【解直角三角形】中考考试原题精选1、已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点D作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连结AD并延长交BE于点F，若OB=9，，求BF的长．解：（1）如图1连接OC,则OCCE,,由于为等腰三角形，则,由垂径定理，得：CD=BD,∠CDE=∠BDE=90°DE=DE∴则∴即BE与⊙ 12\nO相切；（2）如图2过D作DG⊥AB于G 则△ADG∽△ABF∵OB=9，∴OD=OB·=6,OG=OD·=4，由勾股定理，得：DG=，,AG=9+4=13，∵△ADG∽△ABF∴∴BF=图1 图22、如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC=2m，CD=5.4m，∠DCF=30°，请你计算车位所占的宽度EF约为多少米？（，结果保留两位有效数字．）解：在直角三角形DCF中，∵CD=5.4m，∠DCF=30°，12\n∴sin∠DCF=== ，∵DF=2.7，∴∠CDF+∠DCF=90°∠ADE+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠DCF，∵AD=BC=2，∴cos∠ADE===，∴DE=，∴EF=ED+DF=2.7+1.732≈4.4米．3、如图5，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里∕小时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60。方向航行，1.5小时后，在我领海区域的C处截获可疑渔船。问我渔政船的航行路程是多少海里？(结果保留根号) 解：自C点作AB的垂线，垂足为D，∵南北方 向⊥AB，∴∠CAD=30。，∠CBD=45。 在等腰Rt△BCD中，BC=12×1.5=18，∴CD=18sin45。=12\n， 在Rt△ACD中，CD=AC×sin30。，∴AC=（海里） 答：我渔政船的航行路程是海里。4、如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）求圆心O到BC的距离OD．解：（1）在△ABC中，∵∠BAC=∠APC=60°，又∵∠APC=∠ABC，∴∠ABC=60°，∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°，∴△ABC是等边三角形；（2）连接OB，∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，∴O为△ABC的外心，∴BO平分∠ABC，12\n∴∠OBD=30°，∴OD=8×=4．5、黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠A=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=千米，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数，参考数据≈1.414，（2）求∠ACD的余弦值．解：（1）连接AC∵AB=BC=15千米，∠B=90°∴∠BAC=∠ACB=45° AC=15 又∵∠D=90°∴AD= = =12 （千米） 12\n∴周长=AB+BC+CD+DA=30+3 +12 =30+4.242+20.784≈55（千米）面积=S△ABC+18 ≈157（平方千米） （2）cos∠ACD= = = 6、如图，某测量船位于海岛P的北偏西60°方向，距离海岛100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P的西南方向上的B处，求测量船从A处航行到B处的路程(结果保留根号)。解：∵AB为南北方向，∴△AEP和△BEP分别为直角三角形，再Rt△AEP中，∠APE=90°-60°=30°，AE=12AP=12×100=50海里，∴EP=100×cos30°=50海里，在Rt△BEP中，BE=EP=50海里，∴AB=（50+5012\n）海里．答：测量船从A处航行到B处的路程为（50+50）海里．7、如图，点A，E是半圆周上的三等分点，直径BC=2，AD⊥BC，垂足为D，连接BE交AD于F，过A作AG∥BE交BC于G．（1）判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）求线段AF的长．解：（1）直线AG与⊙O的位置关系是AG与⊙O相切，理由是：连接OA，∵点A，E是半圆周上的三等分点，∴弧AB=弧AE=弧EC，∴点A是弧BE的中点，∴OA⊥BE，又∵AG∥BE，∴OA⊥AG，∴AG与⊙O相切．（2）∵点A，E是半圆周上的三等分点，∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°，又∵OA=OB，∴△ABO为正三角形，又∵AD⊥OB，OB=1，12\n∴BD=OD=，AD=，又∵∠EBC=∠EOC=30°，在Rt△FBD中，FD=BDtan∠EBC=BDtan30°=，∴AF=AD﹣DF=﹣=．答：AF的长是．8、如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港口A位于B的北偏西30°的方向上．求A、C之间的距离(结果精确到0.1海里，参考数据：≈1.41，≈1.73)．12\n解：作AD⊥BC，垂足为D，由题意得，∠ACD＝45°，∠ABD＝30°，设CD＝x，在RT△ACD中，可得AD＝x，在RT△ABD中，可得BD＝x，又∵BC＝20，即xx＝20，解得：∴AC＝x≈10.3(海里)．答：A、C之间的距离为10.3海里．9、已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km，一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后达到C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km，参12\n考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，≈1.41，≈2.24)解：BC＝40×＝10，在Rt△ADB中，sin∠DBA＝，sin53.2°≈0.8，所以AB＝＝20，过点B作BH⊥AC，交AC的延长线于H，在Rt△AHB中，∠BAH＝∠DAC－∠DAB＝63.6°－37°＝26.6°，tan∠BAH＝，0.5＝，AH＝2BH，BH2＋AH2＝AB2，BH2＋(2BH)2＝202，BH＝4，所以AH＝8，在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，CH＝2，所以AC＝AH－CH＝8－2＝612\n≈13.4，答：此时货轮与A观测点之间的距离AC约为13.4km．10、周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）．小船从P处出发，沿北偏东60°划行200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处．在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）解：作PD⊥AB于点D，由已知得PA=200米，∠APD=30°，∠B=37°，在Rt△PAD中，由cos30°=，得PD=PAcos30°=200×=100米，在Rt△PBD中，由sin37°=，得PB=≈≈288米．答：小亮与妈妈的距离约为288米．12\n12
