第15讲线段、角、相交线与平行线考点1直线、射线、线段直线公理经过两点，有且只有①条直线.线段公理两点之间，线段最②.两点间的距离连接两点间的线段的③，叫做两点间的距离.考点2角角的概念定义1有公共端点的两条④组成的图形叫做角.定义2一条⑤绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角.互为余角定义如果两个角的和等于⑥，则这两个角互余.性质同角(或等角)的余角⑦.互为补角定义如果两个角的和等于⑧，则这两个角互补.性质同角(或等角)的补角⑨.考点3相交线对顶角对顶角相等.垂直性质1过一点有且只有⑩条直线与已知直线垂直.性质2直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，⑪最短.点到直线的距离直线外一点到这条直线的⑫的长度，叫做点到直线的距离.考点4角的平分线与线段的垂直平分线角的平分线线段的垂直平分线性质角的平分线上的点到角两边的距离⑬.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离⑭.判定角的内部到角的两边距离相等的点在⑮上.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的⑯上.考点5平行线平行线的概念在同一平面内，的两条直线叫做平行线.平行公理经过直线外一点有且只有条直线与已知直线平行.平行公理的推论如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也.平行线的判定同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两直线平行.平行线的性质两直线平行，同位角相等.两直线平行，内错角相等.两直线平行，同旁内角互补.平行线间的距离定义过平行线上的一点作另一条平行线的垂线，的长度叫做两条平行线间的距离.性质两条平行线间的距离处处.11\n考点6命题命题的概念判断一件事情的句子叫做命题.命题的分类命题分为命题和命题.命题的组成命题由和两个部分组成.1.若某条直线上有n个点，则线段的总条数为条(n为大于或等于2的整数)；在角的内部从角的顶点引n条射线，可以得到个角.2.“两点之间线段最短”、“垂线段最短”在解决最短路径问题时经常用到.命题点1角的有关计算例1(2022·福州)如图，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2的度数是()A.20°B.40°C.50°D.60°方法归纳：计算角度时，通常结合几何图形的有关性质来找出已知角度与所求角度中的数量关系.1.下列四个角中，最有可能与70°角互补的是()2.如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD=45°，则∠COE的度数是()A.125°B.135°C.145°D.155°3.(2022·滨州)如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线.如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为()A.50°B.60°C.65°D.70°11\n命题点2角平分线的性质与判定例2(2022·湘西)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3.(1)求DE的长；(2)求△ADB的面积.【思路点拨】(1)根据角平分线上的点到角两边的距离相等，DE=CD，从而可得DE的长；(2)利用勾股定理先求AB的长，再根据面积公式计算.【解答】方法归纳：解答本题的关键是通过等量代换把要求的边转化为已知的边的长.1.(2022·巴中)如图，CF是△ABC的外角∠ACM的平分线，且CF∥AB，∠ACF=50°，则∠B的度数为()A.80°B.40°C.60°D.50°2.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA,PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是()A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP3.(2022·泉州)如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ=.11\n命题点3线段的垂直平分线的性质与判定例3(2022·仙桃改编)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，求MN的长.【思路点拨】连接MA、NA.根据垂直平分线性质得出等腰三角形△CAN和△MAB，从而说明△AMN是等边三角形，找出MN与BC的关系求出MN的长.【解答】方法归纳：解答这类题的关键是要通过作辅助线构造垂直平分线模型来沟通各边或者各角之间的关系，从而达到化繁为简，化难为易的目的.1.(2022·十堰)如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是()A.7B.10C.11D.122.(2022·义乌)如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC＝125°，则∠ABC＝.3.(2022·汕尾)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE.11\n(1)求∠ADE(直接写出结果)；(2)当AB=3，AC=5时，求△ABE的周长.命题点4平行线的性质和判定例4(2022·重庆)如图，直线a，b，c，d，已知c⊥a,c⊥b，直线b，c，d交于一点，若∠1=50°，则∠2等于()A.60°B.50C.40°D.30°方法归纳：运用平行线的判定与性质的关键点都是“同位角、内错角、同旁内角”这三对位置角的等量关系.1.(2022·德州)如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝30°，则∠C为()A.30°B.60°C.80°D.120°2.(2022·孝感)如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，∠1=44°，那么∠2的度数为()A.46°B.44°C.36°D.22°3.(2022·梅州)如图，把一块含有45°角的直角三角板两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=20°，则∠2的度数是()A.15°B.20°C.25°D.30°11\n4.(2022·淄博)如图，直线a∥b,点B在直线b上，且AB⊥BC,∠1=55°，求∠2的度数.1.(2022·金华)如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是()A.两点确定一条直线B.两点之间，线段最短C.垂线段最短D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直2.(2022·长沙)如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10cm,BC=4cm,则AD的长为()A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm3.(2022·济宁)把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程.用几何知识解释其道理正确的是()A.两点确定一条直线B.垂线段最短C.两点之间线段最短D.三角形两边之和大于第三边4.(2022·滨州)如图，是我们学过的用直尺画平行线的方法示意图，画图原理是()A.同位角相等，两直线平行B.内错角相等，两直线平行C.两直线平行，同位角相等D.两直线平行，内错角相等5.(2022·十堰)如图，直线m∥n，则∠α为()A.70°B.65°C.50°D.40°11\n6.(2022·河南)如图，直线AB、CD相交于O，射线OM平分∠AOC,ON⊥OM,若∠AOM=35°，则∠CON的度数为()A.35°B.45°C.55°D.65°7.(2022·汕尾)如图，能判定EB∥AC的条件是()A.∠C=∠ABEB.∠A=∠EBDC.∠C=∠ABCD.∠A=∠ABE8.(2022·白银)如图，将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行.图中与∠α互余的角共有()A.1个B.2个C.3个D.4个9.(2022·荆门)如图，AB∥ED,AG平分∠BAC,∠ECF=70°,则∠FAG的度数是()A.155°B.145°C.110°D.35°10.(2022·泰安)在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：(1)若AB=A1B1，AC=A1C1,∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；(2)若AB=A1B1，AC=A1C1,∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；(3)若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；(4)若AC∶A1C1=CB∶C1B1,∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1.其中真命题的个数为()A.4个B.3个C.2个D.1个11.(2022·广安)若∠α的补角为76°28′,则∠α=.12.(2022·广州)已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等.”写出它的逆命题：，该逆命题是命题(填“真”或“假”).13.(2022·长沙)如图，BD是∠ABC的平分线，P是BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm,则点P到边BC的距离为__________cm.11\n14.(2022·威海)直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝85°，则∠2＝.15.(2022·盐城)如图，点D，E分别在AB，BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1＝70°，则∠2＝.16.如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB,∠BDE=70°，则∠CAD=.17.(2022·益阳)如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°.求∠C的度数.18.如图，线段AB=4，点O是线段AB上一点，C、D分别是线段OA、OB的中点，小明据此很轻松地求得CD=2.他在反思过程中突发奇想：若点O运动到AB的延长线上时，原有的结论“CD=2”是否仍然成立？请帮小明画出图形并说明理由.19.(2022·泰安)把一直尺放置在一个三角形纸片上，则下列结论正确的是()11\nA.∠1+∠6>180°B.∠2+∠5<180°C.∠3+∠4<180°D.∠3+∠7>180°20.(2022·鄂州)如图，直线a∥b,直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为()A.20°B.40°C.30°D.25°21.(2022·绥化)如图所示，以O为端点画六条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF后，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线上所描的点依次记为1、2、3、4、5、6、7、8…，那么所描的第2015个点在射线上.22.(2022·梅州)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，与AC交于点D，与BC交于点E，连接AE.(1)∠ADE=；(2)AECE(填“>”“<”或“=”)(3)AB=3，AC=5时，△ABE的周长是.23.(2022·宁夏模拟)平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.(1)如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B-∠D.将点P移到AB、CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；(2)在图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？(不需证明)11\n参考答案考点解读①一②短③长度④射线⑤射线⑥90°⑦相等⑧180°⑨相等⑩一⑪垂线段⑫垂线段⑬相等⑭相等⑮角的平分线⑯垂直平分线不相交一平行垂线段相等真假题设结论各个击破例1C题组训练1.D2.B3.D例2(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∴AC⊥CD.又∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DE=CD.又∵CD=3，∴DE=3.(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB===10,∴S△ADB=AB·DE=×10×3=15.题组训练1.D2.D3.35°例3连接MA、NA.∵AB的垂直平分线交BC于M，AC的垂直平分线交BC于N，∴BM=AM，CN=AN，∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C.∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°,∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，∴△AMN是等边三角形,∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，∴MN=BC=2cm.题组训练1.B2.70°3.(1)∠ADE=90°.(2)在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC=4.又∵MN为AC的垂直平分线，∴AE=EC.C△ABE=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=7.例4B11\n题组训练1.A2.A3.C4.设直线b与BC所交的另一个锐角为∠3.∵AB⊥BC,∴∠1+∠3=90°.∵∠1=55°,∴∠3=35°.∵a∥b,∴∠2=∠3=35°.整合集训1.A2.B3.C4.A5.C6.C7.D8.B9.B10.B11.103°42′12.如果两个角形的面积相等，那么这两个三角形全等假13.414.4015.70°16.70°17.∵EF∥BC,∴∠BAF=180°-∠B=100°.∵AC平分∠BAF,∴∠CAF=∠BAF=50°.∵EF∥BC，∴∠C=∠CAF=50°.18.仍然成立，∵C，D分别是线段OA，OB的中点，∴OC=OA，OD=OB.CD=OC-OD=OA-OB=(OA-OB)=AB=2.19.D20.A21.OE22.(1)90°(2)=(3)723.(1)不成立，结论是∠BPD=∠B+∠D.证明：延长BP交CD于点E.∵AB∥CD，∴∠B=∠BED.又∵∠BPD=∠BED+∠D，∴∠BPD=∠B+∠D.(2)结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D.11
