第22讲 圆的基本性质重难点 垂径定理及圆周角定理(含推论) 如图，△ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论：①AB⊥DE；②AE＝BE；③OD＝DE；④∠AOE＝∠C；⑤＝.正确结论的个数是(C)A．2B．3C．4D．5【拓展提问1】 若AB＝12，DE＝4，则⊙O的半径为6.5．【拓展提问2】 若∠C＝60°，AB＝12，则DE的长度是2．【拓展提问3】 若⊙O的半径为8，将沿AB折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为8．(1)对于一圆和一条直线来说，下列五个条件：①垂直于弦；②过圆心；③平分弦(不是直径)；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．如果具备其中两个，就能推出其他三个，简称为“知二得三”．如例题考查由②过圆心、③平分弦(不是直径)这两个条件推出其他三个结论．(2)运用垂径定理及其推论求线段长的关键是构造直角三角形．最常用的方法是连接圆心和圆中弦的一个端点，若弦长为l，圆心到弦的距离为d，半径为r，根据勾股定理有如下公式：l＝.或在直角三角形中，已知一直角边与斜边的关系，得到角度关系，再利用三角函数求解． ⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O上的一个动点．(1)当BC是⊙O的直径时，如图1，连接AP，BP.若∠BAP＝30°，BP＝3，求⊙O的半径；(2)当∠APC＝∠CPB＝60°时，如图2，连接AP，BP，PC.①判断△ABC的形状：等边三角形；②试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论． 图1 图2【思路点拨】 (1)连接PC，则可得∠BAP＝∠BCP＝30°，在Rt△BCP中求出BC，继而可得⊙O的半径．(2)①利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；②在PC上截取PD＝AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP＝CD，即可证得．7\n【自主解答】 解：(1)连接PC.∵BC是⊙O的直径，∴∠BPC＝90°.∵∠BAP＝∠BCP＝30°，BP＝3，∴BC＝6.∴⊙O的半径为3.(2)②证明：在PC上截取PD＝AP.又∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形．∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°.又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB.在△APB和△ADC中，∴△APB≌△ADC(AAS)．∴BP＝CD.又∵PD＝AP，∴CP＝CD＋PD＝BP＋AP.1．本题源于人教版教材九上P90第14题，考查的核心知识点是圆周角定理及其推论．2．在本题的解答过程中，有两点必须注意：①由BC是直径，可连接PC构造直角三角形，同时也得到了同弧所对的圆周角相等，从而把已知角和已知边转移到同一个三角形内；②证明不在同一条直线上的三条线段的数量关系最常用的方法是通过截长补短法证明三角形全等．1．本题源于人教版教材九上P90第14题，考查的核心知识点是圆周角定理及其推论．2．在本题的解答过程中，有两点必须注意：①由BC是直径，可连接PC构造直角三角形，同时也得到了同弧所对的圆周角相等，从而把已知角和已知边转移到同一个三角形内；②证明不在同一条直线上的三条线段的数量关系最常用的方法是通过截长补短法证明三角形全等．【拓展提问】 ③若⊙O的半径为1，当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？并求出最大面积．【自主解答】 解：当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下：图3如图3，过点P作PE⊥AB，垂足为E.过点C作CF⊥AB，垂足为F.∵S△APB＝AB·PE，S△ABC＝AB·CF，7\n∴S四边形APBC＝AB·(PE＋CF)．当点P为的中点时，PE＋CF＝PC，PC为⊙O的直径，∴此时四边形APBC的面积最大．又∵⊙O的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB＝.∴S四边形APBC＝×2×＝.考点1 圆的有关概念1．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝40°．考点2 垂径定理及其推论2．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于(D)A．8B．2C．10D．53．(2022·张家界)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE等于(A)A．8cmB．5cmC．3cmD．2cm4．(2022·绍兴)如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB.通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了15步．(假设1步为0.5米，结果保留整数)(参考数据：≈1.732，π取3.142)7\n考点3 圆心角、弧、弦之间的关系5．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是(A)A．51°B．56°C．68°D．78°6．如图，在⊙O中，已知弦AB＝DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C，F，则下列说法中正确的个数为(D)①∠DOE＝∠AOB；②＝；③OF＝OC；④AC＝EF.A．1B．2C．3D．4考点4 圆周角定理及其推论7．(2022·柳州)如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠C的度数为(D)A．84°B．60°C．36°D．24°8．(2022·赤峰)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点(A，B除外)，∠AOD＝130°，则∠C的度数是(C)A．50°B．60°C．25°D．30°9．(2022·广州)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC.若∠ABC＝20°，则∠AOB的度数是(D)7\nA．40°B．50°C．70°D．80°10．(2022·毕节)如图，AB是⊙O的直径，C，D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为30°．11．(2022·十堰)如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的平分线交⊙O于点D.若AC＝6，BD＝5，则BC的长为8．12．(2022·巴中)如图所示，⊙O的两弦AB，CD相交于点P，连接AC，BD，得S△ACP∶S△DBP＝16∶9，则AC∶BD＝4∶3．考点5 圆内接四边形的性质13．(2022·苏州)如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点．若∠BOC＝40°，则∠D的度数为(B)A．100°B．110°C．120°D．130°14．(2022·曲靖)如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠A＝n°，则∠DCE＝n°．7\n15．(分类讨论)(2022·安顺)已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为(C)A．2cmB．4cmC．2cm或4cmD．2cm或4cm16．(2022·潍坊)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为(C)A．50°B．60°C．80°D．85°17．(2022·广安)如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB＝，BD＝5，则OH的长度为(D)A.B.C．1D. 18．(2022·宜宾)如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是的中点，DE⊥AB于点E且DE交AC于点F，DB交AC于点G.若＝，则＝.7\n19．(2022·南京)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A作AF⊥DE，垂足为F.⊙O经过点C，D，F，与AD相交于点G.(1)求证：△AFG∽△DFC；(2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径．解：(1)证明：在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，∴∠CDF＋∠ADF＝90°.∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°.∴∠GAF＋∠ADF＝90°.∴∠GAF＝∠CDF.∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD＋∠DGF＝180°.又∵∠FGA＋∠DGF＝180°，∴∠FGA＝∠FCD.∴△AFG∽△DFC.(2)连接CG.∵∠EAD＝∠AFD＝90°，∠EDA＝∠ADF，∴△EDA∽△ADF.∴＝，即＝.∵△AFG∽△DFC，∴＝.∴＝.∵在正方形ABCD中，DA＝DC，∴AG＝EA＝1，DG＝DA－AG＝4－1＝3.∴CG＝＝＝5.∵∠CDG＝90°，C，G在⊙O上，∴CG是⊙O的直径．∴⊙O的半径为.20．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则直径CD＝26寸．7
