第二节 与圆有关的位置关系姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(2022·大庆)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，且AC＝6，则这个三角形的内切圆半径为______．2．(2022·台州)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D.若∠A＝32°，则∠D＝________度．3．(2022·益阳)如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝________度．4．(2022·连云港)如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB＝22°，则∠OCB＝__________．5．(2022·湖州)如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是__________．6．(2022·安徽)如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E，若点D是AB的中点，则∠DOE＝________°.17\n7．(2022·原创)如图，点E在上(不与点B，C重合)，连接BE，CE.过C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，若∠D＝40°，则∠BEC＝__________度．8．(2022·临沂)如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形片的直径是________cm.9．(2022·广州)如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的()A．三条边的垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点10．(2022·湘西州)已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．无法确定11．(2022·眉山)如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝()17\nA．27°B．32°C．36°D．54°12．(2022·福建)如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB＝50°，则∠BOD等于()A．40°B．50°C．60°D．80°13．(2022·泰安)如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为()A．40°B．50°C．60°D．70°14．(2022·自贡)如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为()A.RB.RC.RD.R15．(2022·创新)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，若以C点为圆心，2为半径作⊙C，则AB的中点O与⊙C的位置关系是()17\nA．点O在⊙C外B．点O在⊙C上C．点O在⊙C内D．不能确定16．(2022·深圳)如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径是()A．3B．3C．6D．617．(2022·重庆A卷)如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为()A．4B．2C．3D．2.518．(2022·曲靖一模)如图，直线PA、PB是⊙O的两条切线，A、B分别为切点，若∠APB＝120°，⊙O的半径为10，则弦AB的长为()A．5B．10C．10D．519．(2022·曲靖罗平一模)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长． 17\n20．(2022·昆明五华区二模)如图所示，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠CAB.(1)求证：直线BF是⊙O的切线；(2)若AB＝5，BC＝2，求cos∠CBF.17\n21．(2022·昆明官渡区一模)如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长．22．(2022·郴州)已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°.(1)求证：直线AD是⊙O的切线；(2)若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．17\n23．(2022·黄冈)如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C.(1)求证：∠CBP＝∠ADB；(2)若OA＝2，AB＝1，求线段BP的长．17\n24．(2022·陕西)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC相交于点M、N.(1)过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；(2)连接MD，求证：MD＝NB.17\n25．(2022·北京)如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD.(1)求证：OP⊥CD；(2)连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．17\n1．(2022·泸州)在平面直角坐标系内，以原点O为原心，1为半径作圆，点P在直线y＝x＋2上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为()A．3B．2C.D.2．(2022·山西)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为________．3．(2022·枣庄)如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D.(1)求线段AD的长度；(2)点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．4．(2022·新疆建设兵团)如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B.连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E.(1)求证：PB是⊙O的切线；17\n(2)若OC＝3，AC＝4，求sinE的值．参考答案【基础训练】1．2 2.26 3.45 4.44° 5.70° 6.60 7.115 8.9．B 10.B 11.A 12.D 13.A 14.D 15.B 16.D 17.A18．B19．解：(1)证明：如解图1，连接OE.∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE＝∠EBC，∴∠EBC＝∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA＝∠C.∵∠ACB＝90°，17\n∴∠OEA＝90°，AC⊥OE，且OE是⊙O半径，∴AC是⊙O的切线；(2)解：如解图2，连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H.由题意可知四边形OECH为矩形，∴OH＝CE.∵BF＝6，∴BH＝3，在Rt△BHO中，OB＝5，∴OH＝＝4，∴CE＝4.20．(1)证明：如解图，连接AE.∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∵AB＝AC，∴∠1＝∠CAB.又∵∠CBF＝∠CAB，∴∠1＝∠CBF，∴∠CBF＋∠2＝90°，即∠ABF＝90°， ∴AB⊥BF，且AB为⊙O的直径，∴直线BF为⊙O的切线；(2)解：∵AB＝AC，∠AEB＝90°，∴AE是BC上的中线，∴BE＝BC＝，根据勾股定理得：AE＝＝＝2，∴cos∠1＝＝，∴cos∠CBF＝cos∠1＝.21．(1)证明：如解图，连接OE、EC，∵AC是⊙O直径，∴∠AEC＝90°，∵D为BC的中点，∠BEC＝180°－∠AEC＝90°，∴在Rt△BEC中，ED＝DC＝BD，∴∠1＝∠2，∵OE＝OC，17\n∴∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠OED＝∠ACB.∵∠ACB＝90°，∴∠OED＝90°，又∵OE为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2)解：∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝∠BEC＝90°.∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B＝∠B，∠BEC＝∠BCA， ∴△BEC∽△BCA，∴＝，∴BC2＝BE·BA，∵AE∶EB＝1∶2，设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x，∵BC＝6，∴62＝2x·3x，解得：x＝，即AE＝.22．解：(1)证明：∵∠AEC＝30°，∴∠ABC＝30°，∵AB＝AD，∴∠D＝∠B＝30°，∴∠BAD＝120°.连接AO，如解图．∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴∠OAD＝∠BAD－∠BAO＝120°－30°＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；17\n(2)解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠ABC＝30°，∴∠ACM＝60°.∵BC＝2CO＝8，∴AC＝4，∵AE⊥BC，∴AM＝AC·sin∠ACM＝AC＝2，∴AE＝2AM＝4.23．(1)证明：连接OB，则OB⊥BC，∠OBD＋∠DBC＝90°，∵AD为⊙O的直径，∴∠DBP＝∠DBC＋∠CBP＝90°，∴∠OBD＝∠CBP.又∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB＝∠CBP，即∠ADB＝∠CBP；(2)解：在Rt△ADB与Rt△APO中，∵∠DAB＝∠PAO，∴Rt△ADB∽Rt△APO，∵AB＝1，AO＝2，∴AD＝4，∴＝，∴AP＝8，∴BP＝7.24．证明：(1)如解图，连接ON，则OC＝ON.∴∠DCB＝∠ONC.∵在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，∴CD＝DB，∴∠DCB＝∠B.∴∠ONC＝∠B.∴ON∥AB.∵NE是⊙O的切线，∴NE⊥ON，17\n∴NE⊥AB；(2)如解图，连接ND，则∠CND＝∠CMD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴四边形CMDN是矩形，∴MD＝CN.由(1)知CD＝BD，ON∥AB，O为CD中点，∴N也为BC中点，∴CN＝NB，∴MD＝NB.25．(1)证明：如解图，PO与CD交于点Q，∵PC、PD与⊙O相切于C、D.∴PC＝PD，OP平分∠CPD.在等腰△PCD中，PC＝PD，PQ平分∠CPD.∴PQ⊥CD于Q，即OP⊥CD.(2)解：如解图，连接OC、OD.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝50°，∴∠AOD＝180°－∠OAD－∠ODA＝80°，同理：∠BOC＝40°.∴∠COD＝180°－∠AOD－∠BOC＝60°.在等腰△COD中，OC＝OD，OQ⊥CD，∴∠DOQ＝∠COD＝30°.∵PD与⊙O相切于D，∴OD⊥DP，∴∠ODP＝90°.在Rt△ODP中，∠ODP＝90°，∠POD＝30°，∴OP＝＝＝＝.【拔高训练】1．D17\n2.3．解：(1)在Rt△ACB中，∵AC＝3cm，BC＝4cm，∠ACB＝90°，∴由勾股定理得AB＝5cm.如解图，连接CD，∵BC为直径，∴∠ADC＝∠BDC＝90°.∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴Rt△ADC∽Rt△ACB，∴＝，∴AD＝＝；(2)当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切．理由如下：如解图，连接OD，∵DE是Rt△ADC的中线，∴ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD.∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDO＝∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°， ∴ED⊥OD，且OD为⊙O半径，∴ED与⊙O相切．4．(1)证明：连接OB，如解图1，∵PO⊥AB，∴AC＝BC，∴PA＝PB，在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌△PBO(SSS)，17\n∴∠OBP＝∠OAP＝90°，∴PB是⊙O的切线；(2)解：如解图2，连接BD，则BD∥PO，且BD＝2OC＝6，在Rt△ACO中，OC＝3，AC＝4，∴AO＝5.在Rt△ACO与Rt△PAO中，∠AOP＝∠AOC，∠PAO＝∠ACO＝90°，∴△ACO∽△PAO，∴＝，∴PO＝，PA＝.∴PB＝PA＝，在Rt△ABD中，AB＝8，AD＝10，∴BD＝6.在△EPO与△EBD中，BD∥PO，∴△EPO∽△EBD，∴＝，即＝，解得EB＝，PE＝，∴sinE＝＝.17
