开放探究型问题一、选择题1、（2022浙江省宁波模拟题）课题研究小组对附着在物体表面的三个微生物（课小组成员把他们分别标号为，，）的生长情况进行观察记录．这三个微生物第一天各自一分为二，产生新的微生物（分别被标号为，，，，，），接下去每天都按照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，形成新的微生物（课题组成员用如图所示的图形进行形象的记录）．那么标号为的微生物会出现在（）A．第天B．第天C．第天D．第天11211110121201918171615141354987623（第12题图）答案：CAEBCDF2、（2022山东德州特长展示）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥AC，DF∥AB．下列说法中错误的是()A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC=90º，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是正方形D．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形二、填空题1、（2022河南沁阳市九年级第一次质量检测）如图，Rt△ABC中，在AC边上取点O画圆使⊙O经过A、B两点，下列结论中：①；②；③以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切；④延长BC交⊙O与D，则A、B、D是⊙O的三等分点．正确的序号是(多填或错填不给分)．①③④27\n2、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P为对角线AC上一点，过P作BP的垂线交直线AD于点Q，若△APQ为等腰三角形，则AP的长度为或.3.6或1三、解答题第1题图1．（2022年安徽初中毕业考试模拟卷一）如图，在中，AC=6，BC=8，AB=10，点D、E分别在AB、AC上，且DE将的周长分成相等的两部分，设AE=，AD=，的面积为S.（1）求出与的函数关系式，并写出的取值范围；（2）求出S关于的函数关系式，并判断S是否有最大的值，若有，则求出其最大值，并指出此时的形状；若没有，请说明理由.答案：（1）∵DE平分△ABC的周长，∴，即y＋x＝12．∴y关于x的函数关系式为：y＝12－x（2≤x≤6）．（2）过点D作DF⊥AC，垂足为FF∵，即，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．∴，即．∴．∴．故当x＝6时，S取得最大值．此时，y＝12－6＝6，即AE＝AD．因此，△ADE是等腰三角形．27\n2.（2022年北京房山区一模）已知，抛物线，当1＜x＜5时，y值为正；当x＜1或x＞5时，y值为负.（1）求抛物线的解析式.（2）若直线（k≠0）与抛物线交于点A（，m）和B（4，n），求直线的解析式.（3）设平行于y轴的直线x=t和x=t+2分别交线段AB于E、F，交二次函数于H、G.①求t的取值范围②是否存在适当的t值，使得EFGH是平行四边形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由.答案：解：（1）根据题意，抛物线与x轴交点为（1,0）和（5,0）----1分∴，解得.∴抛物线的解析式为.--------------------2分（2）∵的图象过A（，m）和B（4，n）两点∴m=，n=3，∴A（，）和B（4，3）------------3分∵直线（k≠0）过A（，）和B（4，3）两点∴，解得.∴直线的解析式为.-------------------4分（3）①根据题意，解得t2-------------------5分②根据题意E（t，），F（t+2，）H（t，），G（t+2，），∴EH=，FG=.27\n若EFGH是平行四边形，则EH=FG，即=解得t=，----------------------6分∵t=满足t2.∴存在适当的t值，且t=使得EFGH是平行四边形.----------7分3.（2022年北京龙文教育一模）如图，在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与轴交于（-1,0）、（3,0）两点,顶点为.(1)求此二次函数解析式；(2)点为点关于x轴的对称点，过点作直线：交BD于点E，过点作直线∥交直线于点.问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，若、分别为直线和直线上的两个动点，连结、、，求和的最小值.第3题图答案：解:(1)∵点A、B的坐标分别为（-1,0）、（3,0），∴解得27\n∴二次函数解析式为.……………2分（2）可求点C的坐标为（1，）∴点D的坐标为（1，）.可求直线AD的解析式为.由题意可求直线BK的解析式为.∵直线的解析式为,∴可求出点K的坐标为(5,).易求.∴四边形ABKD是菱形.∵菱形的中心到四边的距离相等，∴点P与点E重合时，即是满足题意的点，坐标为（2，）.……………5分(3)∵点D、B关于直线AK对称,∴的最小值是.过K作KF⊥x轴于F点.过点K作直线AD的对称点P,连接KP,交直线AD于点Q,∴KP⊥AD.∵AK是∠DAB的角平分线,∴.∴的最小值是.即BP的长是的最小值.∵BK∥AD,∴.在Rt△BKP中,由勾股定理得BP=8.∴的最小值为8.……………8分27\n4．（2022年北京顺义区一模）如图，已知抛物线与轴交于点，且经过两点，点是抛物线顶点，是对称轴与直线的交点，与关于点对称．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使与相似．若有，请求出所有符合条件的点的坐标；若没有，请说明理由．第4题图答案：解：（1）将点代入得……………………1分解之得，所以抛物线的解析式为………2分（2）由（1）可得抛物线顶点……3分直线的解析式为由是对称轴与直线的交点，则由与关于点对称，则………4分证法一：从点分别向对称轴作垂线，交对称轴于在和中，所以∽所以…………………………………5分证法二：直线的解析式为点关于对称轴的对称点是27\n将点代入可知点在直线所以（3）在中，三内角不等，且为钝角①若点在点下方时，在中，为钝角因为，所以和不相等所以，点在点下方时，两三角形不能相似……………………6分②若点在点上方时，由，要使与相似只需（点在之间）或（点在的延长线上）解得点的坐标为或………………………………………8分第1题图5．（2022年安徽初中毕业考试模拟卷一）如图，在中，AC=6，BC=8，AB=10，点D、E分别在AB、AC上，且DE将的周长分成相等的两部分，设AE=，AD=，的面积为S.（1）求出与的函数关系式，并写出的取值范围；（2）求出S关于的函数关系式，并判断S是否有最大的值，若有，则求出其最大值，并指出此时的形状；若没有，请说明理由.答案：（1）∵DE平分△ABC的周长，∴，即y＋x＝12．∴y关于x的函数关系式为：y＝12－x（2≤x≤6）．（2）过点D作DF⊥AC，垂足为FF∵，即，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．∴，即．∴．∴．27\n故当x＝6时，S取得最大值．此时，y＝12－6＝6，即AE＝AD．因此，△ADE是等腰三角形．6.（2022年北京房山区一模）已知，抛物线，当1＜x＜5时，y值为正；当x＜1或x＞5时，y值为负.（1）求抛物线的解析式.（2）若直线（k≠0）与抛物线交于点A（，m）和B（4，n），求直线的解析式.（3）设平行于y轴的直线x=t和x=t+2分别交线段AB于E、F，交二次函数于H、G.①求t的取值范围②是否存在适当的t值，使得EFGH是平行四边形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由.答案：解：（1）根据题意，抛物线与x轴交点为（1,0）和（5,0）----1分∴，解得.∴抛物线的解析式为.--------------------2分（2）∵的图象过A（，m）和B（4，n）两点∴m=，n=3，∴A（，）和B（4，3）------------3分∵直线（k≠0）过A（，）和B（4，3）两点∴，解得.∴直线的解析式为.-------------------4分（3）①根据题意，解得t2-------------------5分②根据题意E（t，），F（t+2，）H（t，），G（t+2，），27\n∴EH=，FG=.若EFGH是平行四边形，则EH=FG，即=解得t=，----------------------6分∵t=满足t2.∴存在适当的t值，且t=使得EFGH是平行四边形.----------7分7.（2022年北京龙文教育一模）如图，在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与轴交于（-1,0）、（3,0）两点,顶点为.(1)求此二次函数解析式；(2)点为点关于x轴的对称点，过点作直线：交BD于点E，过点作直线∥交直线于点.问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，若、分别为直线和直线上的两个动点，连结、、，求和的最小值.第3题图答案：解:(1)∵点A、B的坐标分别为（-1,0）、（3,0），∴27\n解得∴二次函数解析式为.……………2分（2）可求点C的坐标为（1，）∴点D的坐标为（1，）.可求直线AD的解析式为.由题意可求直线BK的解析式为.∵直线的解析式为,∴可求出点K的坐标为(5,).易求.∴四边形ABKD是菱形.∵菱形的中心到四边的距离相等，∴点P与点E重合时，即是满足题意的点，坐标为（2，）.……………5分(3)∵点D、B关于直线AK对称,∴的最小值是.过K作KF⊥x轴于F点.过点K作直线AD的对称点P,连接KP,交直线AD于点Q,∴KP⊥AD.∵AK是∠DAB的角平分线,∴.∴的最小值是.即BP的长是的最小值.∵BK∥AD,∴.在Rt△BKP中,由勾股定理得BP=8.27\n∴的最小值为8.……………8分8．（2022年北京顺义区一模）如图，已知抛物线与轴交于点，且经过两点，点是抛物线顶点，是对称轴与直线的交点，与关于点对称．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使与相似．若有，请求出所有符合条件的点的坐标；若没有，请说明理由．第4题图答案：解：（1）将点代入得……………………1分解之得，所以抛物线的解析式为………2分（2）由（1）可得抛物线顶点……3分直线的解析式为由是对称轴与直线的交点，则由与关于点对称，则………4分证法一：从点分别向对称轴作垂线，交对称轴于在和中，所以∽所以…………………………………5分27\n证法二：直线的解析式为点关于对称轴的对称点是将点代入可知点在直线所以（3）在中，三内角不等，且为钝角①若点在点下方时，在中，为钝角因为，所以和不相等所以，点在点下方时，两三角形不能相似……………………6分②若点在点上方时，由，要使与相似只需（点在之间）或（点在的延长线上）解得点的坐标为或………………………………………8分9、(本题满分15分)如图（1），P为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点．(1).如点P为锐角的费马点．且∠ABC＝60°，PA=3，PC=4，求PB的长。(4分)(2).如图（2），在锐角外侧作等边′连结′．求证：′过的费马点，且′＝．(6分)(3).已知锐角，∠ACB＝60°，分别以三边为边向形外作等边三角形ABD,BCE,ACF,请找出的费马点，并探究S△ABC与S△ABD的和,S△BCE与S△ACF的和是否相等。(1+4分)ACB图（1）图（2）解：⑴由△ABP与△BPC相似,得PB2=PA×PC,PB=2；（2）在BB'上取点P，使∠BPC=120°，连接AP，再在PB'上截取PE=PC，连接CE，27\n∵∠BPC=120°,∴∠EPC=60°，∴△PCE是正三角形。ACB图（1）图（2）∴PC=CE,∠PCE=60°,∠CEB'=120°.∵△ACB'是正三角形,∴AC=CB',∠ACB'=60°.∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB'=60°,∴∠PCA=∠ECB',∴△ACP≌△B'CE,∴∠APC=∠B'EC=120°,PA=EB',∴,P为锐角的费马点.∴BB'过的费马点P,且BB'=EB'+PB+PE=PA+PB+PC.（3）连接DC,BF交与点P，则P为锐角的费马点.在△DAC与△BAF中,DA=BA,∠DAC=∠BAF,AC=AF,∴△DAC≌△BAF.∴S△DAC=S△BAF,∵∠ACB=∠CAF=60°,∴AF∥BC.∴S△BAF=S△CAF,∴S△DAC=S△CAF.同理可证S△DBC=S△BEC,∴.S△ACF+S△BCE=S△DAC+S△DBC=S△ABC+S△ABD10.如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．（1）求证：△ABE≌△BCF；（2）试求△ABE和△BCF重叠部分的面积；（3）如图2，将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB＇E＇，点E落在CD边上的点E＇处，则△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．（1）证明：∵正方形ABCD中，∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，∴∠ABF+∠CBF=900，∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAE=900，∴∠BAE=∠CBF，………………………2分∴△ABE≌△BCF.………………………3分（2）∵正方形面积为3，∴AB=.27\n又∵BE=1，∴tan∠BAE=∴∠BAE=30°，∴∠CBF=30°………………………5分∴GE=，GB=∴×=.………………………6分（3）没有变化.………………………7分由（2）可知∠BAE=30°.∵AB’=AD,∠AB’E’=∠ADE’=90°,AE’公共，∴Rt△ABE≌Rt△AB’E’≌Rt△ADE’∴∠DAE’=∠B’AE’=∠BAE=30°∴AB’与AE在同一直线上，即G点就是AB’与BF的交点，如图所示.设BF与AE’的交点为H，∴Rt△BAG≌Rt△HAG.………………11分∴S四边形HGB’E’=S△BGE即△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有发生变化.11.（黑龙江2022）(本题10分)如图，平面直角坐标系中O为坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C为OA中点；（1）求直线BC解析式；（2）动点P从O出发以每秒2个单位长度的速度沿线段OA向终点A运动，同时动点Q从C出发沿线段CB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点Q作QM∥AB交x轴于点M，若线段PM的长为y，点P运动时间为t()，求y于t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，以PC为直径作⊙N，求t为何值时直线QM与⊙N相切.解：（1）∵∴x=0时，y=6；y=0时，x=﹣8，∴B（0,6）A(﹣8，0)∵27\nC为OA中点，∴C（﹣4,0）（1分）设BC：∴﹣4k+b=0，b=6，∴k=∴y=x+6（1分）（2）∵QM∥AB∴∴（1分）∴CM=t，∴，∴，∵（1分）∴0＜t＜4＜时，PM=∴（0＜t＜4）（1分）（3）过N点作NH⊥MQ交直线MQ于H点．∵N为PC的中点，∴，MN=（1分）∵MQ∥AB∴∠QMC=∠BAO∴sin∠QMC=sin∠BAO=∴NH=2×=（1分）∵PC=（1分）∴=2×=，解得，或（1分）综上，或时，直线QM与⊙N相切．第27题图12、（2022山东德州特长展示）（本小题满分12分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，tan∠BAC=，将∠ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系（1）求过A、B、O三点的抛物线解析式；27\n（2）若在线段AB上有一动点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于M，设PM的长度等于d，试探究d有无最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．（3）若在抛物线上有一点E，在对称轴上有一点F，且以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形，试求出点E的坐标．BACOHxy解：（1）在Rt△ABC中，∵BC=3，tan∠BAC=，∴AC=4．∴AB=．设OC=m，连接OH，如图，由对称性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，∴AH=AB－BH=2，OA=4－m．∴在Rt△AOH中，OH2+AH2=OA2，即m2+22=(4－m)2，得m=．∴OC=，OA=AC－OC=，∴O（0，0）A（，0），B（－，3）．…………………………………………2分设过A、B、O三点的抛物线的解析式为：y=ax（x－）．把x=，y=3代入解析式，得a=．∴y=x（x－）=．即过A、B、O三点的抛物线的解析式为y=．…………………………4分（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意得：－27\n解之得k=－，b=．∴直线AB的解析式为y=．………………………………………………6分设动点P（t，），则M（t，）．………………………………7分∴d=（）—（）=—=∴当t=时，d有最大值，最大值为2．………………………………………………8分yBACOHxE2E1E3D(3)设抛物线y=的顶点为D．∵y==，∴抛物线的对称轴x=，顶点D（，－）．根据抛物线的对称性，A、O两点关于对称轴对称．①当AO为平行四边形的对角线时，抛物线的顶点D以及点D关于x轴对称的点F与A、O四点为顶点的四边形一定是平行四边形．这时点D即为点E，所以E点坐标为（）．……………………………………………………………………………10分②当AO为平行四边形的边时，由OA=，知抛物线存在点E的横坐标为或，即或，分别把x=和x=代入二次函数解析式y=中，得点E（，）或E（－，）．所以在抛物线上存在三个点：E1（，－），E2（，），E3（－，），使以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形．……………………………………………12分13、(2022年福州市初中毕业班质量检查)(12分)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，DE＝2，线段DE在AC边上运动(端点D从点A开始)，速度为每秒1个单位，当端点E到达点C时运动停止．F为DE中点，MF⊥DE交AB于点M，MN∥AC交BC于点N，连接DM、ME、EN．设运动时间为t秒．(1)求证：四边形MFCN是矩形；(2)设四边形DENM的面积为S，求S关于t的函数解析式；当S取最大值时，求t的值；(3)在运动过程中，若以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似，求t的值．27\nABCDEMFN第21题图备用图(1)证明：∵MF⊥AC，∴∠MFC＝90°．…………1分∵MN∥AC，∴∠MFC＋∠FMN＝180°．∴∠FMN＝90°．…………2分∵∠C＝90°，∴四边形MFCN是矩形．…………3分(若先证明四边形MFCN是平行四边形，得2分，再证明它是矩形，得3分)(2)解：当运动时间为t秒时，AD＝t，∵F为DE的中点，DE＝2，∴DF＝EF＝DE＝1．∴AF＝t＋1，FC＝8－(t＋1)＝7－t．ABCDEMFN∵四边形MFCN是矩形，∴MN＝FC＝7－t．…………4分又∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠A＝45°．∴在Rt△AMF中，MF＝AF＝t＋1，…………5分∴S＝S△MDE＋S△MNE＝DE·MF＋MN·MF＝×2(t＋1)＋(7－t)(t＋1)＝－t2＋4t＋…………6分∵S＝－t2＋4t＋＝－(t－4)2＋∴当t＝4时，S有最大值．…………7分(若面积S用梯形面积公式求不扣分)(3)解：∵MN∥AC，∴∠NME＝∠DEM．…………8分①当△NME∽△DEM时，∴＝．…………9分∴＝1，解得：t＝5．…………10分27\n②当△EMN∽△DEM时，∴＝．…………11分∴EM2＝NM·DE．在Rt△MEF中，ME2＝EF2＋MF2＝1＋(t＋1)2，∴1＋(t＋1)2＝2(7－t)．解得：t1＝2，t2＝－6(不合题意，舍去)综上所述，当t为2秒或5秒时，以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似．……12分14、（2022河南沁阳市九年级第一次质量检测）（10分）某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢利市场，该店应按原售价的几折出售？15、（2022河南沁阳市九年级第一次质量检测）（11分）以原点为圆心,为半径的圆分别交、轴的正半轴于A、B两点,点P的坐标为.(1)如图一，动点Q从点B处出发，沿圆周按顺时针方向匀速运动一周,设经过的时间为t秒，当时，直线PQ恰好与⊙O第一次相切，连接OQ.求此时点Q的运动速度（结果保留）；(2)若点Q按照⑴中的方向和速度继续运动，①为何值时，以O、P、Q为顶点的三角形是直角三角形；②在①的条件下，如果直线PQ与⊙O相交，请求出直线PQ被⊙O所截的弦长.（补充说明：直角三角形中，如果一条直角边长等于斜边长的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.）27\n解：（1）连接OQ，则OQ⊥PQOQ=1，OP=2，所以，可得所以点Q的运动速度为/秒.3分(2)由（1）可知，当t=1时，△OPQ为直角三角形所以，当Q’与Q关于x轴对称时，△OPQ’为直角三角形此时，当Q’(0，-1)或Q’(0，1)时，，此时或即当，或时，△OPQ是直角三角形.7分当或时，直线PQ与⊙O相交.作OM⊥PQ，根据等面积法可知：PQ×OM=OQ×OPPQ=QM弦长.11分16、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）（本题满分6分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BE⊥AC于点E，点F在线段BE上，∠1=∠2，点D在线段EC上，给出两个条件：①DF∥BC；②BF=DF.请你从中选择一个作为条件，证明：△AFD≌△AFB．解：选①DF//BC.证明略17、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）(本题满分10分)如图1，在长方形纸片ABCD中，，其中≥1，将它沿E27\nF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD相交于点P，连接EP.设，其中0＜n≤1．(1)如图2，当（即M点与D点重合），=2时，则=；（2）如图3，当（M为AD的中点），的值发生变化时，求证：EP=AE+DP；(3)如图1，当（AB=2AD），的值发生变化时，的值是否发生变化？说明理由．解：⑴⑵延长PM交EA延长线于G，则△PDM≌△GAM，△EMP≌△EMG.∴EP=EG=EA+AG=EA+DP.⑶设AD=1,AB=2,过E作EH⊥CD于H,∵∠EFP=∠FPN=∠MPD=∠EMA.∴△EFH∽ΔEMA∴∵AE的长度发生变化,∴的值将发生变化.18、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）（本题满分12分）如图1，抛物线：与直线AB：交于x轴上的一点A，和另一点B(3，n)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点），PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，在点P的运动过程中，存在某一位置，使得△PMN的周长最大，求此时P点的坐标，并求△PMN周长的最大值；(3)如图2，将抛物线绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线，已知抛物线的顶点E在第四象限的抛物线上，且抛物线与抛物线交于点D，过D点作轴的平行线交抛物线于点F，过E点作轴的平行线交抛物线于点G，是否存在这样的抛物线，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在请说明理由．、27\n解：⑴由题意得：A(-1,0)、B(3,2)∴解得:∴抛物线的解析式为y=-x+x+2⑵设AB交y轴于D，则D（0，），∴OA=1，OD=，AD=，∴=，∵PN∥y轴,∴∠PNM=∠CDN=∠ADO,∴Rt△ADO∽Rt△PNM.∴.∴=×PN=PN.∴当PN取最大值时,取最大值.设P(m,-m+m+2)N(m,m+).则PN=-m+m+2-(m+)=-m+m+.∵-1﹤m﹤3.∴当m=1时,PN取最大值.∴△PNM周长的最大值为×2=.此时P(1,3).⑶设E(n,t),由题意得:抛物线为：y=-(x-)+,为：y=(x-n)+t.∵E在抛物线上，∴t=-(n-)+.∵四边形DFEG为菱形.∴DF=FE=EG=DG连ED,由抛物线的对称性可知,ED=EF.∴△DEG与△DEF均为正三角形.∴D为抛物线的顶点.∴D(,).∵DF∥x轴,且D、F关于直线x=n对称.∴DF=2（n-）.∵DEF为正三角形.∴-=×2(n-).解得：n=.∴t=-.∴存在点E，坐标为E(,-).19、（2022凤阳县县直义教教研中心）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立.（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（）时，如图2，BD＝CF27\n成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G.①求证：BD⊥CF；②当AB＝4，AD＝时，求线段BG的长.图1图2图3解（1）BD＝CF成立.理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°,∵∠BAD=，∠CAF=，∴∠BAD=∠CAF，∴△BAD≌△CAF.∴BD＝CF.……………………………………………………………………（4分）（2）①证明：设BG交AC于点M.∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM＝∠GCM.∵∠BMA＝∠CMG，∴△BMA∽△CMG.∴∠BGC＝∠BAC＝90°.∴BD⊥CF.……………………………………（7分）②过点F作FN⊥AC于点N.∵在正方形ADEF中，AD＝，∴AN＝FN＝.∵在等腰直角△ABC中，AB＝4，∴CN＝AC－AN＝3，BC＝.Rt△FCN∽Rt△ABM，∴27\n∴AM＝.∴CM＝AC－AM＝4－＝，.……（9分）∵△BMA∽△CMG，∴.∴.∴CG＝.……………………………………（11分）∴在Rt△BGC中，.……………………..（12分）20、（2022凤阳县县直义教教研中心）如图，已知：直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P，使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组27\n解得：∴抛物线的解析式为……………………………（4分）（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形,如图所示，若△ABO∽△AP1D，则∴DP1=AD=4,∴P1若△ABO∽△ADP2，过点P2作P2M⊥x轴于M，AD=4,∵△ABO为等腰三角形,∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点M与点C重合∴P2（1，2）……………………（8分）（3）如图设点E，则①当P1(-1,4)时，S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE=∴∴∵点E在x轴下方∴代入得：,即∵△=(-4)2-4×7=-12<0∴此方程无解②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE=∴∴∵点E在x轴下方∴代入得：即，∵△=(-4)2-4×5=-4<027\n∴此方程无解综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。………………………………（14分）21．（2022郑州外国语预测卷）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）；小亮的想法：将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）；请你从中任选一种方法进行证明；（3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出当45°＜α＜135°且α≠90°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立，先请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4），等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．答案：解：（1）证明：∵∠BAC＝90º，∠DAE＝∠DAM＋∠MAE＝45º，∴∠BAD＋∠EAC＝45º。又∵AD平分∠MAB，∴∠BAD＝∠DAM。∴∠MAE＝∠EAC。∴AE平分∠MAC。（2）证明小颖的方法：∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，∴AF＝AB，∠AFD＝∠B＝45º，∠BAD＝∠FAD。又∵AC=AB，∴AF＝AC。由（1）知，∠FAE＝∠CAE。在△AEF和△AEC中，∵AF＝AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，27\n∴△AEF≌△AEC（SAS）。∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º。∴∠DFE＝∠AFD＋∠AFE＝90º。在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。（3）当135º＜＜180º时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立。证明如下：如图，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G。∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，∴AF＝AB，∠AFD＝∠ABC＝45º，∠BAD＝∠FAD。又∵AC=AB，∴AF＝AC。又∵∠CAE＝900－∠BAE＝900－（45º－∠BAD）＝45º＋∠BAD＝45º＋∠FAD＝∠FAE。在△AEF和△AEC中，∵AF＝AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△AEF≌△AEC（SAS）。∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º。又∵在△AGF和△BGE中，∠ABC＝∠AFE＝45º，∠AGF＝∠BGE，∴∠FAG＝∠BEG。又∵∠FDE＋∠DEF=∠FDE＋∠FAG＝（∠ADB＋∠DAB）＝∠ABC＝90º。∴∠DFE＝90º。在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。27
