第21讲圆的基本性质考点1圆的有关概念圆的定义定义1：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆.定义2：圆是到定点的距离①定长的所有点组成的图形.弦连接圆上任意两点的②叫做弦.直径直径是经过圆心的③，是圆内最④的弦.弧圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有⑤之分，能够完全重合的弧叫做⑥.等圆能够重合的两个圆叫做等圆.同心圆圆心相同的圆叫做同心圆.考点2圆的对称性圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过⑦的直线.圆是中心对称图形，对称中心为⑧.垂径定理定理垂直于弦的直径⑨弦，并且平分弦所对的两条⑩.推论平分弦(不是直径)的直径⑪弦，并且⑫弦所对的两条弧.圆心角、弧、弦之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑两条弧或两条弦中有一组量⑬，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.考点3圆周角圆周角的定义顶点在圆上，并且⑭都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑮.推论1同弧或等弧所对的圆周角⑯.推论2半圆(或直径)所对的圆周角是；90°的圆周角所对的弦是.推论3圆内接四边形的对角.【易错提示】由于圆中一条弦对两条弧以及圆内的两条平行弦可以在圆心的同侧和异侧两种情况，所以利用垂径定理计算时，有时要分情况讨论，不要漏解.1.注意在同圆或等圆中，弦、弧、圆心角和圆周角等量关系的互相转化；利用垂径定理进行计算或证明，通常利用半径、弦心距和弦的一半组成直角三角形求解.2.圆的性质的综合运用，要善于挖掘题中的隐含条件.命题点1圆的有关概念例1下列说法中，正确的是()A.直径是弦B.弧是半圆C.长度相等的弧是等弧D.弦是圆上两点间的部分方法归纳：解答这类试题的关键是结合图形理解圆的有关概念的内涵.13\n1.如图，MN为⊙O的弦，∠M=30°，则∠MON等于()A.30°B.60°C.90°D.120°2.(2022·长宁一模)下列说法中，结论错误的是()A.直径相等的两个圆是等圆B.长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧3.到定点O的距离为3cm的点的集合是以点为圆心，为半径的圆.命题点2垂径定理例2(2022·常德改编)如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，若AB=10，CD=8，求圆心O到弦CD的距离.【思路点拨】连接OC，由AB=10得出OC的长，再根据垂径定理求出CE的长，根据勾股定理求出OE即可.【解答】方法归纳：利用垂径定理进行计算或证明时，通常利用半径、弦心距和弦的一半组成直角三角形求解.1.(2022·舟山)如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为()A.2B.4C.6D.82.(2022·广东)如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为.3.(2022·株洲)如图AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是.13\n4.(2022·金山一模)如图，已知AB是⊙O的弦，点C在线段AB上，OC=AC=4，CB=8.求⊙O的半径.命题点3圆心角、弧、弦之间的关系例3(2022·厦门)如图，在⊙O中，=，∠A＝30°，则∠B＝()A.150°B.75°C.60°D.15°方法归纳：在求圆中角的度数时，通常要利用圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系进行求解.1.如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE是()A.40°B.60°C.80°D.120°2.(2022·江北模拟)如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的周长为()A.5πcmB.6πcmC.9πcmD.8πcm13\n3.如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC等于度.4.(2022·松北一模)如图，在⊙O中，CD为⊙O的直径，=，点E为OD上任意一点(不与O、D重合).求证：AE=BE.命题点4圆周角定理例4(2022·湛江)如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D=()A.25°B.35°C.55°D.70°【思路点拨】因为AB是直径，所以∠BDA=90°，再根据同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系可求得∠ADC的度数.方法归纳：在圆中，出现直径时，一般都联想到直径所对的圆周角是直角.圆周角与圆心角之间的转化也是解决问题的关键点.1.(2022·山西)如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为()A.30°B.40°C.50°D.80°2.(2022·台州)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是()13\n3.(2022·衡阳)如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为.4.如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D为上一点，∠ABC=∠BDC=60°，AC=3cm，求△ABC的周长.1.(2022·柳州)下列四个图中，∠x是圆周角的是()2.(2022·湖州)如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是()A.35°B.45°C.55°D.65°3.下列四个命题：①等边三角形是中心对称图形；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧.其中真命题的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.(2022·珠海)如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于()13\nA.160°B.150°C.140°D.120°5.(2022·绍兴)绍兴是著名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为()A.4mB.5mC.6mD.8m6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为()A.B.3C.2D.47.(2022·重庆A卷)如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是()A.30°B.45°C.60°D.70°8.(2022·兰州)如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是()A.AE=BEB.=C.OE=DED.∠DBC=90°9.(2022·黄石)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为()A.B.C.D.13\n10.(2022·郴州)如图，已知三点A、B、C都在⊙O上，∠AOB=60°，∠ACB=.11.(2022·上海)在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为.12.如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC=70°，AD∥OC，则∠AOD=.13.(2022·襄阳)如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，则排水管内水的深度为.14.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠CAO=25°，∠BCO=35°，则∠AOB=.15.如图，AB、CD是⊙O的弦，AB⊥CD，BE是⊙O的直径.若AC=3，则DE=.16.如图，□ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，求∠AEB的度数.13\n17.(2022·天津改编)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D.如图，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD,CD的长.18.(2022·无锡)如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.(1)若∠B=70°，求∠CAD的度数；(2)若AB=4，AC=3，求DE的长.19.(2022·温州)如图，已知点A，B，C在⊙O上,为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是()A.2∠CB.4∠BC.4∠AD.∠B+∠C13\n20.(2022·安徽)如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的动点，在以下判断中，不正确的是()A.当弦PB最长时，△APC是等腰三角形B.当△APC是等腰三角形时，PO⊥ACC.当PO⊥AC时，∠ACP=30°D.当∠ACP=30°时，△BCP是直角三角形21.(2022·宁波)如图，半径为6cm的⊙O中，C、D为直径AB的三等分点，点E、F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连接AE、BF，则图中两个阴影部分的面积为cm2.22.在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD.(1)如图1，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O半径r；(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，请直接写出∠DCA的度数.参考答案考点解读①等于②线段③弦④长⑤优弧、半圆、劣弧⑥等弧⑦圆心⑧圆心⑨平分⑩弧⑪垂直于⑫平分⑬相等⑭两边⑮一半⑯相等直角直径互补各个击破例1A13\n题组训练1.D2.B3.O3cm例2连接OC.∵AB为⊙O的直径，AB=10，∴OC=5.∵CD⊥AB，CD=8，∴CE=4.∴OE===3.题组训练1.D2.33.48°4.连接OA，过点O作OD⊥AB于点D.∵AC=4，CB=8，∴AB=12.∵OD⊥AB，∴AD=DB=6，∴CD=2.在Rt△CDO中，∠CDO=90°，∴OD==2.在Rt△ADO中，∠ADO=90°，由勾股定理,得OA==4，即⊙O的半径是4.例3B题组训练1.C2.D3.404.证明：∵＝，∴∠AOC=∠BOC，∴∠AOE=∠BOE.∵OA、OB是⊙O的半径，∴OA=OB.又OE=OE，∴△AOE≌△BOE(SAS)，∴AE=BE.例4B13\n题组训练1.B2.B3.65°4.∵=，∴∠BDC=∠BAC.∵∠ABC=∠BDC=60°，∠BDC=∠BAC，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形.又∵AC=3cm，∴△ABC的周长为3×3=9(cm).整合集训1.C2.C3.B4.C5.D6.C7.C8.C9.C10.30°11.12.40°13.0.2m14.120°15.316.∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=54°，∴∠B=∠ADC=54°.∵BE为⊙O的直径，∴∠BAE=90°.∴∠AEB=90°-∠B=90°-54°=36°.17.∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90°.在Rt△CAB中，BC＝10，AB＝6,∴AC===8.∵AD平分∠OAB，∴=,∴CD=BD.在Rt△BDC中，BC=10,CD2+BD2=BC2,∴BD=CD=5.18.(1)∵OD∥BC，∴∠DOA=∠B=70°.又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO=55°.∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=20°.∴∠CAD=35°.(2)在Rt△ACB中，BC==.∵圆心O是直径AB的中点，OD∥BC，∴OE=BC=.又OD=AB=2,∴DE=OD-OE=2-.19.A20.C21.提示：如图作△DBF的轴对称图形△CAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，13\n∴△ACG≌△BDF.∵∠ECB=∠BDF=∠ACG=60°，∴G、C、E三点共线.易求OC=2，ON=，AM=2.∵ON⊥GE，∴NE=GN=GE.连接OE，在Rt△ONE中，NE===，∴GE=2NE=2，∴S△AGE=GE·AM=×2×2=6，∴图中两个阴影部分的面积为6cm2.22.(1)如图1，过点O作OE⊥AC于E，则AE=AC=×2=1.∵翻折后点D与圆心O重合，∴OE=r.在Rt△AOE中，AO2=AE2+OE2，即r2=12+(r)2，解得r=.(2)如图2，连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°.∵∠BAC=25°，∴∠B=65°.13\n根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠B=180°，∴∠B=∠CDB=65°，∴∠DCA=∠CDB-∠A=65°-25°=40°.13
