第二节 与圆有关的位置关系姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2022·湘西州中考)已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．无法确定2．(2022·改编题)设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是()A．d＝3B．d≤3C．d＜3D．d＞33．(2022·改编题)如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在()A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点4．(2022·深圳中考)如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径是()A．3B．3C．6D．65．(2022·重庆中考A卷)如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为()A．4B．2C．3D．2.510\n6．(2022·台州中考)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D.若∠A＝32°，则∠D＝________度．7．(2022·连云港中考)如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB＝22°，则∠OCB＝__________．8．(2022·湖州中考)如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是__________．9．(2022·娄底中考)如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD，AB，BC都相切，切点分别为D，E，C，半径OC＝1，则AE·BE＝________．10．(2022·改编题)已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF是过点C的⊙O的切线，∠BAC＝∠CAD.(1)求证：AD⊥EF；(2)若∠B＝30°，AB＝12，求AD的长．10\n11．(2022·常德中考)如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于点E.(1)求证：EA是⊙O的切线；(2)求证：BD＝CF.12．(2022·重庆中考B卷)如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD.若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是()10\nA．2B.C.D.13．(2022·无锡中考)如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A，D，G三点的⊙O与边AB，CD分别交于点E，点F，给出下列说法：(1)AC与BD的交点是⊙O的圆心；(2)AF与DE的交点是⊙O的圆心；(3)BC与⊙O相切．其中正确说法的个数是()A．0B．1C．2D．314．(2022·泸州中考)在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y＝x＋2上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为()A．3B．2C.D.15．(2022·南京中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O.将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为________．16．(2022·原创题)如图所示，在Rt△ABC中，以斜边AB为直径作⊙O，延长BC至点D，恰好使得AD＝AB，过点C作CE⊥AD，延长DA交⊙O于点F.(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若AB＝10，CE＋EA＝4，求AF的长度．10\n17．(2022·宜宾中考)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BC延长线上一点，且BC＝CD，CE⊥AD于点E.(1)求证：EC为⊙O的切线；(2)设BE与⊙O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，已知∠PCF＝∠CBF，PC＝5，PF＝4，求sin∠PEF的值．18．(2022·创新题)阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离公式为d＝.例如：求点P0(0，0)到直线4x＋3y－3＝0的距离．解：由直线4x＋3y－3＝0知，A＝4，B＝3，C＝－3，∴点P0(0，0)到直线4x＋3y－3＝0的距离为d＝＝.根据以上材料，解决下列问题：10\n问题1：点P1(3，4)到直线y＝－x＋的距离为__________；问题2：已知⊙C是以点C(2，1)为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y＝－x＋b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x＋4y＋5＝0上的两点，且AB＝2，请求出S△ABP的最大值和最小值．参考答案【基础训练】1．B 2.B 3.C 4.D 5.A 6．26 7.44° 8.70° 9.1 10\n10.(1)证明：如图，连接OC.∵EF是过点C的⊙O的切线，∴OC⊥EF，∴∠OCA＋∠ACD＝90°.∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠BAC＝∠CAD，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∴AD⊥EF.(2)解：∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB＝30°.又∵∠AOC是△BOC的外角，∴∠AOC＝∠B＋∠OCB＝60°.又∵OA＝OC，∴△AOC为等边三角形，∴AC＝AB＝6.又∵∠ACD＝30°，∴AD＝AC，∴AD＝3.11．证明：(1)如图，连接OA.∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠OAC＝30°，∠BCA＝60°.∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠BCA＝60°，∴∠OAE＝∠OAC＋∠EAC＝30°＋60°＝90°，10\n∴EA是⊙O的切线．(2)∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°.∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ADF＝∠ABC＝60°.∵AD＝DF，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝AF，∠DAF＝60°，∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAF＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAF.在△BAD和△CAF中，∵∴△BAD≌△CAF，∴BD＝CF.【拔高训练】12．B 13.C 14.D 15．416．(1)证明：∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB.∵AB＝AD，∴∠ABC＝∠ADB，∴∠OCB＝∠ADB，∴OC∥AD.∵CE⊥AD，∴∠AEC＝∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线．(2)解：如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠OCE＝∠CEH＝∠OHE＝90°，∴四边形OCEH是矩形，∴OC＝EH，OH＝CE.设AH＝x.∵CE＋AE＝4，OC＝5，∴AE＝5－x，OH＝4－(5－x)＝x－1.在Rt△AOH中，由勾股定理得AH2＋OH2＝OA2，即x2＋(x－1)2＝52，10\n解得x1＝4，x2＝－3(不合题意，舍去)，∴AH＝4.∵OH⊥AF，∴AH＝FH＝AF，∴AF＝2AH＝2×4＝8.17．(1)证明：∵CE⊥AD，∴∠DEC＝90°.∵BC＝CD，∴点C是BD的中点．又∵点O是AB的中点，∴OC是△BDA的中位线，∴OC∥AD，∴∠OCE＝∠CED＝90°，∴OC⊥CE.又∵点C在圆上，∴EC为⊙O的切线．(2)解：如图，连接AC.∵AB是直径，点F在⊙O上，∴∠AFB＝∠PFE＝∠CEA＝90°.∵∠EPF＝∠EPA，∴△PEF∽△PAE，∴PE2＝PF·PA.∵∠FBC＝∠PCF＝∠CAF，又∵∠CPF＝∠CPA，∴△PCF∽△PAC，∴PC2＝PF·PA，∴PE＝PC.在Rt△PEF中，sin∠PEF＝＝.【培优训练】18．解：问题1：4提示：直线方程整理得3x＋4y－5＝0，故A＝3，B＝4，C＝－5，∴点P1(3，4)到直线y＝－x＋的距离为d＝＝4.问题2：直线y＝－x＋b整理得3x＋4y－4b＝0，10\n故A＝3，B＝4，C＝－4b.∵⊙C与直线相切，∴点C到直线的距离等于半径，即＝1，整理得|10－4b|＝5，解得b＝或b＝.问题3：如图，过点C作CD⊥AB于点D.∵在3x＋4y＋5＝0中，A＝3，B＝4，C＝5，∴圆心C(2，1)到直线AB的距离CD＝＝3，∴⊙C上的点到直线AB的最大距离为3＋1＝4，最小距离为3－1＝2，∴S△ABP的最大值为×2×4＝4，最小值为×2×2＝2.10
