2022年上海市宝山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）（2022•宝山区一模）下列各式中，正确的是（ ） A．sin20°+sin30°=sin50°B．sin60°=2sin30° C．tan20°•tan70°=1D．cos30°＜cos60°考点：锐角三角函数的定义．分析：分别根据锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值进行解答即可．解答：解：A、错误，无法计算；B、错误，sin60°=，2sin30°=2×=1；C、正确，符合互余两角的三角函数关系；D、错误，cos30°=＞cos60°=．故选C．点评：本题考查的是锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，比较简单． 2．（4分）（2022•宝山区一模）下列分式方程去分母后所得结果正确的是（ ） A．去分母得，x+1=（x﹣1）（x+2）﹣1 B．去分母得，x+5=2x﹣5 C．去分母得，（x﹣2）2﹣x+2=x（x+2） D．去分母得，2（x﹣1）=x+3考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程都乘以最简公分母去分母得到结果，即可做出判断．解答：解：A、去分母得：x+1=（x﹣1）（x+2）﹣（x+1）（x﹣1），本选项错误；B、去分母得：x﹣5=2x﹣5，本选项错误；C、去分母得：（x﹣2）2﹣（x+2）=x（x+2），本选项错误；D、去分母得：2（x﹣1）=x+3，本选项正确．故选D点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 3．（4分）（2022•宝山区一模）已知关于x的方程x2﹣2x+k=0没有实数根，则k的取值范围是（ ） A．k＞1B．k≤1C．k＜1D．k≥1考点：根的判别式．专题：计算题．分析：根据根的判别式得到△=4﹣4k＜0，然后解不等式即可．17\n解答：解：根据题意得△=4﹣4k＜0，解得k＞1．故选A．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 4．（4分）（2022•宝山区一模）下列命题正确是（ ） A．长度相等的两个非零向量相等 B．平行向量一定在同一直线上 C．与零向量相等的向量必定是零向量 D．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点考点：*平面向量．分析：向量即有长度，也有方向，方向不同的向量即使长度相同，两向量也不相等，结合各选项进行判断即可．解答：解：A、长度相等的两个非零向量不一定相等，还需要方向相同，故本选项错误；B、平行向量，可以不在同一条直线上，但需要满足可以平移到同一条直线上，故本选项错误；C、与零向量相等的向量必定是零向量，故本选项正确；D、任意两个相等的非零向量的始点与终点是不一定是一平行四边形的四顶点，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了平面向量的知识，注意结合各选项的内容进行判断，难度一般． 5．（4分）（2022•宝山区一模）如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2．若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于（ ） A．6B．8C．10D．12考点：相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：先由AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2，根据平行线分线段成比例定理得到DF：FA=1：2，再根据平行于三角形一边的直线截三角形所得的三角形与原三角形相似得到△CDE∽△CAB，根据三角形相似的性质得S△CDE：S△CAB=CD2：CA2=2：32，则CD：CA=1：4，通过代换得到CD：CF=1：2，再次根据三角形相似的性质得到S△CDE：S△CFG=CD2：CF2=1：4，即可计算出△CFG的面积．解答：解：∵AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为1：2，∴DF：FA=1：2，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴S△CDE：S△CAB=CD2：CA2=2：32，∴CD：CA=1：4，设CD=a，则CA=4a，∴DA=3a，17\n∴DF=a，∴CF=2a，∴CD：CF=1：2，而DE∥FG，∴S△CDE：S△CFG=CD2：CF2=1：4，而△CDE的面积为2，∴△CFG的面积S=4×2=8．故选B．点评：本题考查了三角形相似的判定与性质：平行于三角形一边的直线截三角形所得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方． 6．（4分）（2022•宝山区一模）一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是（ ） A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．分析：可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．解答：解：A、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，错误；B、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＞0，b＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＜0，错误；C、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，对称轴x=﹣＜0，正确．D、由一次函数y=ax+b的图象可得：a＜0，b＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，错误；故选C．点评：应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2022•宝山区一模）使有意义的x的取值范围是 x≥5 ．考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式有意义的条件，可推出x﹣5≥0，然后通过解不等式，即可推出x≥5．解答：解：若x﹣5≥0，原根式有意义，∴x≥5，故答案为x≥5．点评：本题主要考查二次根式有意义的条件，关键在于根据题意推出x﹣5≥0，然后正确的解不等式即可．17\n 8．（4分）（2022•宝山区一模）不等式组的解集是 ﹣1≤x＜ ．考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解答：解：，由①得，x＜，由②得，x≥﹣1，故此不等式组的解集为：﹣1≤x＜．故答案为：﹣1≤x＜．点评：本题考查的是解一元一此不等式组，解答此题时要遵循“同大取较大；同小取较小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则． 9．（4分）（2022•宝山区一模）分解因式a2﹣ab﹣3a+3b= （a﹣3）（a﹣b） ．考点：因式分解-分组分解法．专题：计算题．分析：原式第一、三项结合，二、四项结合，分别提取公因式，再提取即可得到结果．解答：解：原式=（a2﹣3a）﹣（ab﹣3b）=a（a﹣3）﹣b（a﹣3）=（a﹣3）（a﹣b）．故答案为：（a﹣3）（a﹣b）．点评：此题考查了因式分解﹣分组分解法，进行适当的分组是解本题的关键． 10．（4分）（2022•宝山区一模）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4=0的一个根为0，则m值是 ﹣2 ．考点：一元二次方程的解．专题：方程思想．分析：根据一元二次方程解的定义，将x=0代入关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4=0，然后解关于m的一元二次方程即可．解答：解：根据题意，得x=0满足关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+m2﹣4=0，∴m2﹣4=0，解得，m=±2；又∵二次项系数m﹣2≠0，即m≠2，∴m=﹣2；故答案为：﹣2．点评：本题考查了一元二次方程的解的定义．解答该题时，注意一元二次方程的定义中的“一元二次方程的二次项系数不为0”这一条件． 11．（4分）（2022•宝山区一模）在平面直角坐标系中．把抛物线y=2x2﹣1的图象向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为 y=2（x+2）2﹣1 ．17\n考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据二次函数“左加右减”的原则进行解答即可．解答：解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=2x2﹣1向左平移一个单位后，以所得抛物线为图象的二次函数解析式是：y=2（x+2）2﹣1．故答案为：y=2（x+2）2﹣1．点评：本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 12．（4分）（2022•苏州）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x﹣1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1 ＞ y2（填“＞”、“＜”或“=”）．考点：二次函数图象上点的坐标特征．分析：先根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴，再判断出两点的位置及函数的增减性，进而可得出结论．解答：解：∵a=1＞0，∴二次函数的图象开口向上，由二次函数y=（x﹣1）2+1可，其对称轴为x=1，∵x1＞x2＞1，∴两点均在对称轴的右侧，∵此函数图象开口向上，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∵x1＞x2＞1，∴y1＞y2．故答案为：＞．点评：本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出A、B两点的位置是解答此题的关键． 13．（4分）（2022•长春）在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x﹣3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 18 ．考点：二次函数的性质；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：根据抛物线解析式求出对称轴为x=3，再根据抛物线的对称性求出AB的长度，然后根据等边三角形三条边都相等列式求解即可．解答：解：∵抛物线y=a（x﹣3）2+k的对称轴为x=3，且AB∥x轴，∴AB=2×3=6，∴等边△ABC的周长=3×6=18．故答案为：18．点评：17\n本题考查了二次函数的性质，等边三角形的周长计算，熟练掌握抛物线的对称轴与两个对称点之间的关系是解题的关键． 14．（4分）（2022•宝山区一模）如图，正方形ABCD中，M是边BC上一点，且BM=BC，若，，则= ﹣ （用和表示）考点：*平面向量．分析：先表示出、，然后即可得出的表达式．解答：解：==，==，∵BM=BC，∴=，==，∴=﹣=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了平面向量的知识，根据线段比表示出是解答本题的关键，另外要熟练掌握向量的加减运算． 15．（4分）（2022•宝山区一模）某坡面的坡度为1：，则坡角是 60 度．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：坡面的坡度就是坡角的正切值，已知角的正切值，即可求得角度．解答：解：设坡角是α，则tanα=1：，则α=60°．故答案为：60．点评：本题主要考查了坡度的定义，属于基础题，解答本题的关键是理解坡度与坡角之间的关系． 16．（4分）（2022•临沂）如图，菱形ABCD中，点E、F在对角线BD上，BE=DF=BD，若四边形AECF为正方形，则tan∠ABE= ．17\n考点：正方形的性质；菱形的性质；锐角三角函数的定义．专题：压轴题．分析：连接AC交BD于点O．根据正方形的性质知：AC⊥BD．设正方形的边长为2a，可求出AO，EF的长，再根据BE=DF=BD，可将AO的长求出，代入tan∠ABE=计算即可．解答：解：连接AC交BD于点O．设正方形AECF的边长为2a，则EF=2a，AO=EF=a．∵BE=DF=BD，∴EF=BD．∵BD=4a，BO=BD=2a，∴tan∠ABE===．点评：本题综合考查菱形和正方形性质的应用和运算． 17．（4分）（2022•宝山区一模）在实验中我们常常采用利用计算机在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=﹣x+3，利用两图象交点的横坐标来求一元二次方程x2+x﹣3=0的解，也可以在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2﹣3和直线y=﹣x，用它们交点的横坐标来求该方程的解．所以求方程的近似解也可以利用熟悉的函数 y= 和 y=x2﹣3 的图象交点的横坐标来求得．考点：图象法求一元二次方程的近似根．分析：根据在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=﹣x+3，利用两图象交点的横坐标来求一元二次方程x2+x﹣3=0的解，进而得出方程的近似解也可以利用熟悉的函数的交点得出．解答：解：∵利用计算机在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=﹣x+3，利用两图象交点的横坐标来求一元二次方程x2+x﹣3=0的解，也可在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2﹣3和直线y=﹣x，用它们交点的横坐标来求该方程的解．17\n∴求方程的近似解也可以利用熟悉的函数：y=和y=x2﹣3的图象交点的横坐标来求得．故答案为：y=，y=x2﹣3．点评：此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，利用方程的解得出与函数的关系是解题关键． 18．（4分）（2022•宝山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标为O（0，0），A（2，0），B（2，2），C（4，2），D（4，4），E（0，4），若如图过点M（1，2）的直线MP（与y轴交于点P）将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线MP的函数表达式是 y=x+ ．考点：一次函数综合题．分析：延长CB交y轴于点F，根据O（0，0），A（2，0），B（2，2），C（4，2），D（4，4），E（0，4）求出多边形OABCDE的面积，设直线PG的解析式为y=kx+b（k≠0），把点M代入即可得到k+b=2，再用k、b表示出P、G两点坐标，再由S梯形PGDE=S多边形OABCDE即可得出kb的值，故可得出结论．解答：解：长CB交y轴于点F，∵A（2，0），B（2，2），C（4，2），D（4，4），E（0，4），∴S正方形OABF=OA•AB=2×2=4，S矩形CDEF=CF•CD=4×2=8，∴S多边形OABCDE=4+8=12，设直线PG的解析式为y=kx+b（k≠0），∵M（1，2），∴k+b=2①，∵点P在y轴上，∴P（0，b），∵C（4，2），D（4，4），∴G（4，4k+b），∴S梯形PGDE=（DG+PE）•DE=S多边形OABCDE=×（4﹣4k﹣b+4﹣b）×4=6，即8k+4b=10②，①②联立得，，解得，17\n故此一次函数的解析式为：y=x+．故答案为：y=x+．点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、梯形及矩形的面积等相关知识，难度适中． 三、（本大题共8题，第19-22题每题8分，第23、24题每题10分，第25题12分，第26题14分，满分78分）19．（8分）（2022•宝山区一模）计算：．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=1+3﹣2×﹣8+，然后分母有理化后合并即可．解答：解：原式=1+3﹣2×﹣8+=1+3﹣﹣8+2+2=4+2﹣7．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值． 20．（8分）（2022•宝山区一模）二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C（1）求m的值和点B的坐标（2）求△ABC的面积．考点：抛物线与x轴的交点．分析：（1）先将已知交点坐标代入二次函数的解析式求出m值，再当y=0时，求出关于新的一元二次方程的解，就可以求出另一个交点坐标；（2）由（1）中的函数解析式求得点C的坐标是（0，3），则OC=3．然后根据点A、B的坐标求得线段AB的长度；最后根据三角形的面积公式来求△ABC的面积．解答：解：（1）∵二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），17\n∴0=﹣9+6+m，∴m=3，∴该二次函数的解析式是y=﹣x2+2x+3，当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=﹣1．B（﹣1，0）；（2）∵由（1）知，y=﹣x2+2x+3，∴当x=0时，y=3，∴OC=3．又∵A（3，0），B（﹣1，0）．∴AB=4，∴S△ABC=AB•OC=×4×3=6，即△ABC的面积是6．点评：本题是一道关于二次函数的运用的试题，考查了待定系数法的运用和抛物线与x轴的交点坐标．解题时注意，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间的关系． 21．（8分）（2022•上海）将两块三角板如图放置，其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6，求重叠部分四边形DBCF的面积．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：观察可看出，所求四边形的面积等于等腰直角三角形的面积减去S△ADF，从而我们只要求出这两个三角形的面积即可，这要求我们综合利用解直角三角形，直角三角形的性质和三角函数的灵活运用来解答．解答：解：在△EDB中，∵∠EDB=90°，∠E=30°，DE=6，∴DB=DE•tan30°=6×=2，∴AD=AB﹣DB=6﹣2．又∵∠A=45°，∠AFD=45°，得FD=AD．∴S△ADF=AD2=×（6﹣2）2=24﹣12．17\n在等腰直角三角形ABC中，斜边AB=6，∴AC=BC=3，∴S△ABC=AC2=9，∴S四边形DBCF=S△ABC﹣S△ADF=9﹣（24﹣12）=12﹣15．点评：此题要求我们综合利用解直角三角形，直角三角形的性质和三角函数的灵活运用来解答． 22．（8分）（2022•宝山区一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E、F分别是AC，BC边上一点，且CE=AC，BF=BC，（1）求证：；（2）求∠EDF的度数．考点：相似三角形的判定与性质．分析：（1）证相关线段所在的三角形相似即可，即证Rt△ADC∽Rt△CDB；（2）易证得CE：BF=AC：BC，联立（1）的结论，即可得出CE：BF=CD：BD，由此易证得△CED∽△BFD，即可得出∠CDE=∠BDF，由于∠BDF和∠CDF互余，则∠EDC和∠CDF也互余，由此可求得∠EDF的度数．解答：（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，∴△ADC∽△CDB，∴=；（2）解：∵CE=AC，BF=BC，∴===，又∵∠A=∠BCD，∴∠ACD=∠B，∴△CED∽△BFD，∴∠CDE=∠BDF，∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠BDF+∠CDF=∠CDB=90°．17\n点评：此题考查的是相似三角形的判定和性质；识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比． 23．（10分）（2022•宝山区一模）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE的延长线交BC的延长线于点F，EF=5，∠B的正切值为（1）求证：△BDF∽△DCF；（2）求BC的长．考点：相似三角形的判定与性质；解直角三角形．分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DE=EC，推出∠EDC=∠ECD，求出∠FDC=∠B，根据∠F=∠F证△FBD∽△FDC，即可；（2）设DE=x，则AC=2x，DF=x+5．由（1）可知△BDF∽△DCF，根据相似三角形对应边的比相等及正切函数的定义得到===tan∠B=，则BF=2（x+5），CF=（x+5），BC=BF﹣CF=（x+5），然后在直角△ABC中，根据tan∠B==，得到方程（x+5）=2×2x，解方程求得x=3，进而得到BC=12．解答：（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∵E是AC的中点，∴DE=EC，∴∠EDC=∠ECD，∵∠ACB=90°，∠BDC=90°∴∠ECD+∠DCB=90°，∠DCB+∠B=90°，∴∠ECD=∠B，∴∠B=∠FDC，又∵∠F=∠F，∴△BDF∽△DCF；（2）解：设DE=x，则AC=2DE=2x，DF=DE+EF=x+5．∵△BDF∽△DCF，∴===tan∠B=，17\n∴BF=2DF=2（x+5），CF=DF=（x+5），∴BC=BF﹣CF=（x+5），在直角△ABC中，∵tan∠B==，∴BC=2AC，即（x+5）=2×2x，解得x=3∴BC=（3+5）=12．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，难度适中，解题的关键是由相似三角形的性质得到比例式． 24．（10分）（2022•宝山区一模）在对口扶贫活动中，企业甲将经营状况良好的某消费品专卖店，以188万元的优惠价转让给了尚有120万无息贷款还没有偿还的小型福利企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支5.6万元后，逐步偿还转让费（不计利息），维持乙企业的正常运转每月除职工最低生活费外，还需其他开支2.4万元，从企业甲提供的相关资料中可知这种热门消费品的进价是每件12元：月销售量Q（万件）与销售单价P（元）的关系如下表所示：销售单价P（元）…131415161718…月销量Q（万件）…765432…（1）试确定月销售量Q（万件）与与销售单价P（元）之间的函数关系式（2）当商品的销售单价为多少元时，扣除各类费用后的月利润余额最大？（3）企业乙依靠该店，能否在3年内脱贫（偿还所有债务）？考点：二次函数的应用．分析：（1）设函数关系式为Q=kP+b，将点（13，7），（14，6）代入函数关系式，得出P和b的值即可得出函数关系式．（2）设月利润为W，则根据题意可得出设月利润W与售价P的函数关系式，根据函数性质求出W取最大值时，自变量P的值，从而确定商品的价格；（3）企业乙脱贫即还清188万元的转让价格和120万元的无息贷款，要求最早脱贫时间，由上问P的值，根据题意设可在x年后脱贫，则此x年经营的利润≥188+120，求出x的最小值，得出结果．解答：解：（1）观察表格数据，可设Q=kP+b，把点（13，7），（14，6）代入函数关系式得：，解得：，则Q与p之间的函数关系式为：Q=20﹣p；（2）设月利润为W，则有W=Q（P﹣12）﹣（5.6+2.4）17\n=（20﹣P）（P﹣12）﹣8=﹣P2+32P﹣248=﹣（P2﹣16）2+8，故当销售单价为16元时，月利润最大为8万元．（3）设x年内可脱贫，由（2）知最大月利润为8万元，则8×12x≥188+120，解得：x≥3.2．故企业乙依靠该店，不能在3年内脱贫．点评：此题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式的知识，难度较大，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式并熟练掌握配方法求最值的应用． 25．（12分）（2022•宝山区一模）在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A（A在O右侧），顶点为B．艾思轲同学用一把宽3cm的矩形直尺对抛物线进行如下测量：（1）量得OA=3cm，（2）当把直尺的左边与抛物线的对称抽重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合时（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5cm．艾思轲同学将A的坐标记作（3，0），然后利用上述结论尝试完成下列各题：（1）写出抛物线的对称轴；（2）求出该抛物线的解析式；（3）探究抛物线的对称轴上是否存在使△ACD周长最小的点D；（4）然后又将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点A的右边（如图2），直尺的两边交x轴于点H，G，交抛物线于E，F，探究梯形EFGH的面积S与线段EF的长度是否存在函数关系．同学：如上述（3）（4）结论存在，请你帮艾思轲同学一起完成，如上述（3）（4）结论不存在，请你告诉艾思轲同学结论不存在的理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）由抛物线过原点O及A点（3，0），根据抛物线的对称性，由中点坐标公式，即可求出抛物线的对称轴为直线x=，即x=；（2）先由抛物线的对称轴为直线x=，设抛物线的解析式为顶点式y=a（x﹣）217\n+k，则顶点B的坐标为（，k），再将x=代入，求出点C的纵坐标为9a+k，根据MC=4.5，求出a=，然后将A点坐标（3，0）代入y=（x﹣）2+k，求出k=﹣，得到抛物线的解析式为y=（x﹣）2﹣，即y=x2﹣x；（3）由于O、A两点关于抛物线的对称轴对称，所以连接OC，交抛物线的对称轴于点D，则△ACD的周长最小．先运用待定系数法求出直线OC的解析式，再将x=代入，求出y的值，即可得到D点坐标；（4）先用含a的代数式分别表示E，H，F，G四点的坐标，得到EH与FG的长度，再根据梯形的面积公式求出S=a2，再运用两点之间的距离公式求出EF=3，则=﹣1，整理后得出S=EF2﹣，即S是EF长度的二次函数．解答：解：（1）∵抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A（A在O右侧），OA=3，∴A点坐标为（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x=；（2）∵抛物线的对称轴为直线x=，∴可设抛物线的解析式为y=a（x﹣）2+k，∴顶点B的坐标为（，k）．如图1，∵点C的横坐标为：ON=+3=，点C在抛物线y=a（x﹣）2+k上，∴点C的纵坐标为a（﹣）2+k=9a+k．∵MC=4.5，∴9a+k﹣k=4.5，∴a=，将A点坐标（3，0）代入y=（x﹣）2+k，得（3﹣）2+k=0，解得k=﹣，∴抛物线的解析式为y=（x﹣）2﹣，即y=x2﹣x；（3）抛物线的对称轴上存在使△ACD周长最小的点D，理由如下：如图1，连接OC，交抛物线的对称轴于点D，则△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+OD+CD=AC+OC最小．设直线OC的解析式为y=mx，将点C的坐标（，）代入，得m=，解得m=，即直线OC的解析式为y=x，17\n当x=时，y=×=．故所求D点坐标为（，）；（4）梯形EFGH的面积S与线段EF的长度存在函数关系，理由如下：如图2，设点E横坐标为a，则E点坐标为（a，a2﹣a），H点坐标为（a，0），点F横坐标为a+3，F点坐标为（a+3，（a+3）2﹣（a+3）），G点坐标为（a+3，0），∵梯形EFGH的面积S=（EH+FG）•HG=[（a2﹣a）+（a+3）2﹣（a+3）]×3=a2，又∵（a+3）2﹣（a+3）﹣（a2﹣a）=3a，EF==3，∴=﹣1，∴S=EF2﹣，即S是EF长度的二次函数．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求正比例函数与二次函数的解析式，二次函数的性质，平移、轴对称的性质，梯形的面积、两点之间的距离公式，综合性较强，难度适中．根据抛物线的性质运用待定系数法求出二次函数的解析式是解题的关键． 26．（14分）（2022•宝山区一模）已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角三角板的直角顶点P放在射线OM上，OP=m（m为常数且m≠0），移动直角三角板，两边分别交射线OA，OB与点C，D（1）如图，当点C、D都不与点O重合时，求证：PC=PD；（2）联结CD，交OM于E，设CD=x，PE=y，求y与x之间的函数关系式；（3）如图，若三角板的一条直角边与射线OB交于点D，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，F，且△PDF与△OCD相似，求OD的长．17\n考点：相似形综合题．分析：（1）作PH⊥OA于H，PN⊥OB于N，根据角平分线的性质可得PM=PG，根据ASA可证△PCM≌△PDN，根据全等三角形的性质可得PC=PD；（2）根据AA可证△PDE∽△POD，根据相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质即可得到y与x之间的函数关系式；（3）分①点C在AO上，根据相似三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可求得OD的长；②点C在AO的延长线上，△PDF与△OCD相似只能是∠1=∠2，根据等腰直角三角形的性质可得∠BDC=45°，然后求出∠1=22.5°，过点P作PG⊥OM交OD于G，根据等腰直角三角形的性质求出OG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3=22.5°，从而得到∠1=∠3，根据等角对等边的性质可得PG=DG=m，然后根据OD=OG+DG计算即可得解．解答：（1）证明：作PH⊥OA于H，PN⊥OB于N，则∠PHC=∠PND=90°，则∠HPC+∠CPN=90°∵∠CPN+∠NPD=90°∴∠HPC=∠NPD，∵OM是∠AOB的平分线∴PH=PN，∠POB=45°，∵在△PCH与△PDN中，，∴△PCH≌△PDN（ASA）∴PC=PD；（2）解：∵PC=PD，∴∠PDC=45°，∴∠POB=∠PDC，∵∠DPE=∠OPD，∴△PDE∽△POD，∴PE：PD=PD：PO，又∵PD2=CD2，∴PE=x2，即y与x之间的函数关系式为y=x2；（3）①如图1，点C在AO上时，∵∠PDF＞∠CDO，令△PDF∽△OCD，∴∠DFP=∠CDO，∴CF=CD，∵CO⊥DF17\n∴OF=OD∴OD=DF=OP=m；②如图2，点C在AO的延长线上时，△PDF与△OCD相似，若∠2=∠PFD，则PC∥CD，与PC、DC相交于点C矛盾，所以，只能是∠1=∠2，由（1）可知PC=PD，∴△PCD是等腰直角三角形，∴∠1+∠2=45°，∴∠1=22.5°，过点P作PG⊥OM交OD于G，∵∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，∴△POG是等腰直角三角形，∴OG=OP=m，PG=OP=m，∵∠1+∠3=∠PGO=45°，∴∠3=22.5°，∴∠1=∠3，∴PG=DG=m，∴OD=OG+DG=m+m=（+1）m，综上所述，OD的长为：m或（+1）m．点评：本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定和性质等知识点，根据三角形相似或全等得出线段之间以及角之间的关系是解题的关键，（3）要分情况讨论，容易漏解而导致出错． 17
