课时训练(二十三) 与圆有关的位置关系(限时:50分钟)|夯实基础|1.若等边三角形的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为 . 2.圆心在原点O,半径为5的☉O,则点P(-3,4)在☉O .(填“上”“内”或“外”) 3.[2022·连云港]如图K23-1,线段AB与☉O相切于点B,线段AO与☉O相交于点C,AB=12,AC=8,则☉O的半径长为 . 图K23-14.如图K23-2,给定一个半径长为2的圆,圆心O到水平直线l的距离为d,即OM=d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d=0时,l为经过圆心O的一条直线,此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点,即m=4,由此可知:13\n图K23-2(1)当d=3时,m= ; (2)当m=2时,d的取值范围是 . 5.[2022·徐州]如图K23-3,AB与☉O相切于点B,线段OA与弦BC垂直,垂足为D,AB=BC=2,则∠AOB= °. 图K23-36.[2022·枣庄]如图K23-4,在平行四边形ABCD中,AB为☉O的直径,☉O与DC相切于点E,与AD相交于点F,已知AB=12,∠C=60°,则弧FE的长为 . 图K23-47.下列关于圆的切线的说法正确的是( )A.垂直于圆的半径的直线是圆的切线B.与圆只有一个公共点的射线是圆的切线C.经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线D.如果圆心到一条直线的距离等于半径长,那么这条直线是圆的切线8.如图K23-5,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切,则☉C的半径为( )13\n图K23-5A.2.3B.2.4C.2.5D.2.69.如图K23-6,已知AB是☉O的直径,BC是弦,∠ABC=30°,过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D,连接DC,则∠DCB的度数为( )图K23-6A.30°B.45°C.50°D.60°10.如图K23-7,已知等腰三角形ABC,AB=BC,以AB为直径的圆交AC于点D,过点D作☉O的切线交BC于点E,若CD=5,CE=4,则☉O的半径是( )图K23-7A.3B.4C.256D.25811.[2022·宁波]如图K23-8,在Rt△ABC中,∠A=90°,BC=22,以BC的中点O为圆心的圆分别与AB,AC相切于D,E两点,则DE的长为( )13\n图K23-8A.π4B.π2C.πD.2π12.[2022·泰安]如图K23-9,圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M,若∠ABC=55°,则∠ACD等于( )图K23-9A.20° B.35°C.40° D.55°13.如图K23-10,AC是☉O的直径,BC是☉O的弦,点P是☉O外一点,连接PB,AB,∠PBA=∠C.(1)求证:PB是☉O的切线;(2)连接OP,若OP∥BC,且OP=8,☉O的半径为22,求BC的长.图K23-1013\n14.如图K23-11,已知AB是☉O的直径,点P在BA的延长线上,PD切☉O于点D,过点B作BE垂直于PD,交PD的延长线于点C,连接AD并延长,交BE于点E.(1)求证:AB=BE;(2)若PA=2,cosB=35,求☉O半径的长.图K23-1113\n15.如图K23-12,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径,AC,PB的延长线相交于点D.(1)若∠1=20°,求∠APB的度数;(2)当∠1为多少度时,OP=OD?并说明理由.图K23-12|拓展提升|16.[2022·衢州]如图K23-13,在直角坐标系中,☉A的圆心A的坐标为(-1,0),半径为1,点P为直线y=-34x+3上的动点,过点P作☉A的切线,切点为Q,则切线长PQ的最小值是 . 图K23-1313\n17.[2022·北京]如图K23-14,AB是☉O的一条弦,E是AB的中点,过点E作EC⊥OA于点C,过点B作☉O的切线交CE的延长线于点D.(1)求证:DB=DE;(2)若AB=12,BD=5,求☉O的半径.图K23-1413\n参考答案1.23,3 2.上3.5 [解析]连接OB,∵AB切☉O于B,∴OB⊥AB,∴∠ABO=90°,设☉O的半径长为r,由勾股定理得:r2+122=(8+r)2,解得r=5.4.(1)1 (2)1<d<3 [解析](1)当d=3时,∵3>2,且3-2=1,∴m=1;(2)当d=1时,m=3,当d=3时,m=1,易知当m=2时,1<d<3.5.60 [解析]∵线段OA与弦BC垂直,∴BD=12BC=1.在Rt△ABD中,sinA=BDAB=12,∴∠A=30°.∵AB与☉O相切于点B,∴∠ABO=90°,∴∠AOB=90°-∠A=60°.6.π [解析]如图,连接OE,OF,∵CD是☉O的切线,∴OE⊥CD,∴∠OED=90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∠C=60°,∴∠A=∠C=60°,∠D=120°,∵OA=OF,∴∠A=∠OFA=60°,∴∠DFO=120°,13\n∴∠EOF=360°-∠D-∠DFO-∠DEO=30°,EF的长=30π180×6=π.7.D 8.B 9.A 10.D11.B [解析]连接OE,OD.∵AB,AC分别切☉O于点D,E,∴∠OEA=∠ODA=90°,又∵∠A=90°,∴四边形OEAD为矩形.∵OD=OE,∴四边形OEAD为正方形.∴∠EOD=90°,OE∥AB,OD∥AC.∵O为BC的中点,∴OE,OD为△ABC的中位线,∴OE=12AB,OD=12AC,∵OD=OE,∴AB=AC.∴∠B=∠C=45°.∴AB=BCsin45°=22×22=2,∴OE=OD=1.∴DE的长为:90π×1180=π2,故选B.12.A [解析]连接OC,因为CM为☉O的切线,所以OC⊥MC.因为AM⊥MC,所以AM∥OC.所以∠MAB=∠COB,∠MAC=∠OCA.因为OB=OC,所以∠OCB=∠OBC=55°,所以∠MAB=∠COB=180°-2×55°=70°,因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA=∠MAC,所以∠MAC=12∠MAB=35°.因为∠ADC+∠ABC=180°,所以∠ADC=180°-∠ABC=180°-55°=125°.所以∠ACD=180°-∠ADC-∠MAC=180°-125°-35°=20°.13\n13.解:(1)证明:连接OB,如图所示.∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°,∴∠C+∠BAC=90°,∵OA=OB,∴∠BAC=∠OBA,∵∠PBA=∠C,∴∠PBA+∠OBA=90°,即PB⊥OB,∴PB是☉O的切线.(2)∵☉O的半径为22,∴OB=22,AC=42,∵OP∥BC,∴∠BOP=∠OBC=∠C,又∵∠ABC=∠PBO=90°,∴△ABC∽△PBO,∴BCOB=ACOP,即BC22=428,∴BC=2.14.解:(1)证明:连接OD,∵PD切☉O于点D,13\n∴∠PDO=90°,即∠PDA+∠ADO=90°.∵BE垂直于PD,交PD的延长线于点C,∴∠E+∠EDC=90°.∵∠PDA=∠EDC,∴∠ADO=∠E.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ADO,∴∠OAD=∠E,∴AB=BE.(2)设☉O的半径为r,∵OD⊥PC,BE⊥PC,∴OD∥BE,∴∠POD=∠B.∵在Rt△PDO中,PO=PA+AO=2+r,cos∠POD=cosB=35,∴r2+r=35,解得r=3.即☉O半径的长为3.15.解:(1)∵PA是☉O的切线,∴∠BAP=90°-∠1=70°.又∵PA,PB是☉O的切线,∴PA=PB,∴∠BAP=∠ABP=70°,∴∠APB=180°-70°×2=40°.(2)当∠1=30°时,OP=OD.理由如下:当∠1=30°时,由(1)知∠BAP=∠ABP=60°,∴∠APB=180°-60°×2=60°.13\n∵PA,PB是☉O的切线,∴∠OPB=12∠APB=30°.又∵∠D=∠ABP-∠1=60°-30°=30°,∴∠OPB=∠D,∴OP=OD.16.22 [解析]如图,连接PA,PQ,AQ.有PQ2=PA2-AQ2,PQ=PA2-AQ2,又AQ=1,故当AP有最小值时PQ最小.过A作AP'⊥MN,则有AP'最小=3,此时PQ最小=32-12=22.17.[解析](1)由切线性质及等量代换推出∠4=∠5,再利用等角对等边可得出结论;(2)由已知条件得出sin∠DEF和sin∠AOE的值,利用对应角的三角函数值相等推出结论.解:(1)证明:如图①,∵DC⊥OA,∴∠1+∠3=90°,∵BD为切线,∴OB⊥BD,∴∠2+∠5=90°,∵OA=OB,∴∠1=∠2,∵∠3=∠4,∴∠4=∠5,∴DE=DB.13\n(2)如图②,作DF⊥AB于F,连接OE,∵DB=DE,∴EF=12BE=3,在Rt△DEF中,EF=3,DE=BD=5,∴DF=52-32=4,∴sin∠DEF=DFDE=45,∵∠AOE=∠DEF,∴在Rt△AOE中,sin∠AOE=AEAO=45,∵AE=6,∴AO=152.即☉O的半径为152.13
