第六章 圆第21讲 圆的有关性质A组 基础题组一、选择题1.(2022浙江衢州)如图,点A,B,C在☉O上,∠ACB=35°,则∠AOB的度数是( )A.75°B.70°C.65°D.35°2.(2022菏泽)如图,在☉O中,OC⊥AB,垂足为E,∠ADC=32°,则∠OBA的度数是( )A.64°B.58°C.32°D.26°3.(2022甘肃凉州)如图,☉A过点O(0,0),C(3,0),D(0,1),点B是x轴下方☉A上的一点,连接BO,BD,则∠OBD的度数是( )10\nA.15°B.30°C.45°D.60°4.(2022江苏苏州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=56°.以BC为直径的☉O交AB于点D,E是☉O上一点,且CE的长=CD的长,连接OE,过点E作EF⊥OE,交AC的延长线于点F,则∠F的度数为( )A.92°B.108°C.112°D.124°5.(2022潍坊)如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形.延长AB与DC相交于点G,AO⊥CD,垂足为E,连接BD,∠GBC=50°,则∠DBC的度数为( )A.50°B.60°C.80°D.85°二、填空题6.(2022北京)如图,点A,B,C在☉O上,CB的长=CD的长,∠CAD=30°,∠ACD=50°,则∠ADB= . 7.(2022江苏南京)如图,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连接AC,AE,若∠D=78°,则∠EAC= . 10\n8.(2022湖北黄冈)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,若AD=6,则AC= . 9.如图,AB是半圆的直径,点O为圆心,OA=5,弦AC=8,OD⊥AC,垂足为E,交☉O于D,连接BE.设∠BEC=α,则sinα的值为 . 三、解答题10.已知△ABC,以AB为直径的☉O分别交AC于D,BC于E,连接ED.若ED=EC.(1)求证:AB=AC;(2)若AB=4,BC=23,求CD的长.11.如图所示,AD是△ABC外角∠EAC的平分线,AD与△ABC外接☉O交于点D,N为BC延长线上一点,且CN=CD,DN交☉O于点M.求证:(1)DB=DC;(2)DC2=CM·DN.10\nB组 提升题组 一、选择题1.(2022浙江衢州)如图,AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于E,连接BC,过点O作OF⊥BC于F,若BD=8cm,AE=2cm,则OF的长度是( )A.3cmB.6cmC.2.5cmD.5cm2.如图所示,在☉O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC的长为( )A.19B.16C.18D.203.如图,AB是半圆O的直径,点C是弧AB的中点,点E是弧AC的中点,连接EB,CA交于点F,则EFBF=( )A.13B.14C.1-22D.2-12二、填空题4.在☉O中,AB是☉O的直径,AB=8cm,AC的长=CD的长=BD的长,M是AB上一动点,CM+DM的最小值是 cm. 三、解答题10\n5.(2022江苏无锡)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=17,CD=10,∠A=90°,cosB=35,求AD的长.第六章 圆第21讲 圆的有关性质A组 基础题组一、选择题1.B 2.D 3.B4.C 在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=56°,∴∠B=34°.∵CE的长=CD的长,∴∠COE=2∠B=68°.∵EF⊥OE,∴∠OEF=90°.又∵∠OCF=90°,∴∠F=180°-68°=112°.5.C 由圆内接四边形的性质,得∠ADC+∠ABC=180°.又∠ABC+∠GBC=180°,∴∠ADC=∠GBC=50°.又∵AO⊥CD,∴∠DAE=40°.延长AE交☉O于点F.由垂径定理,得DF的长=CF的长,∴∠DBC=2∠DAE=80°.10\n二、填空题6.答案 70°解析 ∵CB的长=CD的长,∴∠BAC=∠CAD=30°.又∵∠BDC=∠BAC=30°,∠ACD=50°,∴∠ADB=180°-30°-30°-50°=70°.7.答案 27°解析 ∵四边形ABCD是菱形,∠D=78°,∴∠ACB=12∠DCB=12(180°-∠D)=51°.∵四边形AECD是圆内接四边形,∴∠AEB=∠D=78°,∴∠EAC=∠AEB-∠ACE=27°.8.答案 23解析 连接BD,因为AB为☉O的直径,所以∠ADB=90°,因为∠CAB=60°,弦AD平分∠CAB,所以∠BAD=30°,因为ADAB=cos30°,所以AB=ADcos30°=632=43.在Rt△ABC中,AC=AB×cos60°=43×12=23.9.答案 31313解析 如图,连接BC.∵AB是半圆的直径,∴∠ACB=90°.在Rt△ABC中,AC=8,AB=10,∴BC=AB2-AC2=6.∵OD⊥AC,∴AE=CE=12AC=4.10\n在Rt△BCE中,BE=BC2+CE2=213,∴sinα=BCBE=6213=31313.三、解答题10.解析 (1)证明:∵ED=EC,∴∠CDE=∠C.又∵四边形ABED是☉O的内接四边形,∴∠CDE=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC.(2)连接AE,则AE⊥BC.∴BE=EC=ED=12BC.在△ABC与△EDC中,∠C=∠C,∠CDE=∠B,∴△ABC∽△EDC,∴ABDE=BCDC,∴DC=BC·DEAB=BC22AB.由AB=4,BC=23,得DC=(23)22×4=32.11.证明 (1)∵AD平分∠EAC,∴∠EAD=∠DAC=∠DBC.∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠EAD=∠DCB,∴∠DBC=∠DCB.∴DB=DC.(2)∵∠DMC=180°-∠DBC=180°-∠DCB=∠DCN,且∠CDM=∠NDC,∴△DMC∽△DCN.∴DCDN=CMCN.∴DC·CN=CM·DN.∵CN=DC,10\n∴DC2=CM·DN.B组 提升题组一、选择题1.D 连接OB,∵AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于E,BD=8cm,AE=2cm,在Rt△OEB中,OE2+BE2=OB2,即OE2+42=(OE+2)2,解得OE=3cm,∴OB=3+2=5cm,∴EC=5+3=8.在Rt△EBC中,BC=BE2+EC2=42+82=45cm,∵OF⊥BC,∴∠OFC=∠CEB=90°,又∵∠C=∠C,∴△OFC∽△BEC,∴OFBE=OCBC,即OF4=545,解得OF=5cm,故选D.2.D 延长AO交BC于D,作OE⊥BC于E.∵∠A=∠B=60°,10\n∴∠ADB=60°,∴△ADB为等边三角形,∴BD=AD=AB=12,∴OD=4.又∵∠ADB=60°,∴DE=12OD=2,∴BE=10,∴BC=2BE=20.故选D.3.D 连接AE,CE,OC,作AD∥CE,交BE于D.∵点E是弧AC的中点∴可设AE=CE=1,根据平行线的性质得∠ADE=∠CED=45°.∴△ADE是等腰直角三角形,则AD=2,BD=AD=2.∴BE=2+1.再根据两角对应相等得△AEF∽△BEA,∴EF=12+1=2-1,BF=2.∴EFBF=2-12.故选D.二、填空题4.答案 8解析 如图,作点C关于AB的对称点C',连接C'D与AB相交于点M,此时,点M为CM+DM为最小值时的位置,由垂径定理,得AC的长=AC'的长,∴BD的长=AC'的长,∵AC的长=CD的长=BD的长,AB为直径,10\n∴C'D为直径,∴CM+DM的最小值是8cm.三、解答题5.解析 如图所示,过点C作AD延长线的垂线CE,垂足为E,过点C作CF⊥AB于点F,∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠CDE=∠B.∵cosB=35,CD=10,∴cos∠CDE=35=DECD=DE10,∴DE=6,∴CE=8,∵∠A=∠AEC=∠CFA=90°,∴四边形AFCE是矩形,∴AF=CE=8.∵AB=17,∴BF=9,∴cosB=35=BFBC=9BC,∴BC=15,∴CF=12,∴AE=12,∴AD=12-6=6.10
