解直角三角形的实际应用针对演练1.(2022梧州8分)如图，某景区有一处索道游览山谷的旅游点．已知索道两端距离AB为1300米，在山脚C点测得BC的距离为500米，∠ACB＝90°，在C点观测山峰顶点A的仰角∠ACD＝23.5°，求山峰顶点A到C点的水平面高度AD(参考数据：sin23.5°≈0.40，cos23.5°≈0.92，tan23.5°≈0.43)．第1题图(2022盘锦8分)如图所示，小明家小区空地上有两棵笔直的树CD、EF.一天，他在A处测得树顶D的仰角∠DAC＝30°，在B处测得树顶F的仰角∠FBE＝45°，线段BF恰好经过树顶D.已知A、B两处的距离为2米，两棵树之间的距离CE＝3米，A、B、C、E四点在一条直线上，求树EF的高度(≈1.7，≈1.4，结果保留一位小数)．第2题图3.(2022湘潭6分)“东方之星”客船失事之后，本着“关爱生命，救人第一”的宗旨，搜救部门派遣直升机到失事地点进行搜救，搜救过程中，假设直升机飞到A处时，发现前方江面上B处有一漂浮物，从A测得B处的俯角为30°，已知该直升机一直保持在距离江面100米高度飞行搜索，飞行速度为10米每秒，求该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行多少秒可到达漂浮物的正上方？(结果精确到0.1，≈1.73)第3题图4.如图，甲建筑物的高AB为40m，AB⊥BC，DC⊥BC，某数学学习小组开展测量乙建筑物高度的实践活动，从B点测得D点的仰角为60°，从A点测得D点的仰角为45°.求乙建筑物的高DC.10\n第4题图1.(2022荆门10分)如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截．红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方．求拦截点D处到公路的距离(结果不取近似值)．第1题图2.(2022镇江6分)某海域有A、B两个港口，B港口在A港口北偏西30°的方向上，距A港口60海里．有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处．求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号)．第2题图3.(2022泸州8分)如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)10\n第3题图1.(2022铁岭12分)如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE＝20米，山坡的坡度i＝1∶(即tan∠DEM＝1∶)，且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度(结果精确到1米)．(参考数据：≈1.73，≈1.41)第1题图2.(2022广安8分)数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度．如图，老师测得升旗台前斜坡FC的坡比为iFC＝1∶10(即EF∶CE＝1∶10)，学生小明站在离升旗台水平距离为35m(即CE＝35m)处的C点，测得旗杆顶端B的仰角为α，已知tanα＝，升旗台高AF＝1m，小明身高CD＝1.6m，请帮小明计算出旗杆AB的高度．第2题图1.(2022北海8分)如图，A为某旅游景区的最佳观景点，游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台DE观景，然后再由E处继续乘坐缆车到达A处，返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处．已知：AC⊥BC于C，DE∥BC，BC＝110米，DE＝9米，BD＝60米，＝32°，β＝68°，求AC的高度．(参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48)10\n第1题图2.(2022资阳8分)北京时间2022年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB＝4米，求该生命迹象所在位置C的深度．(结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7)第2题图【答案】题型一解直角三角形的实际应用仰角、俯角问题1.解：∵AB=1300米，BC=500米，∠ACB=90°，∴在Rt△ABC中，AC==1200米，(3分)又∵∠ACD=23.5°，∴在Rt△ADC中,AD=AC·sin23.5°≈1200×0.4＝480米，(7分)答：AD的高度约为480米.(8分)2.解：设EF=x米,∵∠FBE=45°，∴BE=EF=x米,∵CE=3米,∴BC=DC=BE-CE=(x-3)米,(3分)∵∠DAC=30°，∴AC=米,(4分)∵AC-BC=AB,AB=2米,10\n∴(x-3)-(x-3)＝2，(6分)解得：x=4+≈5.7米.答：树EF的高度约为5.7米.(8分)3.解：如解图，过B作BD⊥AC于D，(1分)根据题意可得BD=100米，∠BAD=30°，第3题解图∴AD=≈173米，∵直升机的飞行速度是v=10米每秒，(3分)∴该直升机到达点D需要的时间为173÷10=17.3秒.(5分)答：该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行17.3秒可到达漂浮物的正上方.(6分)4.解：如解图，过点A作AE⊥CD于点E，第4题解图根据题意得：∠DBC＝60°，∠DAE＝45°，AE=BC,EC=AB=40m，设DE=xm,则DC=DE+EC=(x+40)m,在Rt△AED中，tan∠DAE=tan45°＝1，∴AE=DE＝xm,在Rt△DBC中，tan∠DBC=tan60°＝，∴,解得：x=20+20,∴DC=x+40=(20+60)m,答：乙建筑物的高DC为(20+60)m.10\n方向角问题解：如解图，过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F.第1题解图由题意知∠ABC＝30°，∠FCD＝45°，CD=CB=1000米.在Rt△BCE中，CE=BC·sin30°＝1000×＝500米.(4分)在Rt△DCF中，DF=CD·sin45°＝1000×＝500米.(6分)∵四边形AFCE是矩形，∴AF=EC，∴AD=AF+FD=CE+FD=(500+500)米.(9分)答：拦截点D处到公路的距离为(500+500)米.(10分)2.解：设B点向南方向为BF方向，A点向北方向为AE方向，∵∠BAE＝30°,BF∥AE，∴∠ABF＝30°，(1分)∵∠FBC＝75°，∴∠ABC＝45°，(2分)∵∠CAE＝45°，∴∠BAC＝30°+45°＝75°，(3分)∴∠C＝180°-75°-45°＝60°，过点A作AD⊥BC，垂足为D，如解图，(4分)第2题解图在Rt△ADB中，∠ABD＝45°，AB=60海里,则BD=AD=AB·sin45°＝30海里，在Rt△ADC中，∠C＝60°，AD=30海里，10\n则CD=海里，∴BC=(30+10)海里.(6分)3.解：如解图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，设BD=x海里，第3题解图由题意得，BC=30×0.5=15海里，CD=(15-x)海里，∠CAD=90°-60°=30°，∠BAD=45°,(1分)在Rt△ACD中，AD=海里，(2分)在Rt△ABD中，AD=BD=x海里，∴=x，(3分)解得x=,(5分)∴航行时间为(小时)，(7分)答：该渔船从B处开始航行小时，离观测点A的距离最近.(8分)坡度(坡比)、坡角问题1.解：如解图，过点D作DF⊥MN于点F，作DH⊥AN于点H，10\n第1题解图∵i＝1∶3，∴，设DF＝x米，则FE＝x米，在Rt△DFE中，由勾股定理得DF2+FE2＝DE2，即x2+(x)2=202，解得x＝10，(2分)∴DF＝10米，则FE＝10米，∴FN＝FE+EC+CN＝10+10+20＝(10+30)米，(4分)∴DH＝(10+30)米，又∵∠ADH＝30°，∴tan30°＝，(6分)∴AH＝(10+10)米，又∵DF＝HN＝10米，∴AN＝HN+AH=10+10+10＝(20+10)米，(8分)又∵∠BCN＝45°，∴CN＝BN＝20米，(10分)∴AB＝AN-BN=20+10-20＝10≈17米.(12分)答：条幅的长度约为17米.2.解：如解图，过点D作DG⊥AE于点G，则DG=CE=35m,CD=EG=1.6m,第2题解图在Rt△BDG中，BG=DG·tan=35×=15m，(4分)∴BE=BG+EG=15+1.6=16.6m，(5分)10\n在Rt△CEF中，,∴EF==3.5m,(7分)∴AB=BE-EF-AF=16.6-3.5-1=12.1m.∴旗杆高度为12.1m.(8分)答：旗杆AB的高度为12.1米.其他问题1.解：如解图，作DF⊥BC于点F，延长DE交AC于点G，第1题解图则GC=DF，DG=FC，∵在Rt△BDF中,BD=60米，sinα=,cosα=，∴DF=BD·sinα≈60×0.53＝31.8米，∴BF=BD·cosα≈60×0.85＝51米，(2分)又∵BC=110米，DE=9米，∴FC=BC-BF=110-51=59米，EG=DG-DE=FC-DE=59-9=50米，(4分)在Rt△AEG中，tanβ=，∴AG=EG·tanβ≈50×2.48=124米，(6分)∴AC=AG+GC=AG+DF=124+31.8＝155.8米，(7分)答：AC的高度约为155.8米.(8分)2.解：如解图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于D.第2题解图根据题意得∠DAC=25°，∠DBC=60°，在Rt△ACD中，AD=＝2CD，(2分)在Rt△CDB中，BD=，(4分)10\n∵AB=AD-BD＝4，∴2CD-=4,(6分)解得CD≈3米.答：该生命迹象所在位置C的深度约为3米.(8分)10
