三角形的边与角一、选择题1．（2022四川凉山州，11，4分）如图，，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么几大白球时，必须保证的度数为A．B．C．D．123（第11题图）【答案】C.【解析】由题意得,∠2+∠3=90°,∠2=∠1,∵,∴∠1=60°.【方法指导】本题考查两个角之间的关系.由入射角等于反射角,及两个角互余即可求出角的度数.2．（2022四川南充，3，3分）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（ ）A．70° B．55° C．50° D．40°【答案】：D．【解析】根据等腰三角形的性质等边对等角得到∠C=∠B=70°，再根据三角形内角和定理得∠A=180°－∠C－∠B=180°－70°－70°=40°.故选D.【方法指导】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理.等腰三角形性质：等边对等角；“三线合一”.三角形内角和定理：三角形内角和为180°.3．（2022贵州毕节，11，3分）如图，已知AB∥CD，∠EBA=45°，∠E+∠D的度数为（ ） A．30°B．60°C．90°D．45°考点：平行线的性质；三角形的外角性质．分析：根据平行线的性质可得∠CFE=45°，再根据三角形内角与外角的关系可得∠E+∠D=∠CFE．解答：解：∵AB∥CD，9\n∴∠ABE=∠CFE，∵∠EBA=45°，∴∠CFE=45°，∴∠E+∠D=∠CFE=45°，故选：D．点评：此题主要考查了平行线的性质，以及三角形内角与外角的关系，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．4．（2022湖北宜昌，9，3分）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ） A．1，2，6B．2，2，4C．1，2，3D．2，3，4考点：三角形三边关系．分析：根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．解答：解：A、1+2＜6，不能组成三角形，故此选项错误；B、2+2=4，不能组成三角形，故此选项错误；C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；D、2+3＞4，能组成三角形，故此选项正确；故选：D．点评：此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．5.（2022湖南长沙，3，3分）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A.2 B.4 C.6 D.8答案:B【详解】三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，只有B符合.6.．（2022湖南郴州，8，3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ） A．25°B．30°C．35°D．40°考点：翻折变换（折叠问题）．分析：先根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再由图形翻折变换的性质得出∠CB′D的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．解答：解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，9\n∴∠B=90°﹣25°=65°，∵△CDB′由△CDB反折而成，∴∠CB′D=∠B=65°，∵∠CB′D是△AB′D的外角，∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°．故选D．点评：本题考查的是图形的翻折变换及三角形外角的性质，熟知图形反折不变性的性质是解答此题的关键．7．（2022·鞍山，3，2分）如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B＝60°，∠AED＝40°，则∠A的度数为（ ） A．100°B．90°C．80°D．70°考点：平行线的性质；三角形内角和定理．专题：探究型．分析：先根据平行线的性质求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理求出∠A的度数即可．解答：解：∵DE∥BC，∠AED＝40°，∴∠C＝∠AED＝40°，∵∠B＝60°，∴∠A＝180°－∠C－∠B＝180°－40°－60°＝80°．故选C．点评：本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先根据平行线的性质求出∠C的度数是解答此题的关键． 8.（2022•新疆5分）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ） A．12B．15C．12或15D．18【答案】B．【解析】①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；②当3为腰时，其它两边为3和6，∵3+3=6=6，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有15．【方法指导】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键9.（2022•宁波3分）如果三角形的两条边分别为4和6，那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数据中的（ ） A．6B．8C．10D．12【答案】B．【解析】设三角形的三边分别是a、b、c，令a=4，b=6，则2＜c＜10，14＜三角形的周长＜20，9\n故7＜中点三角形周长＜10．【方法指导】本题重点考查了三角形的中位线定理，利用三角形三边关系，确定原三角形的周长范围是解题的关键．10．（2022湖北省鄂州市，4，3分）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ） A．165°B．120°C．150°D．135°考点：三角形的外角性质．分析：利用直角三角形的性质求得∠2=60°；则由三角形外角的性质知∠2=∠1+45°=60°，所以易求∠1=15°；然后由邻补角的性质来求∠α的度数．解答：解：如图，∵∠2=90°﹣30°=60°，∴∠1=∠2﹣45°=15°，∴∠α=180°﹣∠1=165°．故选A．点评：本题考查了三角形的外角性质．解题时，注意利用题干中隐含的已知条件：∠1+α=180°．二、填空题1．(2022湖北荆门，14，3分)若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为______．【答案】50°或80°．【解析】(1)若这个内角恰好是顶角，则顶角是50°；(2)若这个内角是底角，则顶角＝180°－2×50°＝80°．【方法指导】当等腰三角形已知的角没指明是顶角还是底角时，或者已知的边没指明是腰还是底边时，若者已知的顶点没指明是顶角的顶点还是底角的顶点时，均需要分类讨论．2．（2022江苏泰州，14，3分）如图，△ABC中，AB+AC=6cm,BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为___________cm.9\n【答案】6．【解析】∵l是BC的垂直平分线，∴BD=CD.又∵AB+AC=6cm,则△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+AD+DC=AB+AC=6（cm）.【方法指导】本题考查了线段垂直平分线与线段和差计算.线段垂直平分线是初中数学重要定理，需要很好掌握.3．(2022湖南邵阳,14,3分)如图(四)所示，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，连结DE，若DE=5，则BC=___________．【答案】：10．【解析】：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE=BC，∵DE=5，∴BC=10．故答案为：10【方法指导】:由在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，可得DE是△ABC的中位线，然后由三角形中位线的性质，即可求得答案．4．（2022江西，8，3分）如图△ABC中，∠A=90°点D在AC边上，DE∥BC，若∠1=155°，则∠B的度数为．【答案】65°【解析】由，可求得,最后求．【方法指导】本题考查了平行线的性质、邻补角、直角三角形两锐角互余等知识，题目较为简单，但有些考生很简单的计算都会出错，如犯之类的错误．5．（2022·鞍山，16，2分）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是．考点：三角形中位线定理；勾股定理．分析：利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH＝FG＝AD，EF＝GH＝BC，然后代入数据进行计算即可得解．解答：解：∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，9\n∴BC＝＝＝5，∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EH＝FG＝AD，EF＝GH＝BC，∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，又∵AD＝6，∴四边形EFGH的周长＝6+5＝11．故答案为：11．点评：本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键． 6.2022浙江丽水4分如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是__________7．（2022上海市，17，4分）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为__________．图58.（2022四川乐山，14，3分）如图，在四边形ABCD中，∠A=450，直线l与边AB、AD分别相交于点M、N。则∠1＋∠2=▲ 。9\n9.（2022四川绵阳，17，4分）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程，则△ABC的周长是10。［解析］△=(-3)2-32≥0,≤k<5,k为整数，k=4,x2-6x+8=0,x=2或4，△ABC的边长为2、4，则只能是等腰三角形，2+2≮4，以2、2、4为边长不能构成三角形；4-4<2,4+4>2，以4、4、2为边长能构成等腰三角形，所以△ABC的周长=4+4+2=10。10．（2022贵州省黔东南州，14，4分）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，则∠B= 60 度．考点：三角形内角和定理．分析：先整理得到∠A+∠C=2∠B，再利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．解答：解：∵∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，∴∠A+∠C=2∠B，又∵∠A+∠C+∠B=180°，∴3∠B=180°，∴∠B=60°．故答案为：60．点评：本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，求出∠A+∠C=2∠B是解题的关键．三、解答题1．(2022湖南邵阳,21,8分)将一幅三角板拼成如图(七)所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.(1)求证：CF∥AB；(2)求∠DFC的度数9\n图(七)【解析】：(1)证明：由题意知，△ACB是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCB=90°，∴∠B=45°.∵CF平分∠DCE，∴∠DCF=∠ECF=45°，∴∠B=∠ECF，∴CF∥AB.(2)解：由三角板知，∠E=60°，由(1)知，∠ECF=45°，∵∠DFC=∠ECF+∠E，∴∠DFC=45°+60°=105°.【方法指导】：(1)首先根据角平分线的性质可得∠1=45°，再有∠3=45°，再根据内错角相等两直线平行可判定出AB∥CF；（2）利用三角形内角和定理进行计算即可.2．[2022湖南邵阳，21，8分]将一幅三角板拼成如图(七)所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F.(1)求证：CF∥AB；图(七)(2)求∠DFC的度数.知识考点：平行线的判定，角平分线，直角三角形，三角形内角和外角的关系.审题要津：（1）根据内错角相等，两直线平行即可得证；（2）根据三角形内角和外角的关系即可求解.满分解答：(1)证明：由题意知，△ACB是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCB=90°，∴∠B=45°.∵CF平分∠DCE，∴∠DCF=∠ECF=45°，∴∠B=∠ECF，∴CF∥AB.(2)解：由三角板知，∠E=60°，由(1)知，∠ECF=45°，∵∠DFC=∠ECF+∠E，∴∠DFC=45°+60°=105°.9\n名师点评：本题考查了平行线的判定定理，角平分线定理及其三角形内角和定理.9
