即……………………2分∴∴即圆的半径为2．……2分解法2∴设半径为x,∵OC是∠ACB的平分线,∴∠DCO=45°∴CD=OD=x，∴AD=AC－CD=3-x，……………………2分解得x=2，即圆的半径为2．……………………2分17.如图5－1－48，AB是⊙O的弦，D是半径OA的中点，过点D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE＝CB.(1)求证：BC是⊙O的切线；(4分)(2)连接AF，BF，求∠ABF的度数；(4分)(3)如果CD＝15，BE＝10，sinA＝，求⊙O的半径．(4分)35\n(1)证明：如图D21，连接OB.图D21∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBE.∵CE＝CB，∴∠CEB＝∠EBC，∵∠AED＝∠BEC，∴∠AED＝∠EBC，又∵CD⊥OA，∴∠A＋∠AED＝∠OBA＋∠EBC＝90°，∴BC是⊙O的切线．(2)解：如图D22，∵CD垂直平分OA，图D22∴OF＝AF，又OA＝OF，∴OA＝OF＝AF，∴∠O＝60°，∴∠ABF＝30°.(3)解：如图D23，作CG⊥BE于G，则∠A＝∠ECG.∵CE＝CB，BE＝10，∴EG＝BG＝5.∵sin∠ECG＝sinA＝，图D23∴CE＝13，CG＝12.又CD＝15，∴DE＝2.∵△ADE∽△CGE，∴＝，即＝.∴AD＝.∴OA＝，即⊙O的半径是.18.(2022年广东省佛山市模拟)（原创）如图，“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为35\n20m，旋转1周需要24min（匀速）。小明乘坐最底部的车厢按逆时针方向旋转（离地面约1m）开始1周的观光。（1）2min后小明离地面的高度是多少？（2）摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度到达11m？(3)在旋转一周的过程中，.小明将有多长时间连续保持在离地面31m以上的空中?19、（2022年广州省惠州市模拟）已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点,交BD于点G，交AB于点F。（1）求证：AC与⊙O相切；（2）当BD=6，sinC=时，求⊙O的半径。35\n（1）证明：连接OE，∵AB=BC且D是BC中点∴BD⊥AC∵BE平分∠ABD∴∠ABE=∠DBE∵OB=OE∴∠OBE=∠OEB∴∠OEB=∠DBE∴OE∥BD∴OE⊥AC∴AC与⊙O相切（4分）（2）∵BD=6，sinC=，BD⊥AC∴BC=10∴AB=10设⊙O的半径为r，则AO=10-r∵AB=BC∴∠C=∠A∴sinA=sinC=∵AC与⊙O相切于点E，∴OE⊥AC∴sinA===35\n∴r=（9分）20、(2022年惠州市惠城区模拟)如图，在⊙中，是直径，是弦，，．（1）判断直线是否是⊙的切线，并说明理由；（2）若，求⊙的直径．解：（1）直线是⊙的切线理由如下：连结OD∵∠ADE=60°，∠C=30°∴∠DAC=30°∵OA=OD∴∠ADO=30°∴∠COD=60°∴∠CDO=90°∴直线是⊙的切线……………………………………………（5分）（2）∵∴∵∴∴直径为6……………………………………………（9分）35\n21、(2022年广东省中山市一模)如图，为上一点，点在直径的延长线上，．（1）求证：是的切线；（2）过点作的切线交的延长线于点，若BC=4，tan∠ABD=求的长．ABCDEO证明：如图（13），连结………1分∵，∴．………2分∵，∴．又是的直径，∴，………3分∴ABCDEO∴是的切线．………4分（2）．（2）解：∵∴∴………5分∵………6分，∵，∴．………7分35\n∵是的切线，，∴，………8分解得．………9分22、（2022年广东省珠海市一模）已知，如图，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，连接CO交⊙O于点D，CO的延长线交⊙O于点E，连接BE、BD，∠ABD=30°，求∠EBO和∠C的度数．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，而∠ABD=30°，∴∠EBO=90°﹣30°=60°，∵OB=0E，∴△OBE为等边三角形，∴∠BOE=60°，∴∠AOC=60°，又∵CA与⊙O相切于点A，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∴∠C=90°﹣60°=30°，所以∠EBO和∠C的度数分别为60°、30°．23、（2022浙江台州二模）23．如图1，已知O是锐角∠XAY的边AX上的动点，以点O为圆心、R为半径的圆与射线AY切于点B，交射线OX于点C．连结BC，作CD⊥BC，交AY于点D．(1)求证：△ABC∽△ACD；(2)若P是AY上一点，AP=4，且sinA=，①如图2，当点D与点P重合时，求R的值；图2②当点D与点P不重合时，试求PD的长(用R表示)．图1【答案】．(1)由已知，CD⊥BC，∴∠ADC=90°–∠CBD，35\n又∵⊙O切AY于点B，∴OB⊥AB，∴∠OBC=90°–∠CBD，∴∠ADC=∠OBC．又在⊙O中，OB=OC=R，∴∠OBC=∠ACB，∴∠ACB=∠ADC．又∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD．……6分(2)由已知，sinA=，又OB=OC=R，OB⊥AB，∴在Rt△AOB中，AO===R，AB==R，∴AC=R+R=R．由(1)△ABC∽△ACD，∴，∴，因此AD=R．①当点D与点P重合时，AD=AP=4，∴R=4，∴R=．②当点D与点P不重合时，有以下两种可能：i)若点D在线段AP上(即0<R<)，PD=AP–AD=4–R；ii)若点D在射线PY上(即R>)，PD=AD–AP=R–4．综上，当点D在线段AP上(即0<R<)时，PD=4–R；当点D在射线PY上(即R>)时，PD=R–4．又当点D与点P重合(即R=)时，PD=0，故在题设条件下，总有PD=|R–4|(R>0)．……6分（没分类或缺少绝对值的扣2分）24、（2022温州模拟）FEDCBAO22．（本题10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径OA=5，弦AC的长是6.①求DE的长；②请直接写出的值.【答案】FEDCBAOH解：（1）连接OD∵AD是∠BAC的平分线∴∠EAD=∠DAO∵AO=DO∴∠DAO=∠ADO∴∠EAD=∠ADO∴OD∥AE………………2分又∵DE⊥AC∴OD⊥DE∴DE是⊙O的切线………………2分（2）①过O作OH⊥AC交AC于H，则AH=CH=3………………1分在Rt△AOH中，AH=3，OA=5∴OH=4………………1分35\n∵∠ODE=∠DEH=∠OHE=Rt∠∴四边形ODEH是矩形∴DE=OH=4………………1分(注：矩形没有证明的不扣分)②………………3分25、(2022浙江永嘉一模)（第22题图）22．（本题10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ACB的平分线交AB于点O，以O为圆心的⊙O与AC相切于点D．（1）求证:⊙O与BC相切；（2）当AC=3，BC=6时，求⊙O的半径．【答案】解：（1）证明：如图，连结OD，作OE⊥BC于点E,…………1分∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC.…………1分∵OC是∠ACB的平分线，∴OD＝OE.…………1分∴⊙O与BC相切…………2分（2）解：∵OD⊥AC，∠ACB=90°，∴OD∥CB，∴△AOD∽△ABC，1分解法1∴即……………………2分∴∴即圆的半径为2．……2分解法2∴设半径为x,∵OC是∠ACB的平分线,∴∠DCO=45°∴CD=OD=x，∴AD=AC－CD=3-x，……………………2分解得x=2，即圆的半径为2．……………………2分26.（2022江西饶鹰中考模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠ACD=∠AOC，AD⊥CD于点D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=10，AD＝2，求AC的长．答案：解：（1）证明：∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，35\n∴∠AOC=180°－2∠ACO，即∠AOC+∠ACO=90°.∵∠ACD=∠AOC,∴∠ACD+∠ACO=90°∴CD是⊙O的切线（2）连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB=90°．在Rt△ACD与△RtABC中，∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD，∴△ACD∽△ABC∴，即AC2=AB·AD．∴AC=27．（2022宁波五校联考一模）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上一点，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线.（2）若DE=3，⊙O的半径为5，求BE的长.答案：解：(1)如图，连接OD.因为AD平分∠BAC,所以∠1=∠2.又因为OA=OD,所以∠1=∠3.所以∠2=∠3.所以OD∥AE.因为DE⊥AE,所以DE⊥OD.而点D在⊙O上,所以DE是⊙O的切线.…………（5分）(2)如图,连接BE与OD交于点H，作OG⊥AE于点G.则OG=DE=3，EG=DO=5，所以AG==4，AE=4+5=9,因为EA∥OD，AO=OB，所以HO==，HD=5-=，故HE=,BE=…………（12分）35\n28、（2022山东德州特长展示）（本题满分10分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长．BAODECF（1）证明：∵∠CBF＝∠CFB∴CB＝CF．又∵AC＝CF，∴CB＝AF．∴△ABF是直角三角形．∴∠ABF＝90°．……………………………………………………………………3分∴直线BF是⊙O的切线．……………………………………………………………4分（2）解：连接DO，EO．……………………………………………………………5分∵点D，点E分别是弧AB的三等分点，∴∠AOD＝60°．又∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∠OAD＝60°，OA＝AD＝5．………………………7分又∵∠ABF＝90°，AB=2OA=10，∴BF＝10．……………………………………………………………………10分35\nABCDEOxyF29、(2022年福州市初中毕业班质量检查)(12分)如图，半径为2的⊙E交x轴于A、B，交y轴于点C、D，直线CF交x轴负半轴于点F，连接EB、EC．已知点E的坐标为(1，1)，∠OFC＝30°．(1)求证：直线CF是⊙E的切线；(2)求证：AB＝CD；(3)求图中阴影部分的面积．解：(1)过点E作EG⊥y轴于点G，∵点E的坐标为(1，1)，∴EG＝1．在Rt△CEG中，sin∠ECG＝＝，∴∠ECG＝30°．………………1分∵∠OFC＝30°，∠FOC＝90°，∴∠OCF＝180°－∠FOC－∠OFC＝60°．………………2分∴∠FCE＝∠OCF＋∠ECG＝90°．即CF⊥CE．∴直线CF是⊙E的切线．………………3分(2)过点E作EH⊥x轴于点H，∵点E的坐标为(1，1)，∴EG＝EH＝1．………………4分在Rt△CEG与Rt△BEH中，∵，∴Rt△CEG≌Rt△BEH．∴CG＝BH．………………6分∵EH⊥AB，EG⊥CD，∴AB＝2BH，CD＝2CG．∴AB＝CD．………………7分(3)连接OE，在Rt△CEG中，CG＝＝，ABCDExyFOGH∴OC＝＋1．………………8分同理：OB＝＋1．………………9分∵OG＝EG，∠OGE＝90°，∴∠EOG＝∠OEG＝45°．又∵∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°－∠EOG－∠OCE＝105°．35\n同理：∠OEB＝105°．………………10分∴∠OEB＋∠OEC＝210°．∴S阴影＝－×(＋1)×1×2＝－－1．………………12分30、（2022河南沁阳市九年级第一次质量检测）(10分）如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．⑴求证：MN是⊙O的切线；⑵当0B=6cm，OC=8cm时，求⊙O的半径．解答：（1）略5分（2）r=4.8cm10分31、（2022河南沁阳市九年级第一次质量检测）（11分）以原点为圆心,为半径的圆分别交、轴的正半轴于A、B两点,点P的坐标为.(1)如图一，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动一周,设经过的时间为t秒，当时，直线PQ恰好与⊙O第一次相切，连接OQ.求此时点Q的运动速度（结果保留）；(2)若点Q按照⑴中的方向和速度继续运动，①为何值时，以O、P、Q为顶点的三角形是直角三角形；②在①的条件下，如果直线PQ与⊙O相交，请求出直线PQ被⊙O所截的弦长.（补充说明：直角三角形中，如果一条直角边长等于斜边长的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.）解：（1）连接OQ，则OQ⊥PQOQ=1，OP=2，所以，可得所以点Q的运动速度为/秒.3分(2)由（1）可知，当t=1时，△OPQ为直角三角形35\n所以，当Q’与Q关于x轴对称时，△OPQ’为直角三角形此时，当Q’(0，-1)或Q’(0，1)时，，此时或即当，或时，△OPQ是直角三角形.7分当或时，直线PQ与⊙O相交.作OM⊥PQ，根据等面积法可知：PQ×OM=OQ×OPPQ=QM弦长.11分（1）求证：BE=DE；（2）若PA=1，求BE的长；（3）在P点的运动过程中，请直接写出线段BE长度的取值范围为.、⑴证：连接PD.∵DE切⊙O于D.∴PD⊥DE.∴∠BDE+∠PDA=90°.∵∠C=90°.∴∠B+∠A=90°.∵PD=PA.∴∠PDA=∠A.∴∠B=∠BDE.∴BE=DE⑵连PE,设DE=BE=X,则EC=4-X.∵PA=PD=1,AC=3.∴PC=2.∵∠PDE=∠C=90°∴ED+PD=EC+CP=PE.∴x+1=(4-x)+2.解得x=.∴BE=35\n⑶≤BC<33、（2022年湖北宜昌调研）如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E.（1）求证：AC∥OD；（2）如果DE⊥BC，求的长度.解：（1）∵OC=OD∴∠OCD=∠ODC∵CD平分∠ACO∴∠OCD=∠ACD∴∠ACD=∠ODC∴AC∥OD………………………(2分)（2）∵BC切⊙O于点C∴BC⊥OC∵DE⊥BC∴OC∥DE………………………(3分)∵AC∥OD∴四边形ADOC是平行四边形∵OC=OD∴平行四边形ADOC是菱形……(4分)∴OC=AC=OA∴△AOC是等边三角形∴∠AOC=60°………………………(6分)∴的长度=…………(8分)第21题图34.（2022年吉林沈阳模拟）（8分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AD⊥过C点的直线于点D，且∠AOC=2∠ACD．求证：（1）CD是⊙O的切线；（2）AC2＝AB·AD．答案：证明：（1）如图，连接BC．∵∠AOC=2∠B,而∠AOC=2∠ACD,∴∠B=∠ACD,又∠B=∠BCO,∴∠BCO=∠ACD.∵∵AB是直径，∴∠ACB=90°．∴∠ACB=90°,∴∠BCO＋∠ACO＝90°,∴∠ACD＋∠ACO＝90°,即∠DCO＝90°,∴CD是⊙O的切线；（2）∵AB是直径，∴∠ACB=90°．在Rt△ACD与△RtACD中，∵∠AOC=2∠B，∴∠B=∠ACD，35\n∴△ACD∽△ABC，∴，即AC2=AB·AD．35.（2022年广西梧州地区一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，交AB的延长线于点E，连结AD.（1）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径。（2）当点D运动到什么位置时，DE是⊙O的切线？请说明理由。（1）连结BO、AO，并延长AO交BC于点F，则AF⊥BC，且BF=BC=3。又∵AB=5，∴AF=4。设⊙O的半径为，在Rt△OBF中，OF=4－，OB=，BF=3， ∴ ＝3＋（4－）解得＝，∴⊙O的半径是。…………5分（2）答：当点D是弧BC的中点时，DE是⊙O的切线。……7分理由是：当点D是弧BC的中点时，则有AD⊥BC，且AD过圆心O。又∵DE∥BC，∴AD⊥ED。∴DE是⊙O的切线。…………10分36．(2022珠海市文园中学一模）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2＜x＜4）．（1）当x=时，求弦PA、PB的长度；（2）当x为何值时，PD•CD的值最大？最大值是多少？答案：35\n解：（1）∵⊙O与直线l相切于点A，且AB为⊙O的直径，∴AB⊥l，又∵PC⊥l，∴AB∥PC，∴∠CPA=∠PAB，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°，又PC⊥l，∴∠PCA=∠APB=90°，∴△PCA∽△APB，∴=，即PA2=PC•AB，∵PC=，AB=4，∴PA==，∴Rt△APB中，AB=4，PA=，由勾股定理得：PB==；（4分）（2）过O作OE⊥PD，垂足为E，∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE=ED，又∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，∴四边形OACE为矩形，∴CE=OA=2，又PC=x，∴PE=ED=PC﹣CE=x﹣2，∴CD=PC﹣PD=x﹣2（x﹣2）=4﹣x，∴PD•CD=2（x﹣2）•（4﹣x）=﹣2x2+12x﹣16=﹣2（x﹣3）2+2，∵2＜x＜4，∴当x=3时，PD•CD的值最大，最大值是2．（5分）37．（2022年广西钦州市四模）如图11-①，为的直径，与相切于点与相切于点，点为延长线上一点，且（1）求证：为的切线；图11-②图11-①（2）连接，的延长线与的延长线交于点（如图11-②所示）.若，求线段和的长.35\n．（1）连接……………………………………………………………………（1分）………………………（2分）又与相切于点，…………………………（3分）为的切线.…………………………（4分）（2）过点作于点，分别切于点………………………………（5分）设为，则.在中，解得：…………………………………………………………………………（6分）………………………………………………………………（7分）35\n……………………………………………（8分）解法一：连接…………………………………………………………………………（9分）在中，…………………（10分）解法二：…………………………………………………………………（9分）解得：…………………………………………………………………（10分）38．（2022年杭州拱墅区一模）（1）在图1中，求作△ABC的外接圆（尺规作图，不写作法保留痕迹）；（2）如图2，若△ABC的内心为O，且BA＝BC＝8，sinA，求△ABC的内切圆半径.(1)外接圆图略----------------------------------------------------------------------------3分(2)连结BO并延长交AC于F，∵AB＝BC＝8，O为△ABC内心，∴BF⊥AC，AF＝CF，又∵sinA，∴BF＝ABsinA＝8×＝6-----------2分∴AF＝，-----------------------------1分35\n∴Rt△OBE中：解得半径为：----------2分解法二△面积法：AC＝---------1分，设内接圆半径为R，R（AB＋AC＋BC）＝AC·BF，解得内接圆半径R＝--------------------------2分（未根式有理化不扣分）35
